Teorema lui Șarkovski

În matematică și fizică , teorema lui Sharkovsky este un rezultat extrem de important în studiul orbitelor periodice ale unui sistem dinamic discret. Teorema afirmă că dacă aveți un sistem dinamic în care funcționează iterația $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție continuă având domeniu și imagine într-un interval real $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , atunci dacă sistemul admite o orbită periodică $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ admite și orbite de perioadă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ de sine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ precede $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ într-o anumită ordine numită ordinul Sharkovsky .

Sortarea lui Sharkovsky

Având în vedere un interval $I\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ $I \ subset {\ mathbb {R}}$ , este $f:I\to I$ ${\ displaystyle f: I \ to I}$ $f: I \ to I$ o funcție continuă . Numarul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este un punct periodic al perioadei $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ de sine $f^{m}(x)=x$ ${\ displaystyle f ^ {m} (x) = x}$ $f ^ {m} (x) = x$ , unde este $f^{m}$ ${\ displaystyle f ^ {m}}$ $f ^ {m}$ este compoziția $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ copii ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ . Este un punct periodic care are o perioadă primitivă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ dacă, în plus, $f^{k}(x)\neq x$ ${\ displaystyle f ^ {k} (x) \ neq x}$ $f ^ {k} (x) \ neq x$ pentru toți $0<k<m$ ${\ displaystyle 0 <k <m}$ $0 <k <m$ .

Să cunoască perioadele posibile ale punctelor periodice ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , luați în considerare următoarea ordonare a numerelor naturale , numită ordonare Sharkovsky:

{\begin{array}{cccccccc}3&5&7&9&11&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{0}&\ldots \\3\cdot 2&5\cdot 2&7\cdot 2&9\cdot 2&11\cdot 2&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{1}&\ldots \\3\cdot 2^{2}&5\cdot 2^{2}&7\cdot 2^{2}&9\cdot 2^{2}&11\cdot 2^{2}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{2}&\ldots \\3\cdot 2^{3}&5\cdot 2^{3}&7\cdot 2^{3}&9\cdot 2^{3}&11\cdot 2^{3}&\ldots &(2n+1)\cdot 2^{3}&\ldots \\&\vdots \\\ldots &2^{n}&\ldots &2^{4}&2^{3}&2^{2}&2&1\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccc} 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & \ ldots & (2n + 1) \ cdot 2 ^ {0} & \ ldots \\ 3 \ cdot 2 & 5 \ cdot 2 & 7 \ cdot 2 & 9 \ cdot 2 & 11 \ cdot 2 & \ ldots & (2n + 1) \ cdot 2 ^ {1} & \ ldots \\ 3 \ cdot 2 ^ {2} & 5 \ cdot 2 ^ {2} & 7 \ cdot 2 ^ {2} & 9 \ cdot 2 ^ {2} & 11 \ cdot 2 ^ {2} & \ ldots & (2n + 1) \ cdot 2 ^ {2} & \ ldots \\ 3 \ cdot 2 ^ {3} & 5 \ cdot 2 ^ {3} & 7 \ cdot 2 ^ {3} & 9 \ cdot 2 ^ {3} & 11 \ cdot 2 ^ {3} & \ ldots & (2n + 1) \ cdot 2 ^ {3} & \ ldots \\ & \ vdots \\\ ldots & 2 ^ {n} & \ ldots & 2 ^ {4} & 2 ^ {3} & 2 ^ {2 } & 2 & 1 \ end {array}}}

{\ begin {array} {cccccccc} 3 & 5 & 7 & 9 & 11 & \ ldots & (2n + 1) \ cdot 2 ^ {{0}} & \ ldots \\ 3 \ cdot 2 & 5 \ cdot 2 & 7 \ cdot 2 & 9 \ cdot 2 & 11 \ cdot 2 & \ ldots & (2n + 1) \ cdot 2 ^ {{1}} & \ ldots \\ 3 \ cdot 2 ^ {{2}} & 5 \ cdot 2 ^ {{2}} & 7 \ cdot 2 ^ {{2}} & 9 \ cdot 2 ^ {{2}} & 11 \ cdot 2 ^ {{2}} & \ ldots & (2n + 1 ) \ cdot 2 ^ {{2}} & \ ldots \\ 3 \ cdot 2 ^ {{3}} & 5 \ cdot 2 ^ {{3}} & 7 \ cdot 2 ^ {{3}} & 9 \ cdot 2 ^ {{3}} & 11 \ cdot 2 ^ {{3}} & \ ldots & (2n + 1) \ cdot 2 ^ {{3}} & \ ldots \\ & \ vdots \\\ ldots & 2 ^ {{n}} & \ ldots & 2 ^ {{4}} & 2 ^ {{3}} & 2 ^ {{2}} & 2 & 1 \ end {array}}

unde fiecare număr natural apare o dată și o singură dată în ordinea Sharkovsky, prin urmare este o ordonare totală a numerelor naturale.

Teorema lui Șarkovski afirmă că dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are punct periodic al perioadei primitive $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ precede $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ în ordinea lui Șarkovski, atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are și un punct periodic cu o perioadă primitivă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

În special, dacă nu există o orbită periodică cu 8, atunci nu poate exista altă orbită în afară de cea 2-periodică și de cea 4-periodică. Și dacă nu există orbite 2-periodice, nu vor exista orbite pentru nicio perioadă. Pe de altă parte, existența unei orbite a perioadei 3 garantează prezența orbitelor fiecărei perioade. Prin urmare, este studiat în mod special comportamentul unui sistem dinamic în care orbita cu 3 perioade este prezentă.

Demonstrație

Luați în considerare un caz particular în care orbita cu 3 perioade există; vrem să arătăm că există orbite din fiecare perioadă. Deci, lasă-i să fie $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ cele trei puncte ale orbitei și să presupunem că $f(a)=b$ ${\ displaystyle f (a) = b}$ $f (a) = b$ , $f(b)=c$ ${\ displaystyle f (b) = c}$ $f (b) = c$ Și $f(c)=a$ ${\ displaystyle f (c) = a}$ $f (c) = a$ . Pentru funcțiile continue se utilizează doi termeni generali:

Teorema punctului fix al lui Brouwer : let $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție continuă. Dacă există o gamă $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ astfel încât $f(I)$ ${\ displaystyle f (I)}$ $f (I)$ conține $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , atunci există cel puțin un punct fix în $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , adică există cel puțin unul $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ aparținând $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ astfel încât $f(p)=p$ ${\ displaystyle f (p) = p}$ $f (p) = p$ .
Este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ o funcție continuă. Dacă există două game $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ astfel încât $f(U)$ ${\ displaystyle f (U)}$ $f (U)$ conține $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , apoi există un interval $U_{0}$ ${\ displaystyle U_ {0}}$ $U_ {0}$ cuprins în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ astfel încât $f(U_{0})=V$ ${\ displaystyle f (U_ {0}) = V}$ $f (U_ {0}) = V$ .

Pentru a demonstra existența unei orbite 1-periodice, adică a unui punct fix $I_{0}$ ${\ displaystyle I_ {0}}$ $I_ {0}$ intervalul $[a,b]$ ${\ displaystyle [a, b]}$ $[a, b]$ Și $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ intervalul $[b,c]$ ${\ displaystyle [b, c]}$ $[b, c]$ . Atâta timp cât $f(b)=c$ ${\ displaystyle f (b) = c}$ $f (b) = c$ Și $f(c)=a$ ${\ displaystyle f (c) = a}$ $f (c) = a$ , prin teorema valorii intermediare $f(I_{1})$ ${\ displaystyle f (I_ {1})}$ $f (I_ {1})$ conține $[a,c]$ ${\ displaystyle [a, c]}$ $[B.C]$ și, prin urmare, conține $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ . Dar atunci pentru prima lemă există cu siguranță un punct fix pentru $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ interior $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ .

Așa să fie $n>1$ ${\ displaystyle n> 1}$ $n> 1$ Și $n\neq 3$ ${\ displaystyle n \ neq 3}$ $n \ neq 3$ . Vrem să dovedim existența unei orbite de perioadă minimă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Pentru a face acest lucru, este construită o familie de intervale $J_{n}$ ${\ displaystyle J_ {n}}$ $J_ {n}$ astfel încât:

$I_{1}=J_{0}\supset J_{1}\supset J_{2}\cdots \supset J_{n}$ ${\ displaystyle I_ {1} = J_ {0} \ supset J_ {1} \ supset J_ {2} \ cdots \ supset J_ {n}}$ $I_ {1} = J_ {0} \ supset J_ {1} \ supset J_ {2} \ cdots \ supset J_ {n}$
$f(J_{k})=J_{k-1}\quad k=1,\ldots ,n-2$ ${\ displaystyle f (J_ {k}) = J_ {k-1} \ quad k = 1, \ ldots, n-2}$ $f (J_ {k}) = J _ {{k-1}} \ quad k = 1, \ ldots, n-2$
$f^{k}(J_{k})=I_{1}$ ${\ displaystyle f ^ {k} (J_ {k}) = I_ {1}}$ $f ^ {k} (J_ {k}) = I_ {1}$
$f^{n-1}(J_{n-1})=I_{0}$ ${\ displaystyle f ^ {n-1} (J_ {n-1}) = I_ {0}}$ $f ^ {{n-1}} (J _ {{n-1}}) = I_ {0}$
$f^{n}(J_{n})=I_{1}$ ${\ displaystyle f ^ {n} (J_ {n}) = I_ {1}}$ $f ^ {n} (J_ {n}) = I_ {1}$

Înainte de a demonstra că intervalele $J_{n}$ ${\ displaystyle J_ {n}}$ $J_ {n}$ există, observăm cum pot ajuta la demonstrarea existenței orbitei n-periodice: (5) implică acest lucru $f(J_{n})$ ${\ displaystyle f (J_ {n})}$ $f (J_ {n})$ conține $J_{n}$ ${\ displaystyle J_ {n}}$ $J_ {n}$ și, prin urmare, pentru prima lemă, există un punct fix $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ pentru a n-a iterație care se află prin construcție $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ . Cu toate acestea, aceasta nu aparține neapărat unei perioade minime de orbită $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ (dacă nu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ nu este prim), deoarece dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este egal, fiecare punct al unei orbite 2-periodice, aparține, de asemenea, orbitei n-periodice.

Am notat asta $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ nu poate coincide cu $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ; de fapt, dacă da, de atunci $f(p)=f(c)=a$ ${\ displaystyle f (p) = f (c) = a}$ $f (p) = f (c) = a$ și din moment ce singura iterație care vă permite să ieșiți din interval $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ este (n-1) -th, am avea asta $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ , contrazicând ipoteza că $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ faceți parte din orbita cu 3 perioade. Dar $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ nici nu poate fi egal cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , atâta timp cât $f^{2}(p)=f^{2}(b)=a$ ${\ displaystyle f ^ {2} (p) = f ^ {2} (b) = a}$ $f ^ {2} (p) = f ^ {2} (b) = a$ ar implica, din același motiv ca înainte, $n=3$ ${\ displaystyle n = 3}$ $n = 3$ , dar prin ipoteză am decis să luăm în considerare $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ diferit de 3. Deci $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ aparține gamei deschise $(b,c)$ ${\ displaystyle (b, c)}$ $(b, c)$ . Dar de atunci $f^{n-1}(p)$ ${\ displaystyle f ^ {n-1} (p)}$ $f ^ {{n-1}} (p)$ aparține lui $I_{0}$ ${\ displaystyle I_ {0}}$ $I_ {0}$ , avem asta $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este diferit de $f^{n-1}(p)$ ${\ displaystyle f ^ {n-1} (p)}$ $f ^ {{n-1}} (p)$ , deoarece aparțin a două intervale disjuncte. Rezultă că $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ nu poate aparține unei orbite (n-1) -periodice. Dacă atunci perioada ar fi strict mai mică decât n-1, (3) ar însemna că orbita trebuie să rămână întotdeauna înăuntru $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ , dar (4) arată că acest lucru este imposibil. De aici și perioada minimă a orbitei care $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ apartine este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ .

Rămâne să dovedim existența intervalelor $J_{k}$ ${\ displaystyle J_ {k}}$ $J_ {k}$ . Pentru a le construi apare $J_{0}=I_{1}$ ${\ displaystyle J_ {0} = I_ {1}}$ $J_ {0} = I_ {1}$ ; prin urmare $f(J_{0})$ ${\ displaystyle f (J_ {0})}$ $f (J_ {0})$ conține $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ care contine $J_{0}$ ${\ displaystyle J_ {0}}$ $J_ {0}$ iar pentru a doua lemă există deci un interval $J_{1}$ ${\ displaystyle J_ {1}}$ $J_ {1}$ cuprins în $J_{0}$ ${\ displaystyle J_ {0}}$ $J_ {0}$ astfel încât $f(J_{1})=J_{0}$ ${\ displaystyle f (J_ {1}) = J_ {0}}$ $f (J_ {1}) = J_ {0}$ . Dar faptul că $f(J_{1})=J_{0}$ ${\ displaystyle f (J_ {1}) = J_ {0}}$ $f (J_ {1}) = J_ {0}$ este asta $J_{0}$ ${\ displaystyle J_ {0}}$ $J_ {0}$ conține $J_{1}$ ${\ displaystyle J_ {1}}$ $J_ {1}$ implică existența unui interval $J_{2}$ ${\ displaystyle J_ {2}}$ $J_ {2}$ cuprins în $J_{1}$ ${\ displaystyle J_ {1}}$ $J_ {1}$ astfel încât $f(J_{2})=J_{1}$ ${\ displaystyle f (J_ {2}) = J_ {1}}$ $f (J_ {2}) = J_ {1}$ , și așa mai departe până la $J_{n-1}$ ${\ displaystyle J_ {n-1}}$ $J _ {{n-1}}$ . În acest fel se verifică (1) și (2). Pentru (3) se observă că:

f^{k}(J_{k})=f^{k-1}(f(J_{k}))=f^{k-1}(J_{k-1})

{\ displaystyle f ^ {k} (J_ {k}) = f ^ {k-1} (f (J_ {k})) = f ^ {k-1} (J_ {k-1})}

f ^ {k} (J_ {k}) = f ^ {{k-1}} (f (J_ {k})) = f ^ {{k-1}} (J _ {{k-1}} )

și în cascadă până la $f^{k}(J_{k})=J_{0}=I_{1}$ ${\ displaystyle f ^ {k} (J_ {k}) = J_ {0} = I_ {1}}$ $f ^ {k} (J_ {k}) = J_ {0} = I_ {1}$ . Pentru (4) se observă că:

f^{n-1}(J_{n-2})=f(f^{n-2}(J_{n-2}))=f(I_{1})=I

{\ displaystyle f ^ {n-1} (J_ {n-2}) = f (f ^ {n-2} (J_ {n-2})) = f (I_ {1}) = I}

f ^ {{n-1}} (J _ {{n-2}}) = f (f ^ {{n-2}} (J _ {{n-2}})) = f (I_ {1 }) = Eu

care contine $I_{0}$ ${\ displaystyle I_ {0}}$ $I_ {0}$ ; de aceea, pentru a doua lemă, există un interval $J_{n-1}$ ${\ displaystyle J_ {n-1}}$ $J _ {{n-1}}$ cuprins în $J_{n-2}$ ${\ displaystyle J_ {n-2}}$ $J _ {{n-2}}$ astfel încât:

f^{n-1}(J_{n-1})=I_{0}

{\ displaystyle f ^ {n-1} (J_ {n-1}) = I_ {0}}

f ^ {{n-1}} (J _ {{n-1}}) = I_ {0}

În mod similar pentru (5), deoarece:

f^{n}{J_{n-1}}=f(f^{n-1}(J_{n-1}))=f(I_{0})

{\ displaystyle f ^ {n} {J_ {n-1}} = f (f ^ {n-1} (J_ {n-1})) = f (I_ {0})}

f ^ {n} {J _ {{n-1}}} = f (f ^ {{n-1}} (J _ {{n-1}})) = f (I_ {0})

care contine $I_{1}$ ${\ displaystyle I_ {1}}$ $I_1$ , deducem, din nou grație celei de-a doua leme, că există un interval $J_{n}$ ${\ displaystyle J_ {n}}$ $J_ {n}$ astfel încât $f^{n}(J_{n})=I_{1}$ ${\ displaystyle f ^ {n} (J_ {n}) = I_ {1}}$ $f ^ {n} (J_ {n}) = I_ {1}$ .

Bibliografie

( EN ) Gerald Teschl, Ecuații diferențiale ordinare și sisteme dinamice , Providence, American Mathematical Society, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0 .
(EN) Borwein, J. și Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. Wellesley, MA: AK Peters, 2003.
(EN) Conway, JH și Guy, RK „Puncte periodice”. În Cartea Numerelor . New York: Springer-Verlag, pp. 207-208, 1996.
( EN ) Devaney, RL O introducere în sistemele dinamice haotice, ediția a II-a . Reading, MA: Addison-Wesley, 1989.
( EN ) Elaydi, S. „Despre o conversație a teoremei lui Șarkovski”. Amer. Matematica. Lunar 103 , 386-392, 1996.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein,Teorema lui Sharkovsky , în MathWorld Wolfram Research.

Portal de inginerie

Portalul de matematică