Teoreme ale mecanicii clasice

Aici vrem să oferim o scurtă listă a teoremelor , principiilor și legilor fizicii . În listarea termenilor, a fost făcută o subdiviziune pe macrocategorii în care sunt integrate aceste concepte.

General

Același subiect în detaliu: principiul relativității galilean , principiile dinamicii și principiul acțiunii minime .

Coordonate generalizate și lege orară

Având în vedere un sistem cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ grade de libertate și unul și orice sistem de coordonate, în care starea sistemului este indicată de vector $\mathbf {r} =(r_{j})_{j=1,\dots ,m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = (r_ {j}) _ {j = 1, \ dots, m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = (r_ {j}) _ {j = 1, \ dots, m}}$ , cu $m\geq n$ ${\ displaystyle m \ geq n}$ ${\ displaystyle m \ geq n}$ , printr-o funcție obișnuită $\varphi$ ${\ displaystyle \ varphi}$ $\ varphi$ este posibil să se exprime orice variabilă $r_{j}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$ ${\ displaystyle r_ {j}}$ în funcție de vector $\mathbf {q} =(q_{i})_{i=1,\dots ,n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q} = (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, n}}$ , adică $\mathbf {r} =\varphi (\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ varphi (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ varphi (\ mathbf {q})}$ , unde $q_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ ${\ displaystyle q_ {i}}$ sunt coordonatele generalizate , care generează spațiul de configurare . Spațiul de fază poate fi descris prin coordonate lagrangiene $(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {\ dot {q}})}$ sau prin coordonate hamiltoniene $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle (\ mathbf {q}, \ mathbf {p})}$ .

Mișcarea unui punct material este cunoscută dacă se cunoaște poziția în funcție de timp, prin urmare funcția geometrică cu informațiile despre timp se numește lege orară. Poziția unui punct material este dată de trei coordonate carteziene $\{x,y,z\}$ ${\ displaystyle \ {x, y, z \}}$ ${\ displaystyle \ {x, y, z \}}$ iar mișcarea este dată de cele trei coordonate în funcție de timp.

$\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=\left\{{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{matrix}}\right.$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (t) = \ left \ {{\ begin {matrix} x = x (t) \\ y = y (t) \\ z = z (t) \ end {matrix}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} (t) = \ left \ {{\ begin {matrix} x = x (t) \\ y = y (t) \\ z = z (t) \ end {matrix}} \ right.}$

Principiul relativității al lui Galileo

Legile fizice sunt invariante sub transformările galileene , adică sunt covariante în toate sistemele de referință inerțiale .

$\left\{{\begin{aligned}&x^{\prime }=x-v_{x}t\\&y^{\prime }=y-v_{y}t\\&z^{\prime }=z-v_{z}t\\&t^{\prime }=t\end{aligned}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & x ^ {\ prime} = x-v_ {x} t \\ & y ^ {\ prime} = y-v_ {y} t \\ & z ^ {\ prime} = z-v_ {z} t \\ & t ^ {\ prime} = t \ end {align}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {align} & x ^ {\ prime} = x-v_ {x} t \\ & y ^ {\ prime} = y-v_ {y} t \\ & z ^ {\ prime} = z-v_ {z} t \\ & t ^ {\ prime} = t \ end {align}} \ right.}$

Primul principiu al dinamicii sau principiul inerției

Într-un sistem de referință inerțial, un punct material liber , adică nu este supus forțelor și momentelor, este în repaus sau se mișcă într-o mișcare rectilinie uniformă.

${\begin{aligned}\mathbf {F} =0&\iff \mathbf {p} ={\text{costante}}\\\mathbf {M} _{O}=0&\iff \mathbf {L} _{O}={\text{costante}}\\\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} = 0 & \ iff \ mathbf {p} = {\ text {constant}} \\\ mathbf {M} _ {O} = 0 & \ iff \ mathbf {L} _ {O} = {\ text {constant}} \\\ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} = 0 & \ iff \ mathbf {p} = {\ text {constant}} \\\ mathbf {M} _ {O} = 0 & \ iff \ mathbf {L} _ {O} = {\ text {constant}} \\\ end {align}}}$

Al doilea principiu al dinamicii

Într-un sistem de referință inerțial, o forță imprimată asupra unui corp produce o variație a impulsului său în direcția forței într-un mod direct proporțional cu forța aplicată, adică, dacă masa inerțială este constantă, accelerația este direct proporțională cu rezultanta fortelor aplicate punctului material si invers proportionala cu masa inertiala a punctului material.

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=m\mathbf {a}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = m {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = m \ mathbf {a}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = m {\ frac {d \ mathbf {v}} {dt}} = m \ mathbf {a}}$

Al treilea principiu al dinamicii sau principiul acțiunii și reacției

Într-un cadru de referință inerțial, se păstrează impulsul total și impulsul unghiular total în raport cu un pol fix al unui punct material liber. În consecință, dacă un punct material exercită o forță $\mathbf {F}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$ $\ mathbf F$ sau un moment $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ pe un alt punct, atunci acesta din urmă va exercita o forță sau un moment egal și opus $-\mathbf {F}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {F}}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {F}}$ Și $-\mathbf {M}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle - \ mathbf {M}}$ .

${\begin{aligned}\mathbf {F} _{1}=-\mathbf {F} _{2}&\implies \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2}=0\\\mathbf {M} _{1}=-\mathbf {M} _{2}&\implies \mathbf {M} _{1}+\mathbf {M} _{2}=0\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} _ {1} = - \ mathbf {F} _ {2} & \ implicies \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2 } = 0 \\\ mathbf {M} _ {1} = - \ mathbf {M} _ {2} & \ implicies \ mathbf {M} _ {1} + \ mathbf {M} _ {2} = 0 \ sfârșit {aliniat}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {F} _ {1} = - \ mathbf {F} _ {2} & \ implicies \ mathbf {F} _ {1} + \ mathbf {F} _ {2 } = 0 \\\ mathbf {M} _ {1} = - \ mathbf {M} _ {2} & \ implicies \ mathbf {M} _ {1} + \ mathbf {M} _ {2} = 0 \ sfârșit {aliniat}}}$

Principiul acțiunii minime

După o perioadă de timp $[t_{1},t_{2}]$ ${\ displaystyle [t_ {1}, t_ {2}]}$ ${\ displaystyle [t_ {1}, t_ {2}]}$ , mișcarea naturală a unui sistem este de natură să reducă la minimum acțiunea sistemului:

${\mathcal {A}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}\,\mathrm {d} t\implies \mathrm {d} {\mathcal {A}}=0$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} t \ implies \ mathrm {d} { \ mathcal {A}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ mathcal {L}} \, \ mathrm {d} t \ implies \ mathrm {d} { \ mathcal {A}} = 0}$

unde este ${\mathcal {L}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$ este funcția Lagrangiană .

Legile conservării

Prima ecuație cardinală sau teorema centrului de masă

Centrul de masă al unui sistem material cu masa totală $m$ ${\ displaystyle m}$ ${\ displaystyle m}$ constant, se comportă ca un punct material în care se concentrează toată masa sistemului și căruia i se aplică rezultanta forțelor externe.

$\mathbf {F} ^{(e)}={\frac {d\mathbf {p} _{\text{tot}}}{dt}}=m{\frac {d\mathbf {v} _{\text{CM}}}{dt}}=m\mathbf {a} _{\text{CM}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {d \ mathbf {p} _ {\ text {tot}}} {dt}} = m {\ frac {d \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}} {dt}} = m \ mathbf {a} _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} ^ {(e)} = {\ frac {d \ mathbf {p} _ {\ text {tot}}} {dt}} = m {\ frac {d \ mathbf {v} _ {\ text {CM}}} {dt}} = m \ mathbf {a} _ {\ text {CM}}}$

Teorema impulsului

Momentul forței care acționează asupra unui punct material în intervalul de timp $[t_{1},t_{2}]$ ${\ displaystyle [t_ {1}, t_ {2}]}$ ${\ displaystyle [t_ {1}, t_ {2}]}$ este egal cu variația impulsului punctului material în același interval de timp.

$\Delta \mathbf {p} _{12}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \,\mathrm {d} t=\mathbf {p} _{2}-\mathbf {p} _{1}=m(\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1})$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p} _ {12} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} t = \ mathbf {p} _ {2} - \ mathbf {p} _ {1} = m (\ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1})}$ ${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {p} _ {12} = \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ mathbf {F} \, \ mathrm {d} t = \ mathbf {p} _ {2} - \ mathbf {p} _ {1} = m (\ mathbf {v} _ {2} - \ mathbf {v} _ {1})}$

A doua ecuație cardinală sau teorema momentului unghiular

Într-un sistem de referință inerțial, un punct este luat ca pol pentru calculul momentelor $P.$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ , care se mișcă cu viteză $\mathbf {v} _{\text{P}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {P}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {P}}}$ , derivata în timp a impulsului unghiular în raport cu $P.$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ este egal cu diferența dintre momentul forțelor externe cu respect $P.$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$ și produsul vector între viteză $\mathbf {v} _{\text{P}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {P}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {\ text {P}}}$ și impulsul total al sistemului $\mathbf {p} _{\text{tot}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {\ text {tot}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {\ text {tot}}}$ :

${\frac {d\mathbf {L} _{\text{P}}}{dt}}=\mathbf {M} _{\text{P}}^{(e)}-\mathbf {v} _{\text{P}}\times \mathbf {p} _{\text{tot}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {\ text {P}}} {dt}} = \ mathbf {M} _ {\ text {P}} ^ {(e)} - \ mathbf { v} _ {\ text {P}} \ times \ mathbf {p} _ {\ text {tot}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {L} _ {\ text {P}}} {dt}} = \ mathbf {M} _ {\ text {P}} ^ {(e)} - \ mathbf { v} _ {\ text {P}} \ times \ mathbf {p} _ {\ text {tot}}}$

Teorema energiei cinetice

Lucrarea efectuată de rezultanta forțelor care acționează asupra unui punct material care se mișcă într-o anumită traiectorie dintr-o poziție $LA$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ într-o poziție $B.$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ , este dat de diferența de energie cinetică pe care punctul în sine o are în cele două poziții.

$L_{AB}=\int _{A}^{B}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =K_{B}-K_{A}=\Delta K_{AB}$ ${\ displaystyle L_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = K_ {B} -K_ {A} = \ Delta K_ { AB}}$ ${\ displaystyle L_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = K_ {B} -K_ {A} = \ Delta K_ { AB}}$

Teorema energiei potențiale

Lucrarea efectuată de o forță conservatoare între o poziție $LA$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ într-o poziție $B.$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ , este dat de opusul diferenței de energie potențială pe care punctul în sine îl are în cele două poziții.

$L_{AB}=\int _{A}^{B}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =U_{A}-U_{B}=-\Delta U_{AB}$ ${\ displaystyle L_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = U_ {A} -U_ {B} = - \ Delta U_ {AB}}$ ${\ displaystyle L_ {AB} = \ int _ {A} ^ {B} \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {s} = U_ {A} -U_ {B} = - \ Delta U_ {AB}}$

Teorema conservării energiei mecanice

Un punct material care se deplasează de-a lungul unei traiectorii supuse acțiunii unice a forțelor exercitate de un câmp conservator, energia mecanică totală $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle E}$ , dată de suma energiei cinetice $K.$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ și energie potențială $U$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle U}$ , rămâne constantă în timp.

$E=K+U\iff {\frac {dE}{dt}}=0$ ${\ displaystyle E = K + U \ iff {\ frac {dE} {dt}} = 0}$ ${\ displaystyle E = K + U \ iff {\ frac {dE} {dt}} = 0}$

Mecanica sistemelor

Prima teoremă a lui König

Același subiect în detaliu: Prima teoremă a lui König .

Momentul unghiular al unui sistem format din $n$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ punctele materiale pot fi exprimate ca suma momentului unghiular al centrului de masă și a momentelor unghiulare ale tuturor punctelor materiale ale sistemului în sine.

$\mathbf {L} =\mathbf {L} _{\text{CM}}+\mathbf {L'} =\mathbf {r} _{\text{CM}}\times \sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {v} _{\text{CM}}+\sum _{i=1}^{n}(\mathbf {r'} _{i}\times m_{i}\mathbf {v'} _{i})$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {L} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {L '} = \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} \ times \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r '} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v '} _ {i})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {L} _ {\ text {CM}} + \ mathbf {L '} = \ mathbf {r} _ {\ text {CM}} \ times \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} \ mathbf {v} _ {\ text {CM}} + \ sum _ {i = 1} ^ {n} (\ mathbf {r '} _ {i} \ times m_ {i} \ mathbf {v '} _ {i})}$

A doua teoremă a lui König

Același subiect în detaliu: a doua teoremă a lui König .

Energia cinetică a unui sistem format din $n$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ punctele materiale, pot fi exprimate ca suma energiei cinetice a centrului de masă și a energiei cinetice a tuturor punctelor materiale individuale ale sistemului în sine.

$K=K_{\text{CM}}+K'={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{v}_{\text{CM}}^{2}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}m_{i}{v'}_{i}^{2}$ ${\ displaystyle K = K _ {\ text {CM}} + K '= {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {v} _ {\ text {CM}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {v '} _ {i} ^ {2}}$ ${\ displaystyle K = K _ {\ text {CM}} + K '= {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {v} _ {\ text {CM}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} m_ {i} {v '} _ {i} ^ {2}}$

În cazul unui corp rigid de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , termenul care se adaugă la energia cinetică a centrului de masă reprezintă rotația, calculată în jurul axei care trece prin centrul de masă:

$K={\frac {1}{2}}mv_{\text{CM}}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{\text{CM}}\omega ^{2}$ ${\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} mv _ {\ text {CM}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {CM}} \ omega ^ {2}}$ ${\ displaystyle K = {\ frac {1} {2}} mv _ {\ text {CM}} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} I _ {\ text {CM}} \ omega ^ {2}}$

Teorema lui Huygens-Steiner

Același subiect în detaliu: Huygens-Steiner teorema .

Momentul de inerție $I_{\hat {z}}$ ${\ displaystyle I _ {\ hat {z}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ hat {z}}}$ a unui corp rigid de masă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , calculat în raport cu o axă ${\hat {z}}$ ${\ displaystyle {\ hat {z}}}$ ${\ hat z}$ paralel cu axa care trece prin centrul de masă, este egal cu suma lui $I_{\text{CM}}$ ${\ displaystyle I _ {\ text {CM}}}$ ${\ displaystyle I _ {\ text {CM}}}$ și produsul între $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și pătratul distanței dintre cele două axe $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ .

$I_{\hat {z}}=I_{\text{CM}}+md^{2}$ ${\ displaystyle I _ {\ hat {z}} = I _ {\ text {CM}} + md ^ {2}}$ ${\ displaystyle I _ {\ hat {z}} = I _ {\ text {CM}} + md ^ {2}}$

Elemente conexe

Mecanica clasică

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică