Dinamica

Problema planului înclinat este un exemplu elementar de aplicare a mecanicii newtoniene

În fizică , dinamica ^[1] este ramura mecanicii newtoniene care se ocupă cu studiul mișcării corpurilor pornind de la cauzele ( forțele ) acesteia sau, în termeni mai concreți, circumstanțele care o determină și o modifică în timp și în spațiu din cadrul său de referință .

Conform intuiției fundamentale a lui Galileo și Newton , forțele nu sunt cauza mișcării, ci produc o variație a stării de mișcare , sau mai degrabă o accelerație ; această intuiție este echivalentă cu afirmarea relativității mișcării; un observator își poate determina starea de repaus sau mișcare numai în raport cu alte corpuri sau cu alți observatori; pentru aceasta este posibil să vorbim despre cauzele care variază mișcarea, dar nu despre cauzele mișcării.

Studiul dinamicii se realizează în primul rând prin referirea la o entitate abstractă, dotată cu masă , dar cu dimensiuni neglijabile: punctul material ; toate legile referitoare la punctul material pot fi apoi extinse la corpuri reale, dotate cu masă și dimensiuni finite, interpretate ca sisteme de puncte materiale ; un model mai rafinat este cel al unui corp rigid , definit ca un sistem de puncte materiale în care distanțele relative dintre punctele constitutive nu variază în timp; dacă această condiție nu este verificată, intrăm în câmpul dinamicii corpurilor deformabile .

Principiul relativității galileene

Același subiect în detaliu: Principiul galilean al relativității .

Principiul relativității galileene

« Legile fizice sunt covariante în toate sistemele de referință inerțiale, adică sunt invariante sub transformările galileene. "

În construirea oricărei teorii este esențial să se determine condițiile în care doi observatori văd că fenomenele evoluează în același mod și, prin urmare, le pot descrie cu aceleași legi. În contextul mecanicii clasice, doi observatori care efectuează simultan o măsurare în timp ce se află în mișcare relativă rectilinie uniformă pot traduce datele de poziție și viteză observate de unul în datele măsurate corespunzătoare de către celălalt, prin transformările galileene .

Acești observatori sunt numiți observatori inerțiali sau observatori galileeni , iar cadrul de referință în care sunt inserați este un cadru de referință inerțial .

Principiile dinamicii

Același subiect în detaliu: Principiile dinamicii .

Primele două legi din Principia Mathematicae a lui Isaac Newton

Isaac Newton a primit fundamentele conceptuale ale dinamicii deja ca student în eseul Despre reflecții din ianuarie 1665 , manuscris în Waste Book . Cu toate acestea, le-a prezentat pentru prima dată într-un mod sintetic și complet în 1687 cu publicarea operei sale fundamentale, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica , cunoscută și sub numele de Principia . În prima parte a acestei lucrări, după definițiile conceptelor fundamentale de masă , impuls și forță , sunt introduse cele trei axiome sau legi ale mișcării conform lui Newton.

Primul principiu

Renè Descartes

Primul principiu al dinamicii

„ Într-un sistem inerțial, un corp liber sau de echilibru, adică nu este supus niciunei interacțiuni reale sau unui sistem de interacțiuni reale cu zero rezultant, își păstrează starea de mișcare rectilinie uniformă sau de repaus până când o forță externă acționează asupra acestuia variind această mișcare. "

Această lege este, de asemenea, cunoscută sub numele de principiul inerției și este o consecință directă a principiului relativității galilean; de fapt, un corp asupra căruia nu acționează nici o forță și niciun moment este staționar în raport cu propriul său sistem de referință, în timp ce se află în mișcare rectilinie uniformă față de un alt sistem de referință care se mișcă cu o mișcare rectilinie uniformă față de primul. Prin urmare, formulări parțiale ale acestui principiu se găsesc în Discursul lui Galileo Galilei despre sistemele maxime ( 1632 ) și în lucrările de fizică ale lui René Descartes .

Demonstrarea acestui principiu se obține prin stabilirea rezultatelor forțelor la zero $\mathbf {F^{(R)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F ^ {(R)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F ^ {(R)}}}$ și momente $\mathbf {M^{(R)}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M ^ {(R)}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M ^ {(R)}}}$ comparativ cu un stâlp $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ :

{\begin{aligned}&\mathbf {F^{(R)}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m\mathbf {a} _{i}=0\\&\mathbf {M^{(R)}} =\sum _{i=1}^{n}\mathbf {M} _{i}=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {r} _{i}\times m\mathbf {a} _{i}=0\\\end{aligned}}\iff \mathbf {a} _{i}=0\quad \forall i

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {F ^ {(R)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m \ mathbf {a} _ {i} = 0 \\ & \ mathbf {M ^ {(R)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times m \ mathbf {a} _ {i} = 0 \\\ end {align}} \ iff \ mathbf {a} _ {i} = 0 \ quad \ forall i}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ mathbf {F ^ {(R)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} m \ mathbf {a} _ {i} = 0 \\ & \ mathbf {M ^ {(R)}} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {M} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {r} _ {i} \ times m \ mathbf {a} _ {i} = 0 \\\ end {align}} \ iff \ mathbf {a} _ {i} = 0 \ quad \ forall i}

Prima lege nu este valabilă în toate sistemele de referință , ci doar în sistemele de referință care se mișcă cu mișcare rectilinie uniformă, adică sisteme de inerție; de fapt, permite definirea univocă a acestor sisteme de referință.

Al doilea principiu

Galileo Galilei

Isac Newton

Leonhard Euler

Al doilea principiu al dinamicii

„O forță impresionată asupra unui corp produce o variație a impulsului său în direcția și direcția forței într-un mod direct proporțional cu forța aplicată.”

Elanul $\mathbf {p}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ mathbf p}$ a unui punct material sau a unui corp, de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ care se mișcă cu viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ este definit ca:

\mathbf {p} =m\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m \ mathbf {v}}

prin urmare, conform primei ecuații cardinale a dinamicii lui Leonhard Euler , forța este derivata impulsului în raport cu timpul:

\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}}}

Aceasta înseamnă că această lege recunoaște implicit caracterul vectorial al forței și al impulsului . Dintr-o comparație între prima și a doua lege, prima lege poate fi interpretată ca un caz particular al celei de-a doua. Presupunând că masa punctului material sau a corpului, luată în considerare este constantă, obținem cea mai comună formulare a acestui principiu, deja exprimată de Newton și Euler, prin următoarea ecuație:

\mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} (m\mathbf {v} )}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (m \ mathbf {v} )} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} (m \ mathbf {v} )} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a}}

adică „accelerația unui corp este direct proporțională cu forța rezultată exercitată asupra corpului, printr-o constantă numită masă inerțială ” .

Aici masa se dovedește a fi o constantă de proporționalitate între forța rezultată exercitată asupra corpului și accelerația rezultată. Introducerea conceptului de masă inerțială este piatra de temelie a celui de-al doilea principiu și este posibil să se vadă în el o definiție a masei în sine. În acest sens, masa este o proprietate intrinsecă a corpului și oferă o măsură a inerției corpului, adică tendința unui corp de a se opune oricărei variații a vitezei, motiv pentru care se numește masă inerțială.

Al treilea principiu

Al treilea principiu al dinamicii

" Într-un cadru de referință inerțial, se păstrează impulsul și impulsul unghiular total în raport cu un pol fix al unui sistem dinamic liber sau de echilibru."

Această lege este, de asemenea, cunoscută sub numele de principiul acțiunii și reacției , unde prin „acțiune” înțelegem forțe și momentereale . Recunoaște în primul rând faptul că forțele și momentele apar întotdeauna din interacțiunea dintre două corpuri. În termeni matematici, dacă nu există forțe sau momente externe care acționează asupra unui sistem format din două puncte materiale sau două corpuri, rezultă că:

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=0,\quad {\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=0;

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = 0, \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = 0;}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p}} {\ mathrm {d} t}} = 0, \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L}} {\ mathrm {d} t}} = 0;}

,

adică impulsul și impulsul unghiular , adică momentul impulsului, al sistemului rămân constante . Rezultă că în timpul în care are loc interacțiunea dintre cele două corpuri, variația impulsului și a momentului unghiular al primului corp trebuie să le echilibreze pe cele ale celui de-al doilea corp. Presupunând masele constante și polul, în raport cu care se calculează impulsul unghiular, avem:

\Delta \mathbf {p} _{12}=-\Delta \mathbf {p} _{21}\qquad \Delta \mathbf {L} _{12}=-\Delta \mathbf {L} _{21}

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p} _ {12} = - \ Delta \ mathbf {p} _ {21} \ qquad \ Delta \ mathbf {L} _ {12} = - \ Delta \ mathbf {L} _ {21}}

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p} _ {12} = - \ Delta \ mathbf {p} _ {21} \ qquad \ Delta \ mathbf {L} _ {12} = - \ Delta \ mathbf {L} _ {21}}

Derivând ambele părți ale ambelor ecuații cu privire la timp, din nou prin a doua lege, obținem:

\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}\qquad \mathbf {M} _{12}=-\mathbf {M} _{21}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21} \ qquad \ mathbf {M} _ {12} = - \ mathbf {M} _ {21}}

{\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12} = - \ mathbf {F} _ {21} \ qquad \ mathbf {M} _ {12} = - \ mathbf {M} _ {21}}

unde este $\mathbf {F} _{12}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {12}}$ Și $\mathbf {M} _{12}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {12}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {12}}$ sunt forța și momentul exercitat de cel de-al doilea corp asupra primului e $\mathbf {F} _{21}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {21}}$ Și $\mathbf {M} _{21}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {21}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {21}}$ sunt forța și momentul exercitat de primul corp asupra celui de-al doilea.

Aplicații ale principiilor dinamicii

Dinamica punctului material

Un corp poate fi considerat cu o bună aproximare un punct material atunci când dimensiunile sale sunt neglijabile în comparație cu dimensiunile traiectoriei sale. În cazul în care masa corpului rămâne constantă în timpul mișcării, ecuația mișcării poate fi scrisă sub forma:

\mathbf {F} (t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} (t)}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \left[m\mathbf {v} (t)\right]}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} (t)}{\mathrm {d} t}}=m\mathbf {a} (t)

{\ displaystyle \ mathbf {F} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ left [m \ mathbf {v} (t) \ right]} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} (t)} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {F} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {p} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ left [m \ mathbf {v} (t) \ right]} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v} (t)} {\ mathrm {d} t}} = m \ mathbf {a} (t)}

,

fiind $\mathbf {a} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {a} (t)}$ accelerarea instantanee a corpului. Această ultimă ecuație este poate cea mai răspândită și mai cunoscută formă a principiilor dinamicii: ne amintim, de asemenea, că este valabilă doar în cazul unui corp cu masă constantă.

Prin urmare, principiul inerției constituie un caz particular al celei de-a doua legi a dinamicii;
Dacă nici o forță nu acționează asupra corpului sau dacă toate forțele care acționează asupra corpului nu duc la nimic, atunci corpul își menține starea neschimbată, deci accelerația este de asemenea zero ( $la$ $=$ $0$ {\ displaystyle \ mathbf {a} = 0} ${\ displaystyle \ mathbf {a} = 0}$ ), adică viteza rămâne constantă în timp ( $v$ $=$ $v$ $0$ $=$ $constant$ {\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {0} = {\ text {constant}}} ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {0} = {\ text {constant}}}$ ):
- de sine $\mathbf {v} _{0}=0$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} = 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} = 0}$ statul este liniștit
- de sine $\mathbf {v} _{0}\neq 0$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ neq 0}$ starea este de mișcare rectilinie uniformă
Dacă o forță constantă acționează asupra corpului în timp, atunci accelerația este de asemenea constantă și corpul se mișcă într- o mișcare uniform accelerată .

Dacă forța este o funcție cunoscută a timpului $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ , a poziției $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf r$ sau viteza $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ , atunci ecuația mișcării reprezintă o ecuație diferențială , a cărei soluție reprezintă traiectoria punctului material în funcție de timp: $\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (t)}$ .

De exemplu, în cazul unei forțe elastice care urmează legea lui Hooke , luând în considerare cazul unidimensional pentru care $\mathbf {F} =-k\mathbf {x}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = -k \ mathbf {x}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = -k \ mathbf {x}}$ , soluția ecuației mișcării este o oscilație periodică a perioadei $T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$ ${\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}$ ${\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {m} {k}}}}$ , numită oscilație armonică sau mișcare armonică .

Dinamica sistemelor de puncte sau corpuri materiale

Același subiect în detaliu: ecuații cardinale ale dinamicii .

Dinamica unui corp rigid în jurul unei axe fixe

În cazul unui corp rigid de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , legat de o anumită axă de rotație ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , ecuația mișcării ia forma:

\mathbf {M} _{\hat {z}}(t)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{\hat {z}}(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} (t)} {\ mathrm { d} t}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} (t)} {\ mathrm { d} t}}}

fiind $\mathbf {M} _{\hat {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}}}$ momentul mecanic e $\mathbf {L} _{\hat {z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}}}$ impulsul unghiular atât în raport cu axa ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ . Deoarece impulsul unghiular poate fi exprimat ca o funcție a momentului de inerție al corpului

\mathbf {L} _{\hat {z}}(t)=I_{\hat {z}}{\boldsymbol {\omega }}(t)

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} (t) = I _ {\ hat {z}} {\ boldsymbol {\ omega}} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {L} _ {\ hat {z}} (t) = I _ {\ hat {z}} {\ boldsymbol {\ omega}} (t)}

,

fiind ${\boldsymbol {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ omega}}}$ viteza unghiulară instantanee de rotație în jurul axei ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ , dacă masa sau distribuția masei în jurul axei de rotație nu variază, atunci momentul de inerție nu se schimbă în timpul mișcării, deci ecuația mișcării poate fi scrisă sub forma:

\mathbf {M} _{\hat {z}}=I_{\hat {z}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {\omega } (t)}{\mathrm {d} t}}=I_{\hat {z}}{\dot {\boldsymbol {\omega }}}(t)

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}} = I _ {\ hat {z}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {\ omega} (t)} {\ mathrm {d } t}} = I _ {\ hat {z}} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {M} _ {\ hat {z}} = I _ {\ hat {z}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {\ omega} (t)} {\ mathrm {d } t}} = I _ {\ hat {z}} {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} (t)}

,

fiind ${\dot {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}}}$ accelerația unghiulară .

Dinamica și legile de conservare

Același subiect în detaliu: Teoreme ale mecanicii clasice § Legi de conservare .

Dinamica poate fi formulată într-un mod complementar cu privire la ecuația mișcării prin legi de conservare:

Notă

^ Din latina dynamica , un neologism introdus de Leibniz în Dynamica de potentia et legibus naturae corporeae (1690).

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre dinamică

linkuri externe

(EN) Dynamics , de Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 23300 · LCCN (EN) sh85040316 · BNF (FR) cb11942176p (data) · NDL (EN, JA) 00.561.691

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Din latina dynamica , un neologism introdus de Leibniz în Dynamica de potentia et legibus naturae corporeae (1690).

[1]