Enstrofia

Enstrofia din dinamica fluidelor este definită ca varianța vorticității . Aceasta este o cantitate legată de rata de disipare a energiei cinetice în mișcări turbulente .

În special, această cantitate fizică joacă un rol important în turbulența bidimensională , o aproximare valabilă de exemplu în fizica atmosferică unde raportul dintre scale caracteristice orizontale și verticale (dimensiunea geografică și altitudinea) este de ordinul 100 sau pentru anumite configurații în plasme magnetizate .

Fenomenologia mișcărilor turbulente într-un spațiu bidimensional prezintă caracteristici care sunt radical diferite de cele ale cascadei tridimensionale de energie turbulentă, fiind în schimb caracterizată de o cascadă dublă de energie și enstrofie.

Definiție

Pentru un debit incompresibil , vorticitatea este definită ca rotorul câmpului de viteză v, sau uneori jumătate din această valoare. În plan $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ avem:

{\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {v} =(0,0,\omega )^{t}\,,\qquad \omega ={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ nabla \ times \ mathbf {v} = (0,0, \ omega) ^ {t} \ ,, \ qquad \ omega = {\ frac {\ partial v_ { y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}} = \ nabla \ times \ mathbf {v} = (0,0, \ omega) ^ {t} \ ,, \ qquad \ omega = {\ frac {\ partial v_ { y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}}}

Deci, să definim

energie (cinetică) $E={\frac {1}{2}}\langle v^{2}\rangle$ ${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ langle v ^ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ langle v ^ {2} \ rangle}$
extrofia $\Omega ={\frac {1}{2}}\langle \omega ^{2}\rangle$ ${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {2}} \ langle \ omega ^ {2} \ rangle}$ ${\ displaystyle \ Omega = {\ frac {1} {2}} \ langle \ omega ^ {2} \ rangle}$

Turbulența poate fi descrisă ca un proces stocastic care implică v sau ω unde putem asocia un număr de undă κ fiecărei scări spațiale caracteristice. Procesul se caracterizează printr-un spectru energetic $E(\kappa )$ ${\ displaystyle E (\ kappa)}$ ${\ displaystyle E (\ kappa)}$ $E(\kappa )$ ${\ displaystyle E (\ kappa)}$ ${\ displaystyle E (\ kappa)}$ $E(\kappa )$ ${\ displaystyle E (\ kappa)}$ ${\ displaystyle E (\ kappa)}$ , care permite exprimarea energiei cinetice turbulente $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , disiparea energiei ε și extrofia (în care $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ este vâscozitatea cinematică ).

E=\int _{0}^{\infty }P(\kappa )\mathrm {d} \kappa \,,\qquad \epsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }\kappa ^{2}P(\kappa )\mathrm {d} \kappa \,,\qquad \Omega =\int _{0}^{\infty }\kappa ^{2}P(\kappa )\mathrm {d} \kappa

{\ displaystyle E = \ int _ {0} ^ {\ infty} P (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa \ ,, \ qquad \ epsilon = 2 \ nu \ int _ {0} ^ {\ infty} \ kappa ^ {2} P (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa \ ,, \ qquad \ Omega = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ kappa ^ {2} P (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa}

{\ displaystyle E = \ int _ {0} ^ {\ infty} P (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa \ ,, \ qquad \ epsilon = 2 \ nu \ int _ {0} ^ {\ infty} \ kappa ^ {2} P (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa \ ,, \ qquad \ Omega = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ kappa ^ {2} P (\ kappa) \ mathrm {d} \ kappa}

Prin urmare, putem scrie o relație care conectează rata de schimbare a energiei cinetice într-o mișcare turbulentă, cu extrofia fluxului:

{\frac {dE}{dt}}=-2\nu \Omega

{\ displaystyle {\ frac {dE} {dt}} = - 2 \ nu \ Omega}

{\ displaystyle {\ frac {dE} {dt}} = - 2 \ nu \ Omega}

.

Proprietate

Evoluția în timp a câmpului de vorticitate, pentru un fluid incompresibil și izotrop, este dată de următoarea ecuație :

${\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {v} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ frac {D {\ boldsymbol {\ omega}}} {Dt}} = \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {v} + \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {D {\ boldsymbol {\ omega}}} {Dt}} = \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {v} + \ nu \ nabla ^ {2} {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ,

unde operatorul ${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\textbf {v}}\cdot \nabla$ ${\ displaystyle {\ frac {D} {Dt}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ textbf {v}} \ cdot \ nabla}$ ${\ displaystyle {\ frac {D} {Dt}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}} + {\ textbf {v}} \ cdot \ nabla}$ este derivatul material . Termenul $\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ left ({\ boldsymbol {\ omega}} \ cdot \ nabla \ right) \ mathbf {v}}$ se numește întindere vortex și este responsabil pentru crearea sau distrugerea enstrofiei.

Cascadă de enstrofie

Dublă cascadă de energie și enstrofie.

În turbulențele bidimensionale, întrucât întinderea vortexului nu este posibilă (deoarece câmpurile de viteză și vorticitate sunt perpendiculare între ele în fiecare punct), un fenomen fundamental al turbulenței tridimensionale ^[1] , fenomenologia fluxului se schimbă complet.

Robert Kraichnan ^[2] , C. Leith ^[3] și George Batchelor ^{[4] au} stabilit, prin intermediul unor considerente de analiză dimensională , un mecanism similar cu cascada turbulentă privind evoluția unui sistem omogen și staționar atunci când injectează energie la numărul de val $\kappa _{f}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {f}}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {f}}$ , ceea ce duce la stabilirea unui spectru auto-similar :

pentru $k_{f}<k<k_{\eta }$ ${\ displaystyle k_ {f} <k <k _ {\ eta}}$ ${\ displaystyle k_ {f} <k <k _ {\ eta}}$ spectrul energetic este dominat de transferul de enstrofie către un număr mare de unde (cascada de enstrofie directă) este dat de (cu $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ rata de disipare a enstrofiei)

E(\kappa )\simeq k^{-3}\zeta ^{\frac {2}{3}}

{\ displaystyle E (\ kappa) \ simeq k ^ {- 3} \ zeta ^ {\ frac {2} {3}}}

{\ displaystyle E (\ kappa) \ simeq k ^ {- 3} \ zeta ^ {\ frac {2} {3}}}

,

iar disiparea are loc la scară

\kappa _{\eta }

{\ displaystyle \ kappa _ {\ eta}}

{\ displaystyle \ kappa _ {\ eta}}

analog cu scara Kolmogorov :

\kappa _{\eta }=\zeta ^{\frac {1}{6}}\nu ^{-3}

{\ displaystyle \ kappa _ {\ eta} = \ zeta ^ {\ frac {1} {6}} \ nu ^ {- 3}}

{\ displaystyle \ kappa _ {\ eta} = \ zeta ^ {\ frac {1} {6}} \ nu ^ {- 3}}

pentru $k_{f}<k<k_{\eta }$ ${\ displaystyle k_ {f} <k <k _ {\ eta}}$ ${\ displaystyle k_ {f} <k <k _ {\ eta}}$ în schimb are loc o cascadă inversă (de la lungimi de undă mici la lungi), care prezintă o tendință similară cu cea a spectrului tridimensional Kolmogorov (sau spectru inerțial)

E(\kappa )\simeq \epsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}

{\ displaystyle E (\ kappa) \ simeq \ epsilon ^ {\ frac {2} {3}} k ^ {- {\ frac {5} {3}}}}

{\ displaystyle E (\ kappa) \ simeq \ epsilon ^ {\ frac {2} {3}} k ^ {- {\ frac {5} {3}}}}

.

Energia se îndreaptă apoi spre scările mari: în absența unui mecanism capabil să o disipeze, se observă formarea unor structuri coerente mari care nu au corespondență în turbulențele tridimensionale. ^[5]

O altă diferență notabilă în ceea ce privește problema tridimensională este absența fenomenului de intermitență, pentru care este valabilă ipoteza auto-similitudinii câmpului de viteză turbulentă.

Notă

^ Étienne Guyon , Jean-Pierre Hulin și Luc Petit, Hydrodynamique physique , CNRS Éditions / EDP Sciences ª ed., 2001, ISBN 2-86883-502-3 .
^ (EN) Robert H. Kraichnan , Inertial Ranges in Two-Dimensional Turbulence, în Physics of Fluids , Vol. 10, nr. 7, 1967, p. 1417-1423.
^ (EN) EC Leith, Aproximarea difuziei turbulente pentru câmpurile scalare, în fizica fluidelor , vol. 11, n. 8, 1968, p. 1612.
^ (EN) GK Batchelor , Calculul spectrului energetic în turbulențe bidimensionale omogene, în fizica fluidelor , vol. 12, nr. 12, 1969, p. 233-239.
^ (EN) Christophe Bailly și Geneviève Compte-Bellot, Turbulence, editat de Springer , 2015, ISBN 978-3-319-16159-4 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[Guyon-1] Étienne Guyon , Jean-Pierre Hulin și Luc Petit, Hydrodynamique physique , CNRS Éditions / EDP Sciences ª ed., 2001, ISBN 2-86883-502-3 .

[2] (EN) Robert H. Kraichnan , Inertial Ranges in Two-Dimensional Turbulence, în Physics of Fluids , Vol. 10, nr. 7, 1967, p. 1417-1423.

[3] (EN) EC Leith, Aproximarea difuziei turbulente pentru câmpurile scalare, în fizica fluidelor , vol. 11, n. 8, 1968, p. 1612.

[4] (EN) GK Batchelor , Calculul spectrului energetic în turbulențe bidimensionale omogene, în fizica fluidelor , vol. 12, nr. 12, 1969, p. 233-239.

[Bailly2-5] (EN) Christophe Bailly și Geneviève Compte-Bellot, Turbulence, editat de Springer , 2015, ISBN 978-3-319-16159-4 .

[1]

[2]

[3]

[4] au

[5]