Potențial morse

Potențialul Morse (în albastru) și potențialul oscilatorului armonic (în verde). Spre deosebire de nivelurile de energie ale potențialului oscilatorului armonic, care sunt uniform distanțate de ħω , distanța dintre nivelurile potențialului Morse scade pe măsură ce energia tinde spre valoarea energiei de disociere. Energia de disociere D _e este mai mare decât energia reală necesară pentru disocierea D ₀ datorită energiei la punctul zero al celui mai scăzut nivel vibrațional ( v = 0).

Potențialul Morse , numit după fizicianul american Philip M. Morse , este un model convenabil pentru energia potențială a unei molecule diatomice. Este o aproximare mai bună pentru a descrie structura vibrațională a moleculelor decât oscilatorul cuantic armonic , deoarece include în mod explicit efectele ruperii legăturilor chimice , cum ar fi existența stărilor nelegate. De asemenea, explică anarmonicitatea legăturilor reale și probabilitatea de tranziție non-zero a supratoniului și a benzilor combinate .

Exprimarea energiei potențiale

Energia potențială Morse are forma: ^[1]

V(r)=D_{e}[1-e^{-a(r-r_{e})}]^{2}

{\ displaystyle V (r) = D_ {e} [1-e ^ {- a (r-r_ {e})}] ^ {2}}

V (r) = D_e [1-e ^ {- a (r-r_e)}] ^ 2

,

unde este $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este distanța dintre atomi, $r_{e}$ ${\ displaystyle r_ {e}}$ $rege}$ este distanța până la echilibru, $D_{e}$ ${\ displaystyle D_ {e}}$ $D_e$ adâncimea potențialului (definită cu privire la atomii nelegați) și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ verificați lățimea potențialului. Energia de disociere a legăturii poate fi calculată prin scăderea energiei la punctul zero din adâncimea potențialului. Constanta de rezistență a legăturii poate fi determinată luând în considerare a doua derivată a funcției energiei potențiale, din care se arată că $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ merita

a={\sqrt {k_{e}/2D_{e}}}

{\ displaystyle a = {\ sqrt {k_ {e} / 2D_ {e}}}}

a = \ sqrt {k_e / 2D_e}

,

unde este $k_{e}$ ${\ displaystyle k_ {e}}$ $k_e$ este forța constantă la potențial minim.

Desigur, energia potențială zero este arbitrară, iar ecuația pentru potențialul Morse poate fi rescrisă în orice mod prin adăugarea sau scăderea unei valori constante.

Energia vibrațională

Stările staționare pe potențialul Morse au valori proprii

E(v)=h\nu _{0}(v+1/2)-{\frac {\left[h\nu _{0}(v+1/2)\right]^{2}}{4D_{e}}}

{\ displaystyle E (v) = h \ nu _ {0} (v + 1/2) - {\ frac {\ left [h \ nu _ {0} (v + 1/2) \ right] ^ {2 }} {4D_ {e}}}}

E (v) = h \ nu_0 (v + 1/2) - \ frac {\ left [h \ nu_0 (v + 1/2) \ right] ^ 2} {4D_e}

unde este $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este numărul cuantic vibrațional $(v=0,1,2,\ldots )$ ${\ displaystyle (v = 0,1,2, \ ldots)}$ ${\ displaystyle (v = 0,1,2, \ ldots)}$ , Și $\nu _{0}$ ${\ displaystyle \ nu _ {0}}$ $\ nu _ {0}$ are dimensiunea frecvenței și este legat matematic de masa particulei $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ și la constantele Morse prin relația:

\nu _{0}={\frac {a}{2\pi }}{\sqrt {2D_{e}/m}}

{\ displaystyle \ nu _ {0} = {\ frac {a} {2 \ pi}} {\ sqrt {2D_ {e} / m}}}

\ nu_0 = \ frac {a} {2 \ pi} \ sqrt {2D_e / m}

.

În timp ce distanța energetică dintre nivelurile vibraționale din oscilatorul armonic cuantic este constantă a $h\nu _{0}$ ${\ displaystyle h \ nu _ {0}}$ ${\ displaystyle h \ nu _ {0}}$ , în oscilatorul Morse energia dintre nivelurile adiacente scade odată cu creșterea $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ .

Din punct de vedere matematic, distanța dintre nivelurile Morse este egală

E(v+1)-E(v)=h\nu _{0}-(v+1)(h\nu _{0})^{2}/2D_{e}

{\ displaystyle E (v + 1) -E (v) = h \ nu _ {0} - (v + 1) (h \ nu _ {0}) ^ {2} / 2D_ {e}}

E (v + 1) - E (v) = h \ nu_0 - (v + 1) (h \ nu_0) ^ 2 / 2D_e

.

Această tendință explică anarmonicitatea găsită în moleculele reale. Cu toate acestea, această ecuație eșuează peste unele valori ale $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ unde diferența $E(v+1)-E(v)$ ${\ displaystyle E (v + 1) -E (v)}$ $E (v + 1) - E (v)$ este egal cu zero sau negativ. Acest eșec se datorează numărului finit de niveluri de obligațiuni în potențialul Morse, și unele $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ maxim, $v_{m}$ ${\ displaystyle v_ {m}}$ $v_ {m}$ rămâne legat. Pentru energii mai mari de $v_{m}$ ${\ displaystyle v_ {m}}$ $v_ {m}$ , sunt permise toate nivelurile de energie posibile și ecuația pe care o exprimă $E(v)$ ${\ displaystyle E (v)}$ $E (v)$ nu mai este valabil.

De mai jos $v_{m}$ ${\ displaystyle v_ {m}}$ $v_ {m}$ , $E(v)$ ${\ displaystyle E (v)}$ $E (v)$ este o bună aproximare pentru adevărata structură vibrațională în moleculele diatomice nerotante. De fapt, spectrele moleculare reale urmează în general relația ^[2]

E_{v}/hc=\omega _{e}(v+1/2)-\omega _{e}\chi _{e}(v+1/2)^{2}

{\ displaystyle E_ {v} / hc = \ omega _ {e} (v + 1/2) - \ omega _ {e} \ chi _ {e} (v + 1/2) ^ {2}}

E_v / hc = \ omega_e (v + 1/2) - \ omega_e \ chi_e (v + 1/2) ^ 2

în care constantele $\omega _{e}$ ${\ displaystyle \ omega _ {e}}$ $\ omega_e$ Și $\omega _{e}\chi _{e}$ ${\ displaystyle \ omega _ {e} \ chi _ {e}}$ $\ omega_e \ chi_e$ poate fi direct legat de parametrii potențialului Morse.

Soluția ecuației Schrödinger pentru oscilatorul Morse

În mod similar cu oscilatorul armonic cuantic, energiile și stările proprii ale potențialului Morse pot fi calculate folosind metode care exploatează operatorii . Una dintre aceste abordări aplică metoda factorizării hamiltoniene .

Notă

^(RO) IUPAC Gold Book, „Morse potential”
^ Manual CRC de chimie și fizică, Ed David R. Lide, ed. 87, secțiunea 9, Constantele spectroscopice ale moleculelor diatomice p. 9-82.

Bibliografie

( EN ) PM Morse, molecule diatomice în conformitate cu mecanica undelor. II. Nivele vibraționale , în Phys. Rev. , n. 34, pp. 57-64.
IG Kaplan, Manual de fizică moleculară și chimie cuantică , Wiley, 2003. p.207.

Elemente conexe

Portalul chimiei

Portalul de fizică

[1] (RO) IUPAC Gold Book, „Morse potential”

[2] Manual CRC de chimie și fizică, Ed David R. Lide, ed. 87, secțiunea 9, Constantele spectroscopice ale moleculelor diatomice p. 9-82.

[1]

[2]