Cascadă de energie

Jet turbulent, vizualizat prin fluorescență indusă de laser. Jetul are o gamă largă de scale de lungime, o condiție prealabilă pentru apariția unei cascade de energie în descrierea turbulenței.

În mecanica continuumului , o cascadă de energie implică transferul de energie din mișcare pe scări mari în mișcare pe scări mici (numită cascadă directă de energie ) sau un transfer de energie de la scări mici la scări mari (numită cascadă de energie inversă ). Acest transfer de energie între diferite scale necesită ca dinamica sistemului să fie neliniară.

Acest concept joacă un rol important în studiul turbulențelor pe deplin dezvoltate și a fost descris pentru prima dată de Lewis F. Richardson în anii 1920.

Luați în considerare, de exemplu, turbulența generată de fluxul de aer în jurul unei clădiri înalte: vârtejurile (care conțin energie) generate de separarea fluxului au dimensiuni de ordinul a zeci de metri. Undeva în aval, disiparea prin vâscozitate are loc, în cea mai mare parte, în vârtejuri la microscala Kolmogorov : de ordinul unui milimetru pentru cazul luat în considerare. Pe scările intermediare, nu există nici aport direct de energie, nici o rată semnificativă de disipare vâscoasă, dar există un transfer net neliniar de energie de la scară mare la scară mică.

Acest interval intermediar de scale, dacă există, este numit ( sub) interval inerțial . Dinamica la aceste scale este descrisă folosind ipoteza auto-similitudinii , sau prin alte ipoteze, pentru modelele de închidere a turbulenței, cu privire la proprietățile statistice ale fluxului în sub-intervalul inerțial. O lucrare de pionierat a fost deducerea lui Andrey Kolmogorov în anii 1940 a spectrului energetic (în spațiul numerelor de undă ) în subgama inerțială a turbulenței.

Cascadele de energie sunt, de asemenea, importante pentru diferitele generalizări ale conceptului de turbulență, cum ar fi turbulența valurilor în valurile mării sau în optica neliniară (în acest caz, Kolmogorov- Zakharov cade) ^[1] .

Spectre în subgama inerțială a fluxului turbulent

Ilustrație schematică a producției, cascadei de energie și disipării în spectrul de energie turbulentă.

Mișcările mai mari, sau vârtejurile, de turbulență conțin cea mai mare parte a energiei cinetice , în timp ce vârtejurile mai mici sunt responsabile de disiparea vâscoasă a energiei cinetice a turbulenței. Kolmogorov a emis ipoteza că, atunci când aceste scale sunt bine separate, intervalul intermediar al scalei de lungime ar fi statistic izotrop și că caracteristicile sale de echilibru ar depinde doar de rata la care energia cinetică este disipată pe scările mici. Disiparea este conversia prin frecare a energiei mecanice în energie termică . Rata de disipare, $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ , poate fi scris în termeni de fluctuații ale vitezei de deformare a fluidului în flux turbulent și de vâscozitatea cinematică a fluidului, $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ . Are dimensiuni de energie pe unitate de masă pe secundă. În condiții de echilibru, producția de energie cinetică a turbulenței la scări mari este egală cu disiparea acelei energii la scări mici.

Spectrul energetic al turbulențelor

Spectrul de energie al turbulenței, E ( k ), este legat de energia cinetică medie a turbulenței pe unitate de masă ca ^[2]

{\frac {1}{2}}\left({\overline {u_{i}u_{i}}}\right)=\int _{0}^{\infty }E(k)\;dk,

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ overline {u_ {i} u_ {i}}} \ right) = \ int _ {0} ^ {\ infty} E (k) \ ; dk,}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ overline {u_ {i} u_ {i}}} \ right) = \ int _ {0} ^ {\ infty} E (k) \ ; dk,}

unde u _i sunt componentele fluctuațiilor de viteză, cratima indică o medie de ansamblu, suma peste i este implicită și k este numărul de undă . Spectrul energetic, E ( k ), reprezintă, prin urmare, contribuția la energia cinetică turbulentă de la numerele de undă k la k + d k . Turburile mai mari au un număr de undă scăzut, în timp ce vârtejurile mai mici au un număr de undă mare.

Din moment ce difuzia merge ca laplacian al vitezei, rata de disipare poate fi scrisă în termeni de spectru energetic ca:

\varepsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }k^{2}E(k)\;dk,

{\ displaystyle \ varepsilon = 2 \ nu \ int _ {0} ^ {\ infty} k ^ {2} E (k) \; dk,}

{\ displaystyle \ varepsilon = 2 \ nu \ int _ {0} ^ {\ infty} k ^ {2} E (k) \; dk,}

cu ν vâscozitatea cinematică a fluidului. Din această ecuație, se poate vedea încă că disiparea este în principal asociată cu un număr mare de unde (vârtejuri mici), chiar dacă energia cinetică este asociată în principal cu numere de undă mai mici (vârtejuri mari).

Spectrul energetic în subgama inerțială

Transferul de energie de la numere de unde mici la mari este cascada de energie. Acest transfer transportă energie cinetică turbulentă de la solzi mari la solzi mici, în care frecare vâscoasă o disipează. În intervalul de scară intermediară, așa-numitul interval sub inerțial, ipotezele lui Kolmogorov au condus la următoarea formă universală pentru spectrul energetic:

E(k)=C\varepsilon ^{2/3}k^{-5/3}.

{\ displaystyle E (k) = C \ varepsilon ^ {2/3} k ^ {- 5/3}.}

{\ displaystyle E (k) = C \ varepsilon ^ {2/3} k ^ {- 5/3}.}

Un număr mare de dovezi experimentale susțin acest rezultat, într-o gamă largă de condiții. Experimental se observă valoarea C = 1,5 . ^[3]

Spectrul fluctuațiilor de presiune

Fluctuațiile de presiune în debitul turbulent pot fi caracterizate în mod similar. Fluctuația medie a presiunii pătrate într-un flux turbulent poate fi reprezentată de un spectru de presiune, π ( k ):

{\overline {p^{2}}}=\int _{0}^{\infty }\pi (k)\;dk.

{\ displaystyle {\ overline {p ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ pi (k) \; dk.}

{\ displaystyle {\ overline {p ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ pi (k) \; dk.}

Pentru cazul turbulenței fără un gradient de viteză medie (turbulență izotropă), spectrul din subgama inerțială este dat de

\pi (k)=\alpha \rho ^{2}\varepsilon ^{4/3}k^{-7/3},

{\ displaystyle \ pi (k) = \ alpha \ rho ^ {2} \ varepsilon ^ {4/3} k ^ {- 7/3},}

{\ displaystyle \ pi (k) = \ alpha \ rho ^ {2} \ varepsilon ^ {4/3} k ^ {- 7/3},}

unde ρ este densitatea fluidului și α = 1,32 C ² = 2,97. ^[4] Un gradient mediu al vitezei de curgere (flux de forfecare) creează o contribuție aditivă suplimentară la spectrul de presiune în domeniul ^subinerțial , care variază ca k ^−11/3 ; dar comportamentul k ^−7/3 este dominant la un număr mai mare de unde.

Spectrul tulburărilor capilare pe o suprafață lichidă liberă

Fluctuațiile de presiune sub suprafața liberă a unui lichid pot duce la fluctuații ale suprafeței lichidului. Această interacțiune liberă de suprafață-turbulență poate fi, de asemenea, caracterizată printr-un spectru în numere de undă . Dacă δ este deplasarea instantanee a suprafeței din poziția sa medie, deplasarea pătrată medie poate fi reprezentată cu un spectru de deplasare G ( k ) ca:

{\overline {\delta ^{2}}}=\int _{0}^{\infty }G(k)\;dk.

{\ displaystyle {\ overline {\ delta ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} G (k) \; dk.}

{\ displaystyle {\ overline {\ delta ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ {\ infty} G (k) \; dk.}

O formă tridimensională a presiunii spectrului poate fi combinată cu „ ecuația lui Young-Laplace pentru a demonstra că: ^[5]

G(k)\propto k^{-19/3}.

{\ displaystyle G (k) \ propto k ^ {- 19/3}.}

{\ displaystyle G (k) \ propto k ^ {- 19/3}.}

Observația experimentală a acestei legi k- ^{19/3 a} fost obținută prin măsurători optice ale suprafeței jeturilor turbulente de lichid liber. ^[6]

Cascada dublă

În majoritatea sistemelor fizice, apare doar o cascadă directă de energie. Cu toate acestea, există cazuri particulare în care situația este mai complexă și se generează așa-numita cascadă dublă: aceasta dacă, pe lângă energie, există o altă cantitate pătratică (și deci întotdeauna pozitivă) conservată în intervalul inerțial. Probabil cel mai faimos caz este cel al turbulenței bidimensionale: ecuația vorticității în două dimensiuni nu conține termenul de întindere a vortexului , astfel încât dinamica sistemului păstrează vorticitatea pătratică medie, numită enstrofie . Dependența relativă a energiei cinetice $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ și enstrofie $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ în spațiul numerelor de undă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ determină direcția căderilor respective: din moment ce $\Omega \propto k^{2}E$ ${\ displaystyle \ Omega \ propto k ^ {2} E}$ ${\ displaystyle \ Omega \ propto k ^ {2} E}$ , atunci va exista o cascadă directă de enstrofie către scările mici și o cascadă inversă de energie către scările mari. ^[7] Acest fenomen a fost prezis pentru prima dată riguros de Robert H. Kraichnan în 1967, ^[8] și de atunci a fost verificat atât experimental, cât și numeric. ^[9] Aceasta înseamnă că intervalul inerțial este împărțit în două subintervale distincte: pe scări mai mari decât cea a injecției de energie și a enstrofiei, unde domină cascada inversă, spectrul energetic arată întotdeauna o tendință $E(k)\propto k^{-5/3}$ ${\ displaystyle E (k) \ propto k ^ {- 5/3}}$ ${\ displaystyle E (k) \ propto k ^ {- 5/3}}$ , în timp ce pe scări mai mici, unde domină cascada de enstrofie, se are în schimb $E(k)\propto k^{-3}$ ${\ displaystyle E (k) \ propto k ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle E (k) \ propto k ^ {- 3}}$ .

Regim cascadă dublă în cazul turbulenței bidimensionale.

Regimul dublei cascade este observat și în turbulența valurilor, în cazul în care sistemul este dominat de interacțiuni cu patru valuri (de exemplu, în cazul valurilor mării ), care păstrează numărul total $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ de valuri. În această situație avem $E\propto k^{2}N$ ${\ displaystyle E \ propto k ^ {2} N}$ ${\ displaystyle E \ propto k ^ {2} N}$ și, prin urmare, cascada directă este de energie, în timp ce cea inversă a undelor. ^[10]

Notă

^ VE Zakharov, VS L'vov și G. Falkovich, Kolmogorov Spectra of Turbulence I: Wave Turbulence , Springer-Verlag, 1992.
^ vich
^ Pope, SB, Turbulent Flows , Cambridge University Press, 2000.
^ și an
^ scal
^ Bhunia, SK și Lienhard V, JH, Evoluția perturbării suprafeței și stropirea jeturilor de lichide turbulente , în Journal of Fluids Engineering , vol. 116, nr. 4, decembrie 1994, pp. 721–727, DOI : 10.1115 / 1.2911841 .
^ U. Frisch , Turbulence: The Legacy of AN Kolmogorov , Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-45713-2 .
^ Robert H. Kraichnan, Inertial Ranges in Two-Dimensional Turbulence , în The Physics of Fluids , vol. 10, nr. 7, 1 iulie 1967, pp. 1417–1423, DOI : 10.1063 / 1.1762301 . Adus pe 28 decembrie 2020 .
^ (EN) Guido Boffetta și Robert E. Ecke, Turbulența bidimensională , în Revista anuală a mecanicii fluidelor, vol. 44, nr. 1, 21 ianuarie 2012, pp. 427–451, DOI : 10.1146 / annurev-fluid-120710-101240 . Adus pe 28 decembrie 2020 .
^ (EN) Alan C. Newell și Benno Rumpf, Wave Turbulence , în Revista anuală a mecanicii fluidelor, vol. 43, nr. 1, 21 ianuarie 2011, pp. 59–78, DOI : 10.1146 / annurev-fluid-122109-160807 . Adus la 14 februarie 2021 .

Bibliografie

AJ Chorin , Vorticity and turbulence , Applied Mathematical Sciences, vol. 103, Springer, 1994, ISBN 978-0-387-94197-4 .
G. Falkovich și KR Sreenivasan , Lecții din turbulența hidrodinamică , în Physics Today , vol. 59, nr. 4, pp. 43–49, Bibcode : 2006PhT .... 59d..43F , DOI : 10.1063 / 1.2207037 .
[[ Uriel Frisch | U. Frisch]], Turbulence: The Legacy of AN Kolmogorov , Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-45713-2 .
AC Newell și B. Rumpf, Turbulența undelor , în Revista anuală a mecanicii fluidelor , vol. 43, 2011, pp. 59–78, Bibcode : 2011AnRFM..43 ... 59N , DOI : 10.1146 / annurev-fluid-122109-160807 .
Lewis Fry Richardson , Predicția vremii prin proces numeric , Cambridge University Press, 1922,OCLC 3494280 .

linkuri externe

G. Falkovich, Cascade and scaling in Scholarpedia

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] VE Zakharov, VS L'vov și G. Falkovich, Kolmogorov Spectra of Turbulence I: Wave Turbulence , Springer-Verlag, 1992.

[Pope-2] vich

[Pope2-3] Pope, SB, Turbulent Flows , Cambridge University Press, 2000.

[George-4] și an

[Bhunia-5] scal

[Bhunia2-6] Bhunia, SK și Lienhard V, JH, Evoluția perturbării suprafeței și stropirea jeturilor de lichide turbulente , în Journal of Fluids Engineering , vol. 116, nr. 4, decembrie 1994, pp. 721–727, DOI : 10.1115 / 1.2911841 .

[:0-7] U. Frisch , Turbulence: The Legacy of AN Kolmogorov , Cambridge University Press, 1995, ISBN 978-0-521-45713-2 .

[8] Robert H. Kraichnan, Inertial Ranges in Two-Dimensional Turbulence , în The Physics of Fluids , vol. 10, nr. 7, 1 iulie 1967, pp. 1417–1423, DOI : 10.1063 / 1.1762301 . Adus pe 28 decembrie 2020 .

[9] (EN) Guido Boffetta și Robert E. Ecke, Turbulența bidimensională , în Revista anuală a mecanicii fluidelor, vol. 44, nr. 1, 21 ianuarie 2012, pp. 427–451, DOI : 10.1146 / annurev-fluid-120710-101240 . Adus pe 28 decembrie 2020 .

[10] (EN) Alan C. Newell și Benno Rumpf, Wave Turbulence , în Revista anuală a mecanicii fluidelor, vol. 43, nr. 1, 21 ianuarie 2011, pp. 59–78, DOI : 10.1146 / annurev-fluid-122109-160807 . Adus la 14 februarie 2021 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]