Teorema lui Liouville (mecanica hamiltoniană)

În mecanica rațională , în special mecanica hamiltoniană , teorema lui Liouville afirmă că dinamica în spațiul de fază este descrisă de o funcție de densitate a stărilor. În special, se stabilește că, în evoluția unui sistem conservator , derivata totală în raport cu timpul densității stărilor în spațiul de fază este zero, adică se păstrează densitatea stărilor în spațiul de fază. În mecanica statistică , funcția de densitate a stărilor corespunde unei funcții de densitate de probabilitate . ^[1]

Afirmație

Dat fiind un sistem mecanic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate, spațiul de fază este un spațiu a $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ dimensiune, generată de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonatele generalizate și le dau $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ momente conjugate . Când sistemul evoluează, punctul de fază , care reprezintă starea sa mecanică, descrie o curbă numită traiectorie de fază în spațiul de fază .

Evoluția dinamică a unui sistem mecanic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate definite de coordonatele hamiltoniene $\left({q_{i},p_{i}}\right)_{i=1,\ldots ,n}$ ${\ displaystyle \ left ({q_ {i}, p_ {i}} \ right) _ {i = 1, \ ldots, n}}$ ${\ displaystyle \ left ({q_ {i}, p_ {i}} \ right) _ {i = 1, \ ldots, n}}$ este determinat de ecuațiile lui Hamilton :

{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\qquad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} \ qquad {\ dot {p}} _ {i } = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}}}

{\ displaystyle {\ dot {q}} _ {i} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}}} \ qquad {\ dot {p}} _ {i } = - {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}}}

unde este ${\mathcal {H}}(q_{i},p_{i},t)$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (q_ {i}, p_ {i}, t)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} (q_ {i}, p_ {i}, t)}$ este hamiltonianul sistemului.

Dacă punctele spațiului de fază, care reprezintă configurații diferite ale aceleiași stări macroscopice, sunt distribuite în mod regulat, atunci este posibil să se definească o densitate a stărilor $\rho \left({q_{i},p_{i},t}\right)$ ${\ displaystyle \ rho \ left ({q_ {i}, p_ {i}, t} \ right)}$ $\ rho \ left ({q_ {i}, p_ {i}, t} \ right)$ în jurul punctului $\left({q_{i},p_{i}}\right)$ ${\ displaystyle \ left ({q_ {i}, p_ {i}} \ right)}$ $\ left ({q_ {i}, p_ {i}} \ right)$ . Teorema lui Liouville afirmă că derivata în timp totală a acestei densități este zero:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho \left({q_{i},p_{i},t}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ rho \ left ({q_ {i}, p_ {i}, t} \ right) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ rho \ left ({q_ {i}, p_ {i}, t} \ right) = 0}

Prin urmare, este posibil să ne gândim la aceste puncte reprezentative, în spațiul de fază, ca constituind un fluid incompresibil. Alternativ, afirmația poate fi rescrisă și ca ecuație Liouville cu ajutorul parantezelor Poisson :

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left({q_{i},p_{i},t}\right)=-\{\rho ,{\mathcal {H}}\}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho \ left ({q_ {i}, p_ {i}, t} \ right) = - \ {\ rho, {\ mathcal {H} } \}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho \ left ({q_ {i}, p_ {i}, t} \ right) = - \ {\ rho, {\ mathcal {H} } \}}

Demonstrație

Ținând cont că în spațiul de fază traiectoriile sunt parcurse cu viteză $\mathbf {v} _{i}=\left({{\dot {q}}_{i},{\dot {p}}_{i}}\right)$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = \ left ({{\ dot {q}} _ {i}, {\ dot {p}} _ {i}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {i} = \ left ({{\ dot {q}} _ {i}, {\ dot {p}} _ {i}} \ right)}$ , ecuația de continuitate are:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i}\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {v} _{i}\right)=0\ ;\\&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\left(\rho {\dot {q}}_{i}\right)+\sum _{i}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\left(\rho {\dot {p}}_{i}\right)=0\ ;\\&{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}+\sum _{i}{\dot {p}}_{i}{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}+\rho \sum _{i}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ sum _ {i} \ nabla \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {v} _ {i} \ right) = 0 \; \\ & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ sum _ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} \ left (\ rho {\ dot {q}} _ {i} \ right) + \ sum _ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial p_ {i}}} \ left (\ rho {\ dot {p }} _ {i} \ right) = 0 \; \\ & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ sum _ {i} {\ dot {q}} _ {i} { \ frac {\ partial \ rho} {\ partial q_ {i}}} + \ sum _ {i} {\ dot {p}} _ {i} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial p_ {i }}} + \ rho \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ dot {q}} _ {i}} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ partial { \ dot {p}} _ {i}} {\ partial p_ {i}}} \ right) = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ sum _ {i} \ nabla \ cdot \ left (\ rho \ mathbf {v} _ {i} \ right) = 0 \; \\ & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ sum _ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} \ left (\ rho {\ dot {q}} _ {i} \ right) + \ sum _ {i} {\ frac {\ partial} {\ partial p_ {i}}} \ left (\ rho {\ dot {p }} _ {i} \ right) = 0 \; \\ & {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ sum _ {i} {\ dot {q}} _ {i} { \ frac {\ partial \ rho} {\ partial q_ {i}}} + \ sum _ {i} {\ dot {p}} _ {i} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial p_ {i }}} + \ rho \ sum _ {i} \ left ({\ frac {\ partial {\ dot {q}} _ {i}} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ partial { \ dot {p}} _ {i}} {\ partial p_ {i}}} \ right) = 0 \ end {align}}}

Folosind acum ecuațiile lui Hamilton, rezultă

{\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\left({-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}}\right)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ dot {q}} _ {i}} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ partial {\ dot {p}} _ {i}} { \ partial p_ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}} } \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial p_ {i}}} \ left ({- {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}}} \ dreapta) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ dot {q}} _ {i}} {\ partial q_ {i}}} + {\ frac {\ partial {\ dot {p}} _ {i}} { \ partial p_ {i}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial q_ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial p_ {i}} } \ right) + {\ frac {\ partial} {\ partial p_ {i}}} \ left ({- {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial q_ {i}}}} \ dreapta) = 0}

și apoi în cele din urmă se obține

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}+\sum _{i}{\dot {p}}_{i}{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ sum _ {i} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial q_ { i}}} + \ sum _ {i} {\ dot {p}} _ {i} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial p_ {i}}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ sum _ {i} {\ dot {q}} _ {i} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial q_ { i}}} + \ sum _ {i} {\ dot {p}} _ {i} {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial p_ {i}}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} = 0}

Considerații suplimentare

Este posibil să vedem teorema lui Liouville într-un alt mod, luând în considerare un volum elementar în spațiul de fază:

d\Gamma =dq_{1}\cdots dq_{n}dp_{1}\cdots dp_{n}=d^{n}q_{i}d^{n}p_{i}

{\ displaystyle d \ Gamma = dq_ {1} \ cdots dq_ {n} dp_ {1} \ cdots dp_ {n} = d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i}}

{\ displaystyle d \ Gamma = dq_ {1} \ cdots dq_ {n} dp_ {1} \ cdots dp_ {n} = d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i}}

.

Deoarece numărul statelor este păstrat, pentru câteva momente de timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Și $t^{'}$ ${\ displaystyle t '}$ ${\ displaystyle t '}$ se dovedește

\rho d^{n}q_{i}d^{n}p_{i}=\rho 'd^{n}q'_{i}d^{n}p'_{i}

{\ displaystyle \ rho d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i} = \ rho 'd ^ {n} q' _ {i} d ^ {n} p '_ {i}}

{\ displaystyle \ rho d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i} = \ rho 'd ^ {n} q' _ {i} d ^ {n} p '_ {i}}

sau sub formă diferențială:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\rho d^{n}q_{i}d^{n}p_{i})=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ rho d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i}) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (\ rho d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i}) = 0}

întrucât teorema lui Liouville implică asta $\rho =\rho '$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho '}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho '}$ , asa de

d^{n}q_{i}d^{n}p_{i}=d^{n}q'_{i}d^{n}p'_{i}\implies {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(d^{n}q_{i}d^{n}p_{i})=0

{\ displaystyle d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i} = d ^ {n} q '_ {i} d ^ {n} p' _ {i} \ implic {{frac { \ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i}) = 0}

{\ displaystyle d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i} = d ^ {n} q '_ {i} d ^ {n} p' _ {i} \ implic {{frac { \ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} (d ^ {n} q_ {i} d ^ {n} p_ {i}) = 0}

adică stările unui sistem ocupă întotdeauna volume egale în spațiul de fază, chiar dacă este posibil distorsionat ca urmare a curbelor parcurse de punctele unice.

Funcția de undă Koopman-von Neumann

Conform abordării introduse între 1931 și 1932 de Bernard Koopman și John von Neumann ^[2] ^[3] ^[4] , o densitate de probabilitate este adoptată ca funcție de densitate a statelor, obținută ca pătratul valorii absolute sau, mai mult exact, la fel ca produsul cu complexul său conjugat al funcției de undă Koopman-von Neumann , definit în așa fel încât să respecte ecuația Liouville. Prin urmare, operatorii comutativi autoadjuncti , care operează pe spațiul Hilbert în câmpul complexelor funcțiilor de undă KvN, reprezintă observabilele sistemului. Comutativitatea operatorilor autoadjuncti implică faptul că observabilele sunt toate măsurabile simultan.

Această abordare implică faptul că în mecanica clasică este posibil să se utilizeze operatori complet analogi cu cei ai mecanicii cuantice . De fapt, definiția funcției densității probabilității a fost introdusă în analogie cu legea lui Born , care, totuși, nu impune deloc ca observabilele să fie comutabile, ceea ce subliniază ceea ce este stabilit de principiul incertitudinii lui Heisenberg , de teorema lui Kochen - inegalitățile Specker și Bell .

Demonstrație

Într-un sistem mecanic cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate, al căror spațiu de fază $2n$ ${\ displaystyle 2n}$ $2n$ -dimensional este generat de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonatele generalizate și le dau $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ momente conjugate, operatorul Liouvillian autoadjunct este definit ca:

{\hat {L}}=-i{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p} }}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} }}+i{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}

{\ displaystyle {\ hat {L}} = - i {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf { q}}} + i {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {p}}}}

{\ displaystyle {\ hat {L}} = - i {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {p}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf { q}}} + i {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial \ mathbf {q}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ mathbf {p}}}}

Prin urmare, folosind operatorul de mai sus, este posibil să rescrieți ecuația Liouville: ^[5] ^[6]

i{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\hat {L}}\rho

{\ displaystyle i {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ hat {L}} \ rho}

{\ displaystyle i {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ hat {L}} \ rho}

Aplicarea acestuia din urmă la funcția de undă KvN $\psi (q_{i},p_{i},t)$ ${\ displaystyle \ psi (q_ {i}, p_ {i}, t)}$ ${\ displaystyle \ psi (q_ {i}, p_ {i}, t)}$ și conjugatul său complex $\psi ^{*}(q_{i},p_{i},t)$ ${\ displaystyle \ psi ^ {*} (q_ {i}, p_ {i}, t)}$ ${\ displaystyle \ psi ^ {*} (q_ {i}, p_ {i}, t)}$ , avem:

i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\hat {L}}\psi \qquad i{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}={\hat {L}}\psi ^{*}

{\ displaystyle i {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = {\ hat {L}} \ psi \ qquad i {\ frac {\ partial \ psi ^ {*}} {\ partial t} } = {\ hat {L}} \ psi ^ {*}}

{\ displaystyle i {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} = {\ hat {L}} \ psi \ qquad i {\ frac {\ partial \ psi ^ {*}} {\ partial t} } = {\ hat {L}} \ psi ^ {*}}

Dar din moment ce prin definiție $\rho =\psi \cdot \psi ^{*}$ ${\ displaystyle \ rho = \ psi \ cdot \ psi ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ rho = \ psi \ cdot \ psi ^ {*}}$ , folosind regula produsului Leibniz obținem că:

i{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\hat {L}}\rho

{\ displaystyle i {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ hat {L}} \ rho}

{\ displaystyle i {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = {\ hat {L}} \ rho}

Aceasta arată că este posibilă derivarea densității probabilității din funcția de undă KvN

Notă

^ Harald JW Müller-Kirsten, Bazele fizicii statistice, ediția a II-a, World Scientific (Singapore, 2013)
^ BO Koopman,Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space , în Proceedings of the National Academy of Sciences , vol. 17, n. 5, 1931, pp. 315–318, Bibcode : 1931PNAS ... 17..315K , DOI : 10.1073 / pnas.17.5.315 , PMC 1076052 , PMID 16577368 .
^ J. von Neumann, Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik , în Annals of Mathematics , vol. 33, nr. 3, 1932, pp. 587–642, DOI : 10.2307 / 1968537 , JSTOR 1968537 .
^ J. von Neumann, Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode ..." , în Annals of Mathematics , vol. 33, nr. 4, 1932, pp. 789–791, DOI : 10.2307 / 1968225 , JSTOR 1968225 .
^ D. Mauro (2002), Tema de doctorat "Subiecte în teoria lui Koopman - von Neumann", Universitatea din Trieste.
^ Mauro, D. (2002). „Pe Koopman - Valurile Von Neumann”. Jurnalul internațional de fizică modernă A. 17 (9): 1301-1325.

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Harald JW Müller-Kirsten, Bazele fizicii statistice, ediția a II-a, World Scientific (Singapore, 2013)

[Koopman1931-2] BO Koopman,Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space , în Proceedings of the National Academy of Sciences , vol. 17, n. 5, 1931, pp. 315–318, Bibcode : 1931PNAS ... 17..315K , DOI : 10.1073 / pnas.17.5.315 , PMC 1076052 , PMID 16577368 .

[Neumann1932-3] J. von Neumann, Zur Operatorenmethode In Der Klassischen Mechanik , în Annals of Mathematics , vol. 33, nr. 3, 1932, pp. 587–642, DOI : 10.2307 / 1968537 , JSTOR 1968537 .

[Neumann1932a-4] J. von Neumann, Zusatze Zur Arbeit "Zur Operatorenmethode ..." , în Annals of Mathematics , vol. 33, nr. 4, 1932, pp. 789–791, DOI : 10.2307 / 1968225 , JSTOR 1968225 .

[DaniloMauro2002-5] D. Mauro (2002), Tema de doctorat "Subiecte în teoria lui Koopman - von Neumann", Universitatea din Trieste.

[6] Mauro, D. (2002). „Pe Koopman - Valurile Von Neumann”. Jurnalul internațional de fizică modernă A. 17 (9): 1301-1325.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

V · D · M Mecanica clasică
Newtonian	Materialism newtonian · Sistem de referință · Poziție · traiectorie · lege orară · raport Poisson · spațiu și timp absolut · Viteză · Streamline · Viteză unghiulară · viteză areolară · accelerație · Accelerație unghiulară · Teorema Coriolis · Sistem de referință inerțial · Relativitate galileană · Constrângere · ecuații de mișcare · rectilinie · mișcare circulară · uniformă moto elicoidală · etaj Moto · Poincaré-Bendixson teoremei · Moto centrale · Binet Formula · variat moto · Brachistochrone · mișcare armonică · mișcare parametrică armonică · anharmonicity · matematic Pendulul · spațiul fazelor · Faza de portret · orbita homoclinic · Orbită heteroclinică · axă de rotație · axă de accelerație · unghiuri Euler · precesiune · nutare · precesiune · nutare Moto · teorema Eulerului · Gradul de libertate · Moto translațional · rotație Moto · roto-traducere Moto · Moto elicoidal · Teorema butucilor · centru de rotație instantanee · Baza · Rulletta · Încercați să Bresse · de conuri Poinsot · Mișcare de rulare adevărată · Pendul fizic · Cuplu cinematic · Transmisie Inerțial · al principiului Lavoiser · Centrul de masă · Moment · Impuls (fizică) · sistem inerțial · Inerție · Principiul lui Mach · Principiul Galileo · puterea · linia puternică · Legea lui Hooke · Sistemul forțelor · Forța rezultată · Principiul proporționalității · acțiune-reacție principiu · interacțiunea aparentă · forţa centrală · Binet teoremă · Lenz Vector · forță impulsiv · Shock · Shock elastic · Pendulul Newton · inelastic Shock · Pendulul balistice · moment de inerție · elipsoid Poinsot · Moto Poinsot · teorema axelor paralele · momentului cinetic · Primul teoremă de König · moment mecanic · invariant Trinomio · echilibru mecanic · Diagrama Cremona · Criteriul Andronov-Pontryagin · Legea conservării impulsului unghiular · Euler ( cardinali · dinamica corpului rigid ) · Mecanism · Exponent Lyapunov · Pendul Kater · mașini simple · Mașină Atwood
Lagrangian	Locuri de munca · Moving virtual · Principiul muncii virtuale · Principiul forțelor de reacție · Principiul D'Alembert lui · Energia cinetică · Leibniz Teorema · Conform Teorema König · Putere · conservatoare Forza · energie potențială · suprafață de legătură · Criteriul Dirichlet-Lagrange · Teoreme Ljapunov · Morse Lema · diagrama bifurcare · Frecare · energie mecanică · conservarea energiei mecanice · pendulul Maxwell · pendul Wilberforce · coordonate, viteză, accelerație, impuls, forța generalizată · generalizată impuls conservarea · Statica structurilor · spatiu de configurare · Lagrangiană · ciclic coordonate · Euler- Ecuații Lagrange · Formă Nielsen · Teoria micilor oscilații · Apelați ecuațiile mișcării · Principiul celei mai mici constrângeri · Teorema lui Noether · Ruperea spontană a simetriei
Hamiltoniană	Redusă de acțiune · Maupertuis Principiu · coordonate canonice · Principiul lui Hamilton · coordonate de acțiune în unghi · paranteze Poisson · câmp vectorial Hamiltonian · ecuațiilor Hamilton · Primele integralele de mișcare · Hamiltoniene Sistem · Transformare canonică · Liouville Teorema · reapariție Teorema · ecuația Hamilton-Jacobi · simplectică Varietate · Teorema Kolmogorov-Arnold-Moser
Continuu	Relații constitutive · Raport Cauchy · Cauchy continuu · al lui Cosserat continuu · Tensiune · tensiune internă · efort normal · Shearstress · Moment de îndoire · Cuplu · Relații constitutive
Solid	Deformarea · Unitate · Compresie · Instabilitate in flambaj · modulul de forfecare · Flexia drepte · deviate Flexia · Twist · Formula trinomial Navier · Mohr cerc · Reziliența · Metoda Castigliano lui · Mecanica structurilor · Criterii de durabilitate · Beam · Ipoteză Bernoulli · Metoda Myklestad · sarcină critică euleriană · șină constând · frânghie · membrană · plăci · Plăci · Shell · Teoria elasticității · metoda de deplasare · Metoda eforturilor · Ecuațiile Beltrami · Problema Saint Venant · Politica Rankine · Criteriile Grashof · Winkler elastic pentru sol · din Legea Hollomonn · Tresca criterii · criteriul randamentului von Mises
Fluide	Deformații în fluidele · presiune · Eforturi vâscoase · ideal pentru fluide · laminar regim · Legea Poiseuille · fluidelor · aeroelasticitate · Legea Stevino · Formula hipsometric · Cask Pascal · Legea Torricelli a lui · Legea lui Arhimede · Capacitate · hidrodinamicii · Legea lui Leonardo · salt hidraulic · aerodinamica · ecuațiilor Navier-Stokes · linia de flux · flux Stokes · Legea Stokes · strat limită · vorticitate · vârtejuri de von Karman · Ecuația de vorticitate · d'paradox Alembert lui · Kutta-Joukowski teorema · Teorema Taylor-Proudman · potențial vorticitate · turbulență · Kolmogorov Scale · Colebrook ecuaţia · newtonian fluidelor · Shockwave · ecuația Prăjitura · condiţii Rankine-Hugoniot · lift · Efect Magnus · fluid Resistance · viscos Debit · Debit nevascos · staționar flow · curgere laminară · turbulent de curgere · Efectul Coanda · Debit compresibil · Debit incompresibil · Principiul lui Bernoulli · Teorema lui Crocco · Hidraulică · Instabilitate Rayleigh-Taylor · Legea lui Darcy · Legea lui Betz
Statistici Maxwell-Boltzmann	Aspect · Densitatea stărilor · Ipoteză ergodică · Împreună microcanonică · Teorema echipației de energie · Constanta Boltzmann · Entropia configurațională · Gibbs Paradox · Teorema virială · Funcția de partiție (mecanică statistică) · Distribuția lui Boltzmann · Canon Împreună · Împreună mare canonic · Drept Avogadro · Gaz monatomic · Gaz diatomic · Potențial morse · Gaz poliatomic · Forța van der Waals · Potențialul Lennard-Jones · Termodinamica beta · Legea Rayleigh-Jeans