Soluție pe shell și off shell

În fizică , în special în teoria cuantică a câmpului , vorbim de soluții on-shell și off-shell pentru a indica configurațiile unui sistem fizic. Când o configurație este o soluție a ecuațiilor clasice de mișcare, aceasta se numește soluție on shell , în timp ce, dacă nu le satisface, se numește soluție off shell .

Coajă în vrac

Termenul "'soluție pe shell și off shell" derivă din "coajă de masă", sinonim cu hiperboloid de masă , adică este hiperboloidul din spațiul energie-impuls care descrie soluțiile ecuației:

E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m^{2}c^{4}

{\ displaystyle E ^ {2} - | {\ vec {p}} \, | ^ {2} c ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4}}

{\ displaystyle E ^ {2} - | {\ vec {p}} \, | ^ {2} c ^ {2} = m ^ {2} c ^ {4}}

Care descrie combinațiile de energie E și impuls ${\vec {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {p}}}$ permisă de relativitatea specială pentru o particulă de masă m, unde c este viteza luminii . Ecuația pentru învelișul de masă este adesea scrisă în termeni de patru - puls în notația lui Einstein și în unitățile naturale în care $c=1$ ${\ displaystyle c = 1}$ $c = 1$ , ca:

p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}

{\ displaystyle p ^ {\ mu} p _ {\ mu} = m ^ {2}}

{\ displaystyle p ^ {\ mu} p _ {\ mu} = m ^ {2}}

sau mai simplu:

p^{2}=m^{2}

{\ displaystyle p ^ {2} = m ^ {2}}

{\ displaystyle p ^ {2} = m ^ {2}}

Teoria câmpului cuantic

Teoria câmpului cuantic este versiunea relativistă a mecanicii cuantice , unde obiectele fundamentale sunt câmpurile . Acesta oferă cadrul teoretic pe care se bazează fizica particulelor și fizica materiei condensate , de exemplu. În special, teoria cuantică a câmpului electromagnetic , cunoscută sub numele de electrodinamică cuantică , este una dintre cele mai reușite teorii din fizică.

Teoria câmpului cuantic oferă câteva corecții mecanicii cuantice obișnuite, în care evoluția unui sistem este descrisă prin ecuația Schrödinger, care în forma sa cea mai comună este:

\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(\mathbf {r} ,t)

{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}) \ right] \ Psi (\ mathbf {r}, t ) = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} (\ mathbf {r}, t)}

\ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V ({\ mathbf {r}}) \ right] \ Psi ({\ mathbf {r}}, t) = i \ hbar {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial t}} ({\ mathbf {r}}, t)

unde este $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ este constanta Planck redusă, $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ este funcția de undă a unei particule, $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ masa sa și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ o energie potențială aplicată.

Există două probleme asociate cu această ecuație:

În primul rând, nu este relativist, limita corespondenței este redusă la mecanica clasică, mai degrabă decât la relativistică. Acest lucru este vizibil dacă observăm că primul termen din stânga reprezintă doar energia cinetică clasică $p^{2}/2m$ ${\ displaystyle p ^ {2} / 2m}$ ${\ displaystyle p ^ {2} / 2m}$ , în timp ce energia în repaus $mc^{2}$ ${\ displaystyle mc ^ {2}}$ $mc ^ {2}$ este omis. Este posibil să se modifice ecuația Schrödinger pentru a include energia în repaus, obținându-se, de exemplu, ecuația Klein-Gordon pentru particulele scalare (rotire zero) sau ecuația Dirac pentru particulele cu jumătate de rotire;
A doua problemă apare atunci când se încearcă extinderea ecuației la un număr mare de particule. Particulele identice nu se disting între ele (deoarece nu este posibil să se cunoască exact poziția și viteza lor în același timp), deci funcția de undă a întregului sistem trebuie să fie simetrică ( bosoni ) sau antisimetrică ( fermioni ) atunci când coordonatele particulele constitutive sunt schimbate. Acest lucru face ca funcția de undă a sistemelor cu multe particule să fie extrem de complicată. De exemplu, funcția generală de undă a unui sistem de $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ bosonii se scrie ca:

\Phi (r_{1},\dots ,r_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\sum _{p}\phi _{p(1)}(r_{1})\cdots \phi _{p(N)}(r_{N})

{\ displaystyle \ Phi (r_ {1}, \ dots, r_ {N}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} \ sum _ {p} \ phi _ {p (1)} (r_ {1}) \ cdots \ phi _ {p (N)} (r_ {N})}

{\ displaystyle \ Phi (r_ {1}, \ dots, r_ {N}) = {\ frac {1} {\ sqrt {N!}}} \ sum _ {p} \ phi _ {p (1)} (r_ {1}) \ cdots \ phi _ {p (N)} (r_ {N})}

unde este $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ sunt coordonatele particulei i -a, $\phi _{i}$ ${\ displaystyle \ phi _ {i}}$ $\ phi _ {i}$ sunt funcțiile de undă ale particulelor individuale, iar suma este preluată peste toate permutările posibile ale $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ elemente. În general, aceasta este o sumă de $Nu.!$ ${\ displaystyle N!}$ $N!$ ( $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ factorial ) termeni distincti, care devin repede imposibil de gestionat ca $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ .

Câmp scalar

Luând, de exemplu, un câmp scalar într-un spațiu Minkowski D-dimensional, considerăm o densitate Lagrangiană ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial _ {\ mu} \ phi)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial _ {\ mu} \ phi)}$ . Acțiunea este dată de:

S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )

{\ displaystyle S = \ int d ^ {D} x {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial _ {\ mu} \ phi)}

{\ displaystyle S = \ int d ^ {D} x {\ mathcal {L}} (\ phi, \ partial _ {\ mu} \ phi)}

Ecuația Euler-Lagrange este obținută luând în considerare variația câmpului și a derivatelor sale și stabilindu-l egal cu zero. Are forma:

\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}}}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}}}

Presupunând că sistemul face o schimbare infinitesimală $x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ rightarrow x ^ {\ mu} + \ alpha ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ mu} \ rightarrow x ^ {\ mu} + \ alpha ^ {\ mu}}$ în spațiu-timp , densitatea Lagrangiană ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ (un scalar) se transformă ca:

\delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}}}

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}}}

De asemenea, în expansiune $\delta {\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}}}$ în seria Taylor :

\delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L }}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi)}

{\ displaystyle \ delta {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L }}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi)}

asa de:

\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi)}

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ delta \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi)}} \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi)}

observând între timp că asta $\delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )$ ${\ displaystyle \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi) = \ partial _ {\ mu} (\ delta \ phi)}$ ${\ displaystyle \ delta (\ partial _ {\ mu} \ phi) = \ partial _ {\ mu} (\ delta \ phi)}$ întrucât variațiile sunt liniar independente. Deoarece acestea sunt câmpuri scalare, ele se transformă exact ca ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ $\ mathcal {L}$ :

\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ alpha ^ { \ mu} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi}

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ alpha ^ { \ mu} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ alpha ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi}

și având în vedere că acest lucru trebuie valabil pentru traduceri independente:

\alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,\dots ,0),(0,\epsilon ,\dots ,0),\dots

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} = (\ epsilon, 0, \ dots, 0), (0, \ epsilon, \ dots, 0), \ dots}

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu} = (\ epsilon, 0, \ dots, 0), (0, \ epsilon, \ dots, 0), \ dots}

poți „împărți” după $\alpha ^{\mu }$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mu}}$ si scrie:

\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ partial _ {\ mu} \ phi + { \ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} \ partial _ {\ mu} \ phi + { \ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi}

Acesta este un exemplu de ecuație care împiedică shell-ul , deoarece este valabil pentru orice configurație de câmp indiferent dacă respectă ecuațiile de mișcare, care în acest caz sunt ecuațiile Euler-Lagrange.

Cu toate acestea, o soluție on-shell poate fi derivată pur și simplu prin înlocuire $\partial {\mathcal {L}}/\partial \phi$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial \ phi}$ ${\ displaystyle \ partial {\ mathcal {L}} / \ partial \ phi}$ în relația anterioară cu ecuația Euler-Lagrange:

\partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = \ partial _ {\ nu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi}

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ mathcal {L}} = \ partial _ {\ nu} {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ phi + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ partial _ {\ nu} \ phi}

Acest lucru poate fi scris ca:

\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ phi - \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ nu} \ phi)}} \ partial _ {\ mu} \ phi - \ delta _ {\ mu} ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} \ right) = 0}

și definirea cantității între paranteze ca $T^{\nu }{}_{\mu }$ ${\ displaystyle T ^ {\ nu} {} _ {\ mu}}$ ${\ displaystyle T ^ {\ nu} {} _ {\ mu}}$ , avem:

\partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} T ^ {\ nu} {} _ {\ mu} = 0}

{\ displaystyle \ partial _ {\ nu} T ^ {\ nu} {} _ {\ mu} = 0}

care este o formulare a teoremei lui Noether . Cantitatea conservată este tensorul de energie de impuls și este conservată numai pe carcasă , adică numai dacă sunt satisfăcute ecuațiile de mișcare.

Bibliografie

( EN ) Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder (1995): An Introduction to Quantum Field Theory , Addison-Wesley ISBN 0-201-50397-2
Steven Weinberg. Teoria câmpului cuantic . Bologna, Zanichelli, 1998. ISBN 88-08-17894-3
(EN) Steven Weinberg (1995): The Quantum Theory of Fields: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press
( EN ) Steven Weinberg (1996): The Quantum Theory of Fields: Volume 2, Modern applications , Cambridge University Press
(EN) Steven Weinberg (2000): The Quantum Theory of Fields: Volume 3, Supersymmetry, Cambridge University Press
( EN ) C. Itzykson și JB Zuber Quantum Field Theory MacGrawHill 1980 / Dover 2006.
( EN ) N. Bogoliubov și D. Shirkov Introducere în teoria câmpurilor cuantificate Wiley-Intersceince, 1959.
LD Landau , E. Lifsits , V. Berestetskij și L. Pitaevskij Fizică teoretică, vol. 4: Teoria cuantică relativistă (Editori Riuniti, 1978)
G, Mussardo, Modelul Ising. Introducere în teoria câmpului și tranzițiile de fază (Bollati-Boringhieri, 2007)
( EN ) Robin Ticciati (1999): Teoria cuantică a câmpului pentru matematicieni , Cambridge University Press
( EN ) F. Mandl și G. Shaw. Teoria câmpului cuantic . John Wiley & Sons, 1993.
( EN ) F. Brut. Mecanica cuantică relativistă și teoria câmpului . Wiley-Interscience, 1993.

Elemente conexe

linkuri externe

Note de mecanică cuantică relativistă (Universitatea din Roma 1, La Sapienza )
Electrodinamică cuantică (Universitatea din Roma 1, La Sapienza )
Teoriile ecartamentului (Universitatea din Roma 1, La Sapienza )
G. Longhi Quantum Field Theory with the Wightman formalism Arhivat 17 aprilie 2012 la Internet Archive . ( Universitatea din Florența )
( EN ) FJ Dyson 1951 Prelegeri despre mecanica cuantică avansată Ediția a doua
( EN ) S. Coleman Curs de teorie pe câmp, prima parte (Universitatea Harvard)
( EN ) S. Coleman Curs de teoria câmpului, a doua parte
( EN ) W. Siegel Fields

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică