Legea lui Stevino

În hidrostatică , legea lui Stevino este o ecuație liniară , formulată de Simone Stevino , care vă permite să calculați presiunea existentă la orice adâncime dintr-o coloană de fluid cunoscând densitatea lichidului în sine. Legea este o simplificare a ecuației Euler pentru impuls în cazul fluidului static în cel puțin un sistem de referință cu densitate constantă și uniformă și supus unei forțe uniforme în acel sistem de referință (deci și o accelerație uniformă fiind densitatea constantă ).

Descriere

Un exemplu este forța gravitațională la care sunt supuse toate porțiunile de lichid dintr-o coloană de apă, forța de greutate a porțiunii de apă peste un anumit nivel la o înălțime fixă a coloanei de apă împinge în jos, dar fundul containerului se blochează cu o forță de reacție la fel de intensă, porțiunea sub nivelul considerat, care, prin urmare, la acea înălțime exercită o forță egală, dar opusă (în sus). Mai mult, având în vedere natura corpusculară a fluidului, particulele care îl compun nu sunt capabile să rămână stivuite vertical una deasupra celeilalte în mod ordonat, astfel încât o particulă la o anumită înălțime este parțial afectată de forța de greutate a întregului suprapus porțiune nu numai pentru particulele de deasupra acesteia pe verticală, ci și deasupra acesteia în direcții oblice care contribuie la generarea forțelor direcționate practic în toate direcțiile îndreptate sub nivelul considerat, ca în cazul unei găleți cilindrice pline de bile pe care se aplică o gaură spre o parte din care nu trebuie exclus ca unele baloane să alunece și, în schimb, porțiunea de bază transmite forțele de reacție în toate direcțiile care se află deasupra nivelului considerat și care se datorează pereților rigizi ai containerului, atât fundul iar cele laterale.

Prin urmare, particula este supusă de-a lungul oricărei direcții și oricărei direcții uneia dintre aceste forțe, toate rezultând de intensitate egală, astfel încât să rămână staționară. Prin urmare, presiunea este generată în toate direcțiile și crește proporțional cu adâncimea, dar singurele consecințe vizibile de care este responsabilă se datorează interacțiunii lichidului cu sistemele la presiune diferită, cum ar fi sistemul cardiovascular al unui scafandru cu un o anumită presiune.sângele sau aerul asemănător la presiunea atmosferică dacă recipientul este perforat lateral. Legea lui Stevin a fost formulată pe o bază experimentală de Simon Stevin (1548-1620) în cazul accelerației gravitației în tratatul său din 1586 De Beghinselen des Waterwichts dedicat hidrostaticii , și apoi generalizat mai întâi de Euler , apoi de Navier .

Exemple incorecte și înșelătoare de aplicare a legii lui Stevin pot fi cele ale unui fluid într-un mediu gol, fără gravitație și cel al unei coloane de fluid care se încadrează. În primul caz fluidul ar putea prezenta o anumită presiune, întotdeauna prezentă, dar în general neglijabilă în comparație cu cea tradițională care derivă dintr-o accelerație uniformă, tipică gazelor și datorită mișcărilor aleatorii ale particulelor care îl compun, care, în orice caz, rămân legate împreună, dar deși fluidul poate părea staționar presiunea nu variază în funcție de înălțime.

Pe de altă parte, în cazul unei căderi libere a fluidului, exact așa cum se întâmplă unei persoane din interiorul unui lift descendent care tinde să se simtă mai ușor până când aparent nu cântărește nimic dacă liftul ar fi în cădere, diferitele porțiuni ale fluidului nu interacționează între ele și forțele la care sunt supuși și care în cele din urmă sunt supuse nu sunt transmise. De fapt, nicio porțiune nu împiedică mișcarea alteia, toate se mișcă cu aceeași viteză, deoarece toate sunt accelerate din cauza gravitației și se observă că ipotezele legii lui Stevin nu sunt valabile deoarece în sistemul în care fluidul este staționar este nu este supus niciunei accelerații și mai degrabă mediul înconjurător pare să sufere unul ascendent. În ceea ce privește al doilea exemplu, trebuie precizat că acest lucru nu exclude studiul presiunii unui fluid care se încadrează, posibil de exemplu prin ecuația Bernoulli , dar trebuie subliniat faptul că exemplul tipic de aplicare a acestei ecuații a apei care iese din robinet este mai realist și mai potrivit decât cel descris în care tot fluidul cade în același timp menținând aceeași viteză în toate porțiunile sale ca și cum ar scoate brusc fundul recipientului.

În cazul descris, de fapt, porțiunile de fluid păstrează toate aceeași viteză pentru fiecare moment, dar, în mod natural, la următoarea clipă, această viteză comună este crescută și, prin urmare, atunci când o porțiune mai mare va trece în poziția anterioară a unei porțiuni inferioare în acel punct viteza fluidului s-a schimbat și, prin urmare, ipoteza staționarității necesară ecuației Bernoulli eșuează. Această problemă poate fi evitată prin simpla exploatare a celui de-al treilea principiu al lui Newton pentru care fluidul poate fi văzut ca un singur corp supus presiunii atmosferice la care trebuie să reacționeze asumând o presiune identică pe suprafețele sale expuse și, prin urmare, în interior. Cazul apei de la robinet, pe de altă parte, are viteze diferite, care sunt constante în timp, dar diferite în diferite poziții, deoarece porțiunile inferioare au căzut mai mult timp și au fost accelerate mai mult decât cele mai mari abia ieșite. Cu aceste condiții, ecuația Bernoulli poate fi utilizată, în timp ce legea lui Stevin nu este atât de mare încât, din utilizarea primei, se dovedește că presiunea este mai mică în partea inferioară, datorită vitezei mai mari a fluidului, care poate fi verificată experimental. întrucât coloana de lichid care cade își reduce secțiunea.

O aplicație practică a legii este dată de experimentul lui Torricelli .

Formulare

Legea lui Stevino afirmă că presiunea exercitată de o coloană de fluid cu densitate constantă $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ într-unul dintre punctele sale de adâncime h (distanța de la suprafața liberă a fluidului, adică suprafața lichidului care este în contact cu aerul mediului extern) crește direct proporțional cu adâncimea Δz și cu câmpul mediu <a >, care în cazul Pământului este valoarea medie a câmpului gravitațional al Pământului g≈9,8 m / s², ^[1]

\Delta p={\rho }\cdot \langle a\rangle \cdot \Delta z

{\ displaystyle \ Delta p = {\ rho} \ cdot \ langle a \ rangle \ cdot \ Delta z}

{\ displaystyle \ Delta p = {\ rho} \ cdot \ langle a \ rangle \ cdot \ Delta z}

Ecuația implică, de asemenea, că suprafețele echipotențiale în cazul fluidului ideal sunt, de asemenea, suprafețe izobare. Dacă suprafața coloanei de lichid este expusă la presiunea atmosferică $p_{0}$ ${\ displaystyle p_ {0}}$ $p_ {0}$ atunci legea lui Stevino poate fi scrisă în schimb în termeni de presiune relativă, în cea a presiunii absolute:

p={\rho }\cdot \langle a\rangle \cdot \Delta z+p_{0}

{\ displaystyle p = {\ rho} \ cdot \ langle a \ rangle \ cdot \ Delta z + p_ {0}}

{\ displaystyle p = {\ rho} \ cdot \ langle a \ rangle \ cdot \ Delta z + p_ {0}}

Produsul de câmp mediu-densitate este egal cu forța volumetrică externă γ a fluidului, prin urmare legea poate fi înțeleasă și ca legătura dintre creșterea presiunii într-un punct al fluidului și scufundarea acestuia de la suprafața liberă, unde γ este coeficient de proporționalitate (constant):

\Delta p={\gamma }\cdot \Delta z

{\ displaystyle \ Delta p = {\ gamma} \ cdot \ Delta z}

{\ displaystyle \ Delta p = {\ gamma} \ cdot \ Delta z}

Presupunând că lichidul este omogen, variația presiunii hidrostatice este direct proporțională cu variația distanței de la suprafața liberă, la densitatea lichidului și la accelerația gravitației la fiecare dintre punctele sale interne. La suprafața liberă presiunea din lichid este egală cu presiunea atmosferică .

Dacă densitatea este constantă, avem $z=z_{0}-{\frac {p}{\gamma }}$ ${\ displaystyle z = z_ {0} - {\ frac {p} {\ gamma}}}$ $z = z_ {0} - {\ frac {p} {\ gamma}}$ , unde z este înălțimea geodezică de la un plan de referință, $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este greutatea specifică a lichidului și z ₀ este înălțimea piezometrică .

Prin urmare, se deduce că diferența de presiune între două puncte ale aceluiași lichid la înălțimi diferite este pur și simplu dată de produsul greutății specifice prin distanța lor: $z_{1}+{\frac {p_{1}}{\gamma }}=z_{2}+{\frac {P_{2}}{\gamma }}\longrightarrow (P_{1}-P_{2})=\gamma (z_{2}-z_{1})$ ${\ displaystyle z_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ gamma}} = z_ {2} + {\ frac {P_ {2}} {\ gamma}} \ longrightarrow (P_ {1} - P_ {2}) = \ gamma (z_ {2} -z_ {1})}$ $z_ {1} + {\ frac {p_ {1}} {\ gamma}} = z_ {2} + {\ frac {P_ {2}} {\ gamma}} \ longrightarrow (P_ {1} -P_ {2 }) = \ gamma (z_ {2} -z_ {1})$ .

Legea lui Stevino stă la baza așa-numitelor paradoxuri hidrostatice și explică comportamentul puțurilor arteziene comune în care apa iese spontan și țâșnește la suprafață, dacă presiunea din capul coloanei este mai mare decât cea atmosferică.

Exemplu

Același subiect în detaliu: Contor coloană de apă .

Se calculează înălțimea unei coloane de apă echivalentă barometric cu întreaga atmosferă a Pământului :

\Delta z_{0}={\frac {p_{0}}{\rho \cdot g}}={\frac {101325\;{\textrm {Pa}}}{1000\;{\frac {\textrm {kg}}{{\textrm {m}}^{3}}}\cdot 9,81\;{\frac {\textrm {m}}{{\textrm {s}}^{2}}}}}\approx 10,33\;{\textrm {m}}

{\ displaystyle \ Delta z_ {0} = {\ frac {p_ {0}} {\ rho \ cdot g}} = {\ frac {101325 \; {\ textrm {Pa}}} {1000 \; {\ frac {\ textrm {kg}} {{\ textrm {m}} ^ {3}}} \ cdot 9,81 \; {\ frac {\ textrm {m}} {{\ textrm {s}} ^ {2} }}}} \ approx 10,33 \; {\ textrm {m}}}

\ Delta z_ {0} = {\ frac {p_ {0}} {\ rho \ cdot g}} = {\ frac {101325 \; {\ textrm {Pa}}} {1000 \; {\ frac {{\ textrm {kg}}} {{\ textrm {m}} ^ {3}}} \ cdot 9,81 \; {\ frac {{\ textrm {m}}} {{\ textrm {s}} ^ {2 }}}}} \ approx 10,33 \; {\ textrm {m}}

.

Adică este suficient să mergi sub apă la o adâncime de 10 metri pentru a crește presiunea (2 atm), coborând încă 10,33 metri pentru a ajunge la 3 atmosfere și așa mai departe, la fiecare 10,33 metri presiunea crește cu o atmosferă; Prin urmare, legea lui Stevin afirmă că presiunea crește liniar cu adâncimea, de fapt prin fixarea unui sistem de referință la suprafața liberă, orientată într-un mod concordant cu accelerația gravitației, avem legea: P = PS * z; unde PS este greutatea specifică [N / m ^ 3] (densitatea g *) și z este distanța de la suprafața liberă.

Este ușor de observat că ecuația este cea a unei linii drepte cu interceptare zero, deoarece de obicei se lucrează în presiune relativă, totuși conceptul este absolut identic în presiunea absolută, este doar o chestiune de a adăuga 1 atm, utilitatea de a lucra în presiunea relativă, mai degrabă absolută, constă în faptul că, dacă se calculează împingeri, forța netă care acționează pe suprafață este deja obținută.

Rețineți că 10,33 metri sunt foarte mulți pentru măsurarea presiunii, înălțimea coloanei de fluid poate fi redusă utilizând fluide cu densitate mai mare, de aceea primele ecartamente au fost construite cu mercur (PS aproximativ 133320 N / m ^ 3 împotriva apei PS = 9806 N / m ^ 3). este ușor de calculat că înălțimea coloanei de mercur corespunzătoare unei atmosfere este de 760 mm, mult mai mică de 10 m, versatilitatea mercurului a însemnat că a fost utilizată pentru multe măsurători de presiune, atât de mult încât în sistemul de unități de măsură este torrul, numit după omul de știință italian Evangelista Torricelli , care corespunde cu 760 milimetri de mercur.

Legea Weber-Fechner , conform căreia urechea este afectată de presiune într-un mod logaritmic, împreună cu legea lui Stevin explică creșterea frecvenței în compensare cu apropierea de suprafață care urmează să fie practicată în înotul subacvatic .

Derivare

A doua ecuație Euler este exprimată în derivata Lagrangiană :

{\frac {D\langle {\bar {v}}\rangle }{Dt}}+{\frac {1}{\rho }}\nabla p-\langle a\rangle ={\bar {0}}

{\ displaystyle {\ frac {D \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {Dt}} + {\ frac {1} {\ rho}} \ nabla p- \ langle a \ rangle = {\ bar { 0}}}

{\ frac {D \ langle {\ bar v} \ rangle} {Dt}} + {\ frac 1 \ rho} \ nabla p- \ langle a \ rangle = {\ bar 0}

unde este $\langle a\rangle$ ${\ displaystyle \ langle a \ rangle}$ $\ langle a \ rangle$ reprezintă câmpul mediu care acționează asupra fluidului, p este presiunea și ρ densitatea. În cazul unui fluid staționar:

${\frac {D\langle {\bar {v}}\rangle }{Dt}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {D \ langle {\ bar {v}} \ rangle} {Dt}} = 0}$ ${\ frac {D \ langle {\ bar v} \ rangle} {Dt}} = 0$

ecuația devine pur și simplu:

\nabla p=\rho \langle a\rangle

{\ displaystyle \ nabla p = \ rho \ langle a \ rangle}

\ nabla p = \ rho \ langle a \ rangle

Această ecuație se numește legea lui Stevin generalizată și stabilește că, în cazul static, gradientul de presiune este local proporțional cu accelerația gravitației , în analogie cu a doua lege a dinamicii . Dacă forțele la care este supus fluidul sunt conservatoare, atunci ecuația anterioară este integrabilă:

\Delta p=\int _{r_{0}}^{r_{0}+\Delta r}\rho \langle a\rangle \cdot \operatorname {d} {\bar {r}}

{\ displaystyle \ Delta p = \ int _ {r_ {0}} ^ {r_ {0} + \ Delta r} \ rho \ langle a \ rangle \ cdot \ operatorname {d} {\ bar {r}}}

\ Delta p = \ int _ {{r_ {0}}} ^ {{r_ {0} + \ Delta r}} \ rho \ langle a \ rangle \ cdot \ operatorname d {\ bar r}

și dacă adăugăm ultima ipoteză că accelerația impusă și densitatea sunt uniforme (valabile respectiv pentru câmpul gravitațional al Pământului și pentru lichide ):

\Delta p=\rho \langle a\rangle \cdot \int _{{\bar {r}}_{0}}^{{\bar {r}}_{0}+\Delta {\bar {r}}}\operatorname {d} {\bar {r}}=\rho \langle a\rangle \cdot \Delta {\bar {r}}

{\ displaystyle \ Delta p = \ rho \ langle a \ rangle \ cdot \ int _ {{\ bar {r}} _ {0}} ^ {{\ bar {r}} _ {0} + \ Delta {\ bar {r}}} \ operatorname {d} {\ bar {r}} = \ rho \ langle a \ rangle \ cdot \ Delta {\ bar {r}}}

\ Delta p = \ rho \ langle a \ rangle \ cdot \ int _ {{{\ bar r} _ {0}}} ^ {{{\ bar r} _ {0} + \ Delta {\ bar r}} } \ operatorname d {\ bar r} = \ rho \ langle a \ rangle \ cdot \ Delta {\ bar r}

care este tocmai legea lui Stevino.

Legea lui Stevin pentru fluidele incompresibile este, de asemenea, derivată din starea de echilibru hidrostatic al unui fluid ideal .

Notă

^ Turchetti , p. 76 .

Bibliografie

Enrico Turchetti, Romana Pasi, Elements of Physics , ed. I, Zanichelli, 1998, ISBN 88-08-09755-2 .

Elemente conexe

Mecanica fluidelor

Verificare experimentală

Aparat Haldat

Portal de inginerie

Portal mecanic

[1] Turchetti , p. 76 .

[1]