Ecuația vorticității

În dinamica fluidelor, ecuația vorticității descrie evoluția vorticității în timp și, prin urmare, este utilă în înțelegerea mișcărilor de rotație din fluide . În cazul fluidelor barotrope nevâscoase , acesta stabilește că vectorul vorticității este integral cu materia, se deplasează odată cu acesta și evoluția sa este de natură să garanteze conservarea impulsului unghiular .

Definiție

Ecuația, în varianta sa pentru fluidele necompresibile nevâscoase, a fost obținută de Helmholtz . ^[1] .

Forma generală este dată de:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\bar {\omega }}{\rho }}-\left({\frac {\bar {\omega }}{\rho }}\cdot \nabla \right){\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \times {\frac {\operatorname {d} ^{2}{\bar {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} - \ left ({\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla \ times {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} - \ left ({\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla \ times {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}}}

unde d / dt reprezintă derivata totală în raport cu timpul, ω este vorticitatea, ${\bar {r}}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {r}}}$ este locația. Prin urmare, variația temporală a vorticității este determinată de rotorul forțelor în joc.

În cazul fluidelor baroclinice nevâscoase , ecuația devine:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\bar {\omega }}{\rho }}-\left({\frac {\bar {\omega }}{\rho }}\cdot \nabla \right){\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\bar {B}}{\rho }}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} - \ left ({\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ bar {B }} {\ rho}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} - \ left ({\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ bar {B }} {\ rho}}}

unde vectorul B este baroclinicitatea ^[2] dată de:

{\bar {B}}={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p

{\ displaystyle {\ bar {B}} = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ nabla \ rho \ times \ nabla p}

{\ displaystyle {\ bar {B}} = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ nabla \ rho \ times \ nabla p}

În cazul fluidelor barotrope nevâscoase, acesta se reduce la:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\bar {\omega }}{\rho }}-\left({\frac {\bar {\omega }}{\rho }}\cdot \nabla \right){\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} - \ left ({\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} - \ left ({\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} = 0}

Derivare formală

Începem prin calcularea rotorului derivatei totale a vitezei:

{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\bar {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}+\left({\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\cdot \nabla \right){\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t} } {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + \ left ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t} } {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + \ left ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}

Următoarea identitate, datorită lui Lagrange , ^[3] facilitează calculele

{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\bar {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}+{\bar {\omega }}\times {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}+{\frac {1}{2}}\nabla \left({\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t} } {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + {\ bar {\ omega}} \ times {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + {\ frac {1} {2}} \ nabla \ left ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t} } {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + {\ bar {\ omega}} \ times {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + {\ frac {1} {2}} \ nabla \ left ({\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ right) ^ {2}}

calculând rotorul acestei egalități și folosind faptul că

\nabla \cdot {\bar {\omega }}=0

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ bar {\ omega}} = 0}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ bar {\ omega}} = 0}

primesti:

\nabla \times {\frac {\operatorname {d} ^{2}{\bar {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\operatorname {d} {\bar {\omega }}}{\operatorname {d} t}}-\left({\bar {\omega }}\cdot \nabla \right){\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}+{\bar {\omega }}\left(\nabla \cdot {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}\right)

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {d } {\ bar {\ omega}}} {\ operatorname {d} t}} - \ left ({\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + {\ bar {\ omega}} \ left (\ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ right)}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {d } {\ bar {\ omega}}} {\ operatorname {d} t}} - \ left ({\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} + {\ bar {\ omega}} \ left (\ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} \ right)}

folosind ecuația continuității masei

{\frac {1}{\rho }}{\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}=-\nabla \cdot {\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ operatorname {d} t}} = - \ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ operatorname {d} t}} = - \ nabla \ cdot {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}}}

primesti

\nabla \times {\frac {\operatorname {d} ^{2}{\bar {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}={\frac {\operatorname {d} {\bar {\omega }}}{\operatorname {d} t}}-\left({\bar {\omega }}\cdot \nabla \right){\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\bar {\omega }}{\rho }}{\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {d } {\ bar {\ omega}}} {\ operatorname {d} t}} - \ left ({\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} - {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ operatorname {d} t }}}

{\ displaystyle \ nabla \ times {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ operatorname {d } {\ bar {\ omega}}} {\ operatorname {d} t}} - \ left ({\ bar {\ omega}} \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} - {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ operatorname {d} t }}}

împărțind la ρ și folosind faptul că

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}{\frac {\bar {\omega }}{\rho }}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\operatorname {d} {\bar {\omega }}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\bar {\omega }}{\rho ^{2}}}{\frac {\operatorname {d} \rho }{\operatorname {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {\ omega}}} {\ operatorname {d} t}} - {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ operatorname {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho}} = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {\ omega}}} {\ operatorname {d} t}} - {\ frac {\ bar {\ omega}} {\ rho ^ {2}}} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ operatorname {d} t}}}

se obține afirmația. În cazul mișcărilor baroclinice nevâscoase pe care le avem, din ecuația impulsului Navier-Stokes :

{\frac {\operatorname {d} ^{2}{\bar {r}}}{\operatorname {d} t^{2}}}=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\nabla \phi

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p- \ nabla \ phi}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} = - {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p- \ nabla \ phi}

unde p este presiunea, Φ este geopotențialul . Deoarece rotorul unui gradient este zero, partea de forță datorată lui ϕ nu contribuie la modificarea vorticității. Calculând rotorul termenului datorat presiunii obținem:

-\nabla \times {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p

{\ displaystyle - \ nabla \ times {\ frac {\ nabla p} {\ rho}} = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ nabla \ rho \ times \ nabla p}

{\ displaystyle - \ nabla \ times {\ frac {\ nabla p} {\ rho}} = {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ nabla \ rho \ times \ nabla p}

apoi obținem versiunea ecuației pentru fluidele baroclinice nevâscoase.

În fluidele barotrope densitatea este doar o funcție a presiunii, de aceea gradienții celor două cantități sunt paralele. Prin urmare, baroclinicitatea dispare și se obține versiunea ecuației pentru fluidele barotrope nevâscoase.

Semnificația fizică

Semnificația fizică a ecuației vorticității poate fi înțeleasă mai bine luând în considerare cazul simplificat al unui fluid incompresibil și nevâscos, care nu este supus forțelor externe. În acest caz mișcarea este inerțială, impulsul unghiular este conservat, iar vectorul vorticității este integral cu materia, adică dacă la un moment dat vorticitatea este aliniată la o linie materială de lungime infinitesimală $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , rămâne întotdeauna atât de aliniat.

Conservarea impulsului unghiular

Cu un exemplu simplu, se poate verifica că ecuația vorticității implică conservarea impulsului unghiular al fluidului, în absența unor forțe de rotor diferite de zero, cum ar fi vâscozitatea.

Luați în considerare un fluid ideal, cu densitate constantă și fără vâscozitate, care se mișcă într-un tub ideal perfect neted așezat de-a lungul axei x. Mișcarea este staționară: fluidul se mișcă cu viteza u de-a lungul axei x și se rotește pe el însuși pe planul yz. Pentru comoditate, considerăm că, pentru fiecare secțiune verticală cu grosime infinitesimală dx, mișcarea rotativă are loc cu viteza unghiulară ω egală pe întreaga secțiune. Deci, fiecare secțiune verticală se deplasează spre dreapta cu viteza u (x) și se rotește pe sine cu viteza unghiulară ω (x).

La un moment dat conducta se îngustează, trece suprafața secțiunii verticale $\Sigma _{A}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {A}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {A}}$ la $\Sigma _{B}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {B}}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {B}}$ . Este ușor să se prezică modul în care variază mișcarea: u se modifică pentru a garanta, prin urmare, constanța debitului volumetric

u_{A}\Sigma _{A}=u_{B}\Sigma _{B}

{\ displaystyle u_ {A} \ Sigma _ {A} = u_ {B} \ Sigma _ {B}}

{\ displaystyle u_ {A} \ Sigma _ {A} = u_ {B} \ Sigma _ {B}}

Viteza unghiulară ω variază pentru a păstra impulsul unghiular. Momentul unghiular al fiecărei secțiuni este dat de produsul vitezei unghiulare și momentul de inerție :

L=I{\bar {\omega }}={\frac {1}{2}}mr^{2}{\bar {\omega }}

{\ displaystyle L = I {\ bar {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} {\ bar {\ omega}}}

{\ displaystyle L = I {\ bar {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} mr ^ {2} {\ bar {\ omega}}}

prin urmare, luând în considerare faptul că suprafața este proporțională cu pătratul razei, obținem:

\omega _{A}\Sigma _{A}=\omega _{B}\Sigma _{B}

{\ displaystyle \ omega _ {A} \ Sigma _ {A} = \ omega _ {B} \ Sigma _ {B}}

{\ displaystyle \ omega _ {A} \ Sigma _ {A} = \ omega _ {B} \ Sigma _ {B}}

Verificăm dacă ecuația vorticității duce exact la același rezultat. În fiecare secțiune a tubului, vorticitatea este direcționată de-a lungul axei x și este dată de:

\omega _{x}={\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}

{\ displaystyle \ omega _ {x} = {\ frac {\ partial v} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial w} {\ partial y}}}

{\ displaystyle \ omega _ {x} = {\ frac {\ partial v} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial w} {\ partial y}}}

unde v și w sunt componentele y și z ale vitezei, respectiv. Ecuația vorticității se reduce la:

{\frac {\operatorname {d} \omega _{x}}{\operatorname {d} t}}={\frac {\partial \omega _{x}}{\partial t}}+u{\frac {\partial \omega _{x}}{\partial x}}=\omega _{x}{\frac {\partial u}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ omega _ {x}} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ partial \ omega _ {x}} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial \ omega _ {x}} {\ partial x}} = \ omega _ {x} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ omega _ {x}} {\ operatorname {d} t}} = {\ frac {\ partial \ omega _ {x}} {\ partial t}} + u {\ frac {\ partial \ omega _ {x}} {\ partial x}} = \ omega _ {x} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}}}

Deoarece mișcarea este staționară, pentru fiecare x pe care îl avem ${\frac {\partial \omega _{x}}{\partial t}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ omega _ {x}} {\ partial t}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ omega _ {x}} {\ partial t}} = 0}$ . Deci, veți obține imediat:

\omega _{x}\propto u

{\ displaystyle \ omega _ {x} \ propto u}

{\ displaystyle \ omega _ {x} \ propto u}

Folosind faptul că $u_{A}\Sigma _{A}=u_{B}\Sigma _{B}$ ${\ displaystyle u_ {A} \ Sigma _ {A} = u_ {B} \ Sigma _ {B}}$ ${\ displaystyle u_ {A} \ Sigma _ {A} = u_ {B} \ Sigma _ {B}}$ primesti

\omega _{xA}\Sigma _{A}=\omega _{xB}\Sigma _{B}

{\ displaystyle \ omega _ {xA} \ Sigma _ {A} = \ omega _ {xB} \ Sigma _ {B}}

{\ displaystyle \ omega _ {xA} \ Sigma _ {A} = \ omega _ {xB} \ Sigma _ {B}}

Deoarece viteza unghiulară este uniformă pe întreaga secțiune, se poate verifica cu ușurință că:

\omega _{x}=2{\bar {\omega }}

{\ displaystyle \ omega _ {x} = 2 {\ bar {\ omega}}}

{\ displaystyle \ omega _ {x} = 2 {\ bar {\ omega}}}

Apoi obținem relația obținută pornind de la conservarea impulsului unghiular.

Raționamentul poate fi continuat observând că, deoarece fluidul este incompresibil, suprafața secțiunii și grosimea acesteia sunt invers proporționale. Prin urmare, ajungem la relație:

{\frac {\omega _{xA}}{\delta _{xA}}}={\frac {\omega _{xB}}{\delta _{xB}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {xA}} {\ delta _ {xA}}} = {\ frac {\ omega _ {xB}} {\ delta _ {xB}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {xA}} {\ delta _ {xA}}} = {\ frac {\ omega _ {xB}} {\ delta _ {xB}}}}

unde este $\delta _{x}$ ${\ displaystyle \ delta _ {x}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {x}}$ este grosimea secțiunii. Măreția ${\frac {\omega _{x}}{\delta _{x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {x}} {\ delta _ {x}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {x}} {\ delta _ {x}}}}$ reprezintă vorticitatea potențială a secțiunii, care, prin urmare, rămâne constantă ca o consecință a conservării impulsului unghiular.

Același subiect în detaliu: Vorticitatea potențială .

Vorticitatea în solidaritate cu materia

Se poate întâmpla ca variația distanței $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ între două elemente fluide contigue A și B este dat de:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\delta =\left(\delta \cdot \nabla \right){\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ delta = \ left (\ delta \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar { r}}} {\ operatorname {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ delta = \ left (\ delta \ cdot \ nabla \ right) {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar { r}}} {\ operatorname {d} t}}}

de fapt, având în vedere doar componenta x pentru simplitate, avem:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\delta _{x}={\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}|_{A}-{\frac {\operatorname {d} {\bar {r}}}{\operatorname {d} t}}|_{B}=\delta _{x}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} {\bar {x}}}{\operatorname {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ delta _ {x} = {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname { d} t}} | _ {A} - {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} | _ {B} = \ delta _ {x} { \ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {x}}} {\ operatorname {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} \ delta _ {x} = {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname { d} t}} | _ {A} - {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {r}}} {\ operatorname {d} t}} | _ {B} = \ delta _ {x} { \ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {x}}} {\ operatorname {d} t}}}

unde este ${\frac {\operatorname {d} {\bar {x}}}{\operatorname {d} t}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {x}}} {\ operatorname {d} t}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} {\ bar {x}}} {\ operatorname {d} t}}}$ este componenta x a vitezei.

Prin urmare, legea cu care vorticitatea variază în fluidele incompresibile, nu vâscoase și nu supuse forțelor externe, este exact aceeași cu care variază distanțele dintre elementele adiacente ale fluidului . Ca rezultat, dacă la un moment dat vorticitatea este aliniată cu linia materialului $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , rămâne întotdeauna atât de aliniat.

Ecuația vorticității pentru mișcările sinoptice

Conceptul de vorticitate are o mare importanță în meteorologie și climatologie, deoarece este baza dinamicii fluidelor rotative. Din conservarea cantităților conectate la acesta, cum ar fi vorticitatea potențială , pot fi deduse comportamente fundamentale precum undele Rossby .

Cea mai rapidă modalitate de a obține ecuația vorticității pentru mișcări pe o scară sinoptică este calcularea rotorului ecuațiilor aproximative ale mișcării: ^[4]

{\frac {\operatorname {d} ^{2}x}{\operatorname {d} t^{2}}}-f{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} x} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} - f {\ frac {\ operatorname {d} y} {\ operatorname {d} t}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} x} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} - f {\ frac {\ operatorname {d} y} {\ operatorname {d} t}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}}}

{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} t^{2}}}+f{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} y} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} + f {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial y}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} ^ {2} y} {\ operatorname {d} t ^ {2}}} + f {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} = - {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ partial p} {\ partial y}}}

unde apar componentele zonale (adică orientate spre est) și sudice (adică orientate spre nord) ale vitezei, f este vorticitatea planetară , adică vorticitatea intrinsecă a mișcării de rotație a suprafeței pământului. Desigur, având în vedere că numai componentele orizontale ale vitezei sunt considerate în mișcări sinoptice, vorticitatea are doar componenta verticală diferită de zero. Rezultatul este: ^[5]

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}({\bar {\omega }}+f)=-({\bar {\omega }}+f)\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\frac {\partial \rho }{\partial x}}{\frac {\partial p}{\partial y}}-{\frac {\partial \rho }{\partial y}}{\frac {\partial p}{\partial x}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} ({\ bar {\ omega}} + f) = - ({\ bar {\ omega}} + f) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ frac {\ operatorname {d} y} {\ operatorname {d} t}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial \ rho} { \ partial x}} {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial y}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} ({\ bar {\ omega}} + f) = - ({\ bar {\ omega}} + f) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ frac {\ operatorname {d} y} {\ operatorname {d} t}} \ right) + {\ frac {1} {\ rho ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial \ rho} { \ partial x}} {\ frac {\ partial p} {\ partial y}} - {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial y}} {\ frac {\ partial p} {\ partial x}} \ dreapta)}

unde ω este vorticitatea relativă , adică vorticitatea fluidului față de suprafața pământului. Ultimul termen reprezintă baroclinicitate. Prin urmare, în aproximarea barotropă, ecuația este redusă la:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}({\bar {\omega }}+f)=-({\bar {\omega }}+f)\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} ({\ bar {\ omega}} + f) = - ({\ bar {\ omega}} + f) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ frac {\ operatorname {d} y} {\ operatorname {d} t}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} ({\ bar {\ omega}} + f) = - ({\ bar {\ omega}} + f) \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ frac {\ operatorname {d} x} {\ operatorname {d} t}} + {\ frac {\ partial} {\ partial y}} {\ frac {\ operatorname {d} y} {\ operatorname {d} t}} \ right)}

Notă

^ Feynman , voi. 2, 40-10 .
^ Gill , p. 238 .
^ Gill , p. 227 .
^ Holton , p. 40 .
^ Holton , p. 101 .

Bibliografie

Adrian Gill, Atmosphere-Ocean Dynamics , ISBN 0-12-283522-0 .
James R Holton, O introducere la meteorologia dinamică , ediția a IV-a, ISBN 978-0-12-354015-7 .
Richard Feynman, Prelegeri despre fizică - Ediție definitivă , ISBN 0-8053-9049-9 .

Elemente conexe

Portalul de fizică

Portal de meteorologie

[1] Feynman , voi. 2, 40-10 .

[2] Gill , p. 238 .

[3] Gill , p. 227 .

[4] Holton , p. 40 .

[5] Holton , p. 101 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]