Vorticitate potențială

Termenul de vorticitate potențială se referă la raportul dintre vorticitate și grosimea unui vortex ^[1] .

Are o mare importanță în meteorologie și climatologie, deoarece rămâne constantă în absența fricțiunii, în consecință pentru conservarea impulsului unghiular . Prin urmare, ajută la înțelegerea tuturor fenomenelor în care este implicată producția de vorticitate , precum valurile Rossby , ciclogeneza , curenții oceanici .

Din punct de vedere matematic, acest termen indică câteva cantități diferite ^[2] dintre care cele mai importante sunt: vorticitatea potențială Rossby ^[3] și vorticitatea potențială Ertel ^[4] . Primul este conservat în mișcări fluide omogene cu viteze orizontale independente de înălțime ( aproximare superficială omogenă a stratului ) ^[5] . Al doilea, mai general, în fluidele stratificate, cu excepția efectelor de frecare și diabetice ^[6] .

Utilizarea aceluiași nume pentru cantități diferite nu generează confuzie, deoarece prima este valabilă doar pentru fluidele omogene în mișcări aproape orizontale, a doua este valabilă doar pentru fluidele stratificate ^[4] .

Descriere intuitivă

Să luăm în considerare un cilindru mic de fluid ideal, incompresibil și lipsit de vâscozitate. Să presupunem în acel moment $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ cilindrul se rotește în jurul axei sale cu o viteză unghiulară $\omega _{1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ $\ omega _ {1}$ uniformă pe întregul cilindru. Dacă cilindrul se întinde, adică dacă înălțimea acestuia crește, datorită conservării impulsului unghiular începe să se rotească mai repede.

Arătăm imediat că viteza unghiulară este proporțională cu înălțimea cilindrului. Într-adevăr, dacă raza cilindrului instantaneu $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $r_{1}$ ${\ displaystyle r_ {1}}$ $r_1$ iar masa sa este m, impulsul său unghiular este dat de:

L=I_{1}\omega _{1}={\frac {1}{2}}mr_{1}^{2}\omega _{1}

{\ displaystyle L = I_ {1} \ omega _ {1} = {\ frac {1} {2}} mr_ {1} ^ {2} \ omega _ {1}}

{\ displaystyle L = I_ {1} \ omega _ {1} = {\ frac {1} {2}} mr_ {1} ^ {2} \ omega _ {1}}

Dacă cilindrul se întinde și se micșorează, instantaneu $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ impulsul unghiular este dat de:

L=I_{2}\omega _{2}={\frac {1}{2}}mr_{2}^{2}\omega _{2}

{\ displaystyle L = I_ {2} \ omega _ {2} = {\ frac {1} {2}} mr_ {2} ^ {2} \ omega _ {2}}

{\ displaystyle L = I_ {2} \ omega _ {2} = {\ frac {1} {2}} mr_ {2} ^ {2} \ omega _ {2}}

Prin echivalare, obținem:

r_{1}^{2}\omega _{1}=r_{2}^{2}\omega _{2}

{\ displaystyle r_ {1} ^ {2} \ omega _ {1} = r_ {2} ^ {2} \ omega _ {2}}

{\ displaystyle r_ {1} ^ {2} \ omega _ {1} = r_ {2} ^ {2} \ omega _ {2}}

adică:

\Sigma _{1}\omega _{1}=\Sigma _{2}\omega _{2}

{\ displaystyle \ Sigma _ {1} \ omega _ {1} = \ Sigma _ {2} \ omega _ {2}}

{\ displaystyle \ Sigma _ {1} \ omega _ {1} = \ Sigma _ {2} \ omega _ {2}}

unde este $\Sigma _{1}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {1}}$ $\ Sigma _ {1}$ Și $\Sigma _{2}$ ${\ displaystyle \ Sigma _ {2}}$ $\ Sigma _ {2}$ sunt suprafețele fețelor circulare ale cilindrului instantaneu $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ .

Deoarece fluidul este incompresibil, volumul cilindrului rămâne constant. Prin urmare, înălțimea sa este invers proporțională cu suprafața circulară. Deci, se pare:

{\frac {\omega _{1}}{h_{1}}}={\frac {\omega _{2}}{h_{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {1}} {h_ {1}}} = {\ frac {\ omega _ {2}} {h_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {1}} {h_ {1}}} = {\ frac {\ omega _ {2}} {h_ {2}}}}

adică:

{\frac {\zeta _{1}}{h_{1}}}={\frac {\zeta _{2}}{h_{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta _ {1}} {h_ {1}}} = {\ frac {\ zeta _ {2}} {h_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta _ {1}} {h_ {1}}} = {\ frac {\ zeta _ {2}} {h_ {2}}}}

de cand $\zeta =2\omega$ ${\ displaystyle \ zeta = 2 \ omega}$ ${\ displaystyle \ zeta = 2 \ omega}$ , după cum se poate calcula cu ușurință folosind definiția vorticității

Vorticitatea potențială a lui Rossby și conservarea acesteia

Vorticitatea potențială a lui Rossby este dată de:

Q={\frac {\omega _{0}+\Delta \omega }{\Delta z}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ omega _ {0} + \ Delta \ omega} {\ Delta z}}}

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ omega _ {0} + \ Delta \ omega} {\ Delta z}}}

unde ω ₀ este vorticitatea planetară , Δω este vorticitatea fluidului în raport cu suprafața pământului, Δz este grosimea verticală a stratului fluid omogen.

În mod clar, vorticitatea potențială a lui Rossby poate fi definită doar într-un sistem în care componenta orizontală a vitezei este independentă de înălțime, iar componenta verticală este neglijabilă. În acest caz vorbim de aproximare omogenă a stratului superficial , adesea utilizată în climatologie. În această aproximare, neglijând efectele stresului turbulent, se păstrează vorticitatea potențială a lui Rossby.

Pentru a obține această afirmație într-un mod riguros, pornim de la ecuația vorticității pentru mișcările sinoptice . Deoarece fluidul este omogen, varianta barotropă a ecuației deține:

{\frac {1}{\omega _{0}+\Delta \omega }}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\omega _{0}+\Delta \omega )=-\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {0} + \ Delta \ omega}} {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (\ omega _ {0} + \ Delta \ omega) = - \ left ({\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {0} + \ Delta \ omega}} {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (\ omega _ {0} + \ Delta \ omega) = - \ left ({\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} \ right)}

Ecuația continuității masei pentru fluidele incompresibile este echivalentă cu:

{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=-{\frac {\partial v_{Z}}{\partial z}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial v_ {Z} } {\ partial z}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial v_ {y}} {\ partial y}} = - {\ frac {\ partial v_ {Z} } {\ partial z}}}

de aceea rezultă:

{\frac {1}{\omega _{0}+\Delta \omega }}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\omega _{0}+\Delta \omega )={\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {0} + \ Delta \ omega}} {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (\ omega _ {0} + \ Delta \ omega) = {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial z}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {0} + \ Delta \ omega}} {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (\ omega _ {0} + \ Delta \ omega) = {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial z}}}

integrându-ne pe înălțime și presupunând într-un mod acceptabil pentru mișcările sinoptice că componentele orizontale ale vitezei sunt independente de altitudine, obținem:

{\frac {\Delta z}{\omega }}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\omega _{0}+\Delta \omega )=\int _{0}^{\Delta z}{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}dz=v_{z}(\Delta z)-v_{z}(0)={\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta z} {\ omega}} {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (\ omega _ {0} + \ Delta \ omega) = \ int _ {0} ^ {\ Delta z} {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial z}} dz = v_ {z} (\ Delta z) -v_ {z} (0) = {\ frac {\ operatorname {d} z} {\ operatorname {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ Delta z} {\ omega}} {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (\ omega _ {0} + \ Delta \ omega) = \ int _ {0} ^ {\ Delta z} {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial z}} dz = v_ {z} (\ Delta z) -v_ {z} (0) = {\ frac {\ operatorname {d} z} {\ operatorname {d} t}}}

împărțind la Δz:

{\frac {1}{\omega _{0}+\Delta \omega }}{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}(\omega _{0}+\Delta \omega )={\frac {1}{\Delta z}}{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} t}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {0} + \ Delta \ omega}} {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (\ omega _ {0} + \ Delta \ omega) = {\ frac {1} {\ Delta z}} {\ frac {\ operatorname {d} z} {\ operatorname {d} t}}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {0} + \ Delta \ omega}} {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} (\ omega _ {0} + \ Delta \ omega) = {\ frac {1} {\ Delta z}} {\ frac {\ operatorname {d} z} {\ operatorname {d} t}}}

Integrarea între două perioade arbitrare $t_{1}$ ${\ displaystyle t_ {1}}$ $t_1$ Și $t_{2}$ ${\ displaystyle t_ {2}}$ $t_2$ iar prin refacere obțineți imediat:

{\frac {\omega _{1}}{\Delta z_{1}}}={\frac {\omega _{2}}{\Delta z_{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {1}} {\ Delta z_ {1}}} = {\ frac {\ omega _ {2}} {\ Delta z_ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ omega _ {1}} {\ Delta z_ {1}}} = {\ frac {\ omega _ {2}} {\ Delta z_ {2}}}}

Vorticitatea potențială a Ertel și conservarea acestuia

Vorticitatea potențială a lui Ertel este dată de:

Q={\frac {\zeta }{\rho }}\cdot \nabla \theta

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ zeta} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ theta}

{\ displaystyle Q = {\ frac {\ zeta} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ theta}

unde este $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ este vorticitatea totală a fluidului, $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este temperatura potențială , $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea .

Această magnitudine este păstrată în mișcări adiabatice , adică în care schimburile de căldură sunt mici și neglijează efectele de frecare și turbulente. Această condiție este aproximativ valabilă pentru mișcările atmosferice. În această aproximare, o particulă de aer este constrânsă să se deplaseze de-a lungul unei suprafețe izentropice , care este, de asemenea, o suprafață cu o temperatură potențială constantă. Dacă suprafețele izentropice sunt aproape plane față de curbura rotației aerului, atunci rotația are loc de-a lungul suprafețelor, iar vorticitatea este aproximativ paralelă cu gradientul de temperatură potențial.

Examinând mișcarea particulei de aer din figură și luând în considerare considerările făcute la începutul articolului, obținem că trebuie să fie:

\zeta \cdot \delta \Sigma =Costante

{\ displaystyle \ zeta \ cdot \ delta \ Sigma = Constant}

{\ displaystyle \ zeta \ cdot \ delta \ Sigma = Constant}

unde este $\delta \Sigma$ ${\ displaystyle \ delta \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ delta \ Sigma}$ este suprafața particulei plasată pe planul insentropic. Masa $\delta M$ ${\ displaystyle \ delta M}$ ${\ displaystyle \ delta M}$ particulei este constantă și avem:

\delta M=\delta \Sigma \cdot \delta z\cdot \rho

{\ displaystyle \ delta M = \ delta \ Sigma \ cdot \ delta z \ cdot \ rho}

{\ displaystyle \ delta M = \ delta \ Sigma \ cdot \ delta z \ cdot \ rho}

unde este $\delta z$ ${\ displaystyle \ delta z}$ ${\ displaystyle \ delta z}$ este lungimea particulei perpendiculare pe suprafața izentropică. Din această relație obținem:

\delta \Sigma ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\delta z}{\delta M}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\delta \theta }{\delta z}}{\frac {\delta M}{\delta \theta }}

{\ displaystyle \ delta \ Sigma = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ delta z} {\ delta M}} = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ delta \ theta} {\ delta z}} {\ frac {\ delta M} {\ delta \ theta}}}

{\ displaystyle \ delta \ Sigma = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ delta z} {\ delta M}} = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ delta \ theta} {\ delta z}} {\ frac {\ delta M} {\ delta \ theta}}}

unde este $\delta \theta$ ${\ displaystyle \ delta \ theta}$ ${\ displaystyle \ delta \ theta}$ este diferența de temperatură potențială între bază și vârful particulei și rămâne constantă. Așa că primim:

{\frac {\zeta }{\rho }}{\frac {\delta \theta }{\delta z}}=Costante

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta} {\ rho}} {\ frac {\ delta \ theta} {\ delta z}} = Constant}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta} {\ rho}} {\ frac {\ delta \ theta} {\ delta z}} = Constant}

Din acest pasaj înțelegem clar cât este măreția $\rho {\frac {\delta z}{\delta \theta }}$ ${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ delta z} {\ delta \ theta}}}$ ${\ displaystyle \ rho {\ frac {\ delta z} {\ delta \ theta}}}$ este o măsură a grosimii locale a fluidului neomogen.

La limita pentru $\delta \theta$ ${\ displaystyle \ delta \ theta}$ ${\ displaystyle \ delta \ theta}$ Și $\delta z$ ${\ displaystyle \ delta z}$ ${\ displaystyle \ delta z}$ infinit de mici obținem:

{\frac {\zeta }{\rho }}\cdot \nabla \theta =Costante

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ theta = Constant}

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta} {\ rho}} \ cdot \ nabla \ theta = Constant}

Derivarea propusă nu este completă, deoarece necesită ca suprafețele izentropice să fie aproape plane, o condiție care nu este necesară pentru conservarea potențialului vorticitate Ertel. Poate fi extins cu ușurință luând în considerare doar componenta $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ paralel cu $\nabla \theta$ ${\ displaystyle \ nabla \ theta}$ ${\ displaystyle \ nabla \ theta}$ .

O derivare mai riguroasă constă în derivarea afirmației din ecuația vorticității ^[7] .

Urmări

Conservarea vorticității potențiale are consecințe importante asupra mișcărilor atmosferice și oceanice. Iată câteva exemple care ilustrează acest fapt.

Debitul sudic al unui fluid inițial care nu se rotește

Să luăm în considerare o coloană de fluid (aer sau apă) inițial în repaus la o anumită latitudine. Vârtejul său absolut $\zeta _{abs}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {abs}}$ ${\ displaystyle \ zeta _ {abs}}$ în momentul inițial este dat doar de vorticitatea planetară , adică de faptul că suprafața pământului se rotește pe sine. Neglijăm componenta verticală a vitezei, să presupunem că se păstrează aproximarea omogenă a stratului superficial . De asemenea, presupunem că grosimea coloanei nu se modifică, astfel încât conservarea vorticității potențiale a lui Rossby este redusă la:

\zeta _{abs}=\zeta +f=Costante

{\ displaystyle \ zeta _ {abs} = \ zeta + f = Constant}

{\ displaystyle \ zeta _ {abs} = \ zeta + f = Constant}

Pentru a satisface această condiție, dacă coloana se deplasează spre nord, va avea vorticitate relativă negativă, deoarece vorticitatea planetară crește odată cu latitudinea. De sine $f_{0}$ ${\ displaystyle f_ {0}}$ $f_ {0}$ Și $f_{1}$ ${\ displaystyle f_ {1}}$ $f_ {1}$ sunt vorticitatea planetară în momentul inițial și final, obținem:

\zeta _{1}=f_{0}-f_{1}

{\ displaystyle \ zeta _ {1} = f_ {0} -f_ {1}}

{\ displaystyle \ zeta _ {1} = f_ {0} -f_ {1}}

Acest exemplu simplu ilustrează modul în care deplasarea în direcția sud , adică în direcția nord-sud, implică producerea unei vorticități relative .

Fluxuri zonale

Fluxurile zonale sunt curenți cu direcția Est-Vest. Datorită conservării potențialei vorticități, fluxurile zonale vestice , adică mergând de la vest la est, tind să rămână în această direcție. De fapt, dacă un flux de vest are o traiectorie curbată care îl conduce spre nord, acesta are inițial vorticitate relativă pozitivă. Deplasându-se spre nord, vorticitatea planetară crește și, în consecință, vorticitatea relativă scade. Când vorticitatea relativă atinge o valoare negativă, fluxul se curbează spre sud. În mișcarea spre sud apare un mecanism similar, din cauza căruia fluxul se întoarce înapoi spre nord. Pe scurt, debitul în medie este întotdeauna orientat spre est și oscilează în jurul acestei direcții ^[8] . Fenomenul descris se află la baza formării undelor Rossby ^[9] .

Dimpotrivă, fluxurile de est , adică fluxurile de la est la vest, nu mențin această direcție. De fapt, un flux de est spre curba spre nord trebuie să aibă vorticitate relativă negativă. Deplasându-se spre nord, vorticitatea planetară crește, prin urmare vorticitatea relativă scade din ce în ce mai mult, iar curbura spre nord devine accentuată.

Notă

^ Holton, p97
^ Holton, p96
^ Holton, p107
^ ^a ^b Gill, p240
^ Gill, p231
^ Holton, p110
^ Gill, p239
^ Holton, p98
^ Holton, p214

Bibliografie

Adrian Gill, Atmosphere-Ocean Dynamics , ISBN 0-12-283522-0
James R Holton, O introducere la meteorologia dinamică , ISBN 978-0-12-354015-7 , ediția a IV-a

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre Vorticitatea potențială

Portal mecanic

Portal de meteorologie

[1] Holton, p97

[2] Holton, p96

[3] Holton, p107

[ref_A-4] Gill, p240

[5] Gill, p231

[6] Holton, p110

[7] Gill, p239

[8] Holton, p98

[9] Holton, p214

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]