Sarcina critică euleriană

Conform teoriei elastice a fasciculului , se numește sarcină critică euleriană acea forță de compresie a cărei valoare aduce la nesfârșit solidul subțire pe care acționează, generând instabilitate la punctul de flambaj .

Carcasă uniformă a tijei în absența tăierii

Același subiect în detaliu: ecuația Helmholtz .

Descriere

Schema statică

Luați în considerare o tijă dintr-un material elastic liniar, supusă unei forțe de compresie $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ la un capăt.

Dacă elementul suferă o ușoară înclinare, astfel încât linia centrală (deformată) este descrisă printr-o curbă cunoscută, de ecuație $y(x)$ ${\ displaystyle y (x)}$ ${\ displaystyle y (x)}$ , forta $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ produce și un moment $Ny(x)$ ${\ displaystyle Ny (x)}$ ${\ displaystyle Ny (x)}$ , căruia i se opune momentul intern care, dacă curbura este confundată cu a doua derivată, se menține $EJy''(x)$ ${\ displaystyle EJy '' (x)}$ ${\ displaystyle EJy '' (x)}$ , unde E este modulul longitudinal de elasticitate .

Condiția de echilibru, pentru care configurația deformată este în echilibru cu forța externă, necesită ca suma momentelor, interne și externe, să fie zero:

EJy''(x)=Ny(x)\

{\ displaystyle EJy '' (x) = Ny (x) \}

{\ displaystyle EJy '' (x) = Ny (x) \}

Aceasta este o ecuație Helmholtz pentru funcția y (x), care poate fi redusă în formă canonică, cum ar fi ecuația valorii proprii :

y''(x)=k^{2}y(x)\

{\ displaystyle y '' (x) = k ^ {2} y (x) \}

{\ displaystyle y '' (x) = k ^ {2} y (x) \}

unde valoarea proprie a operatorului matematic al celei de-a doua derivate corespunde:

k={\sqrt {\frac {N}{EJ}}}

{\ displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {N} {EJ}}}}

{\ displaystyle k = {\ sqrt {\ frac {N} {EJ}}}}

Soluția acestei ecuații este:

y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx)\

{\ displaystyle y (x) = A \ cos (kx) + B \ sin (kx) \}

{\ displaystyle y (x) = A \ cos (kx) + B \ sin (kx) \}

unde A și B sunt constante de integrare, care necesită tot atâtea condiții la graniță. Prin urmare, sunt impuse două condiții Dirichlet : $y(0)=y(\lambda )=0$ ${\ displaystyle y (0) = y (\ lambda) = 0}$ ${\ displaystyle y (0) = y (\ lambda) = 0}$ : poziționăm zeroul sistemului de referință într-un punct nedeformat și studiem unde fasciculul revine nedeformat.

Lungimea deviată, adică lungimea de undă în picioare asociată cu deformarea λ , NU corespunde în general cu lungimea simplă a fasciculului ( h ): în funcție de modul în care este constrânsă fasciculul, lungimea deviată poate fi mai mare sau mai mică decât lungimea fizică a fasciculul la distanța dintre două flexuri din fasciculul deformat.

Din afecțiune $y(0)=A=0$ ${\ displaystyle y (0) = A = 0}$ ${\ displaystyle y (0) = A = 0}$ , rezultă pur și simplu că prima dintre cele două constante este zero.

Cea de-a doua condiție devine apoi că lungimea flexată este coordonata punctului în care deplasarea revine la zero: $y(\lambda )=B\sin(k\lambda )=0$ ${\ displaystyle y (\ lambda) = B \ sin (k \ lambda) = 0}$ ${\ displaystyle y (\ lambda) = B \ sin (k \ lambda) = 0}$ , care are două soluții posibile:

de sine $\sin(k\lambda )\neq 0$ ${\ displaystyle \ sin (k \ lambda) \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ sin (k \ lambda) \ neq 0}$ , trebuie să se dovedească $B=0$ ${\ displaystyle B = 0}$ ${\ displaystyle B = 0}$ . În acest caz, soluția ecuației este $y(x)\equiv 0$ ${\ displaystyle y (x) \ equiv 0}$ ${\ displaystyle y (x) \ equiv 0}$ , adică singura configurație de echilibru este cea nedeformată.

de sine $\sin(k\lambda )=0$ ${\ displaystyle \ sin (k \ lambda) = 0}$ ${\ displaystyle \ sin (k \ lambda) = 0}$ atunci condiția limită este îndeplinită pentru orice valoare a lui B, prin urmare există configurații echilibrate infinite (echilibru indiferent).

Conditia $\sin(k\lambda )=0$ ${\ displaystyle \ sin (k \ lambda) = 0}$ ${\ displaystyle \ sin (k \ lambda) = 0}$ presupune că $k\lambda =n\pi$ ${\ displaystyle k \ lambda = n \ pi}$ ${\ displaystyle k \ lambda = n \ pi}$ , unde n denotă un număr întreg pozitiv. Amintindu-ne de definiția numărului de undă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , avem că condiția anterioară este îndeplinită dacă

{\frac {N}{EJ}}\lambda ^{2}=n^{2}\pi ^{2}

{\ displaystyle {\ frac {N} {EJ}} \ lambda ^ {2} = n ^ {2} \ pi ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {N} {EJ}} \ lambda ^ {2} = n ^ {2} \ pi ^ {2}}

și acest lucru se întâmplă pentru acele valori ale lui N astfel încât

N(n)=n^{2}\pi ^{2}{\frac {EJ}{\lambda ^{2}}}

{\ displaystyle N (n) = n ^ {2} \ pi ^ {2} {\ frac {EJ} {\ lambda ^ {2}}}}

{\ displaystyle N (n) = n ^ {2} \ pi ^ {2} {\ frac {EJ} {\ lambda ^ {2}}}}

Cea mai mică dintre valorile $N_{n}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ corespunde trecerii de la o condiție de echilibru stabil la una instabilă. Această valoare este cea pentru n = 1 și se numește sarcina critică euleriană a elementului comprimat:

N_{cr}=N(n=1)=\pi ^{2}{\frac {E\,J}{\lambda ^{2}}}

{\ displaystyle N_ {cr} = N (n = 1) = \ pi ^ {2} {\ frac {E \, J} {\ lambda ^ {2}}}}

{\ displaystyle N_ {cr} = N (n = 1) = \ pi ^ {2} {\ frac {E \, J} {\ lambda ^ {2}}}}

Indicând cu $N_{cr}$ ${\ displaystyle N_ {cr}}$ ${\ displaystyle N_ {cr}}$ forța critică. Rețineți că până în prezent nu am vorbit despre lungimea h reală a fasciculului: acesta este considerat în paragraful constrângere.

Tensiune critică

Din sarcina critică derivă tensiunea critică, adică valoarea tensiunii atinse de tijă atunci când $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$

\sigma _{cr}={\frac {N_{cr}}{A}}=\pi ^{2}{\frac {EJ_{\min }}{\lambda ^{2}A}}={\frac {\pi ^{2}}{\lambda '^{2}}}E

{\ displaystyle \ sigma _ {cr} = {\ frac {N_ {cr}} {A}} = \ pi ^ {2} {\ frac {EJ _ {\ min}} {\ lambda ^ {2} A} } = {\ frac {\ pi ^ {2}} {\ lambda '^ {2}}} E}

{\ displaystyle \ sigma _ {cr} = {\ frac {N_ {cr}} {A}} = \ pi ^ {2} {\ frac {EJ _ {\ min}} {\ lambda ^ {2} A} } = {\ frac {\ pi ^ {2}} {\ lambda '^ {2}}} E}

adică într- o formă adimensională :

 ${\frac {\sigma _{cr}}{E}}=\left({\frac {\pi }{\lambda '}}\right)^{2}$  $σ$   $c$   $r$   $ȘI$   $=$   $($   $π$   $λ$   $'$   $)$   $2$   ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {cr}} {E}} = \ left ({\ frac {\ pi} {\ lambda '}} \ right) ^ {2}}$   ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {cr}} {E}} = \ left ({\ frac {\ pi} {\ lambda '}} \ right) ^ {2}}$

cu:

\lambda '={\frac {\lambda }{\rho }}

{\ displaystyle \ lambda '= {\ frac {\ lambda} {\ rho}}}

{\ displaystyle \ lambda '= {\ frac {\ lambda} {\ rho}}}

Cantitatea adimensională $\lambda '$ ${\ displaystyle \ lambda '}$ ${\ displaystyle \ lambda '}$ se numește „ subțire ” a elementului: este un parametru care depinde de forma și reținerea fasciculului, corespunzător raportului dintre lungimea îndoită (care depinde de reținere și lungimea fasciculului) și raza de secțiunea de inerție (care depinde de forma fasciculului).

În schimb, relația dintre tensiunea mecanică și modulul lui Young :

${\frac {\sigma }{E}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma} {E}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma} {E}}}$

în cazul unui oțel de construcție este un număr mic, în jur de la o mie , de exemplu poate fi de 200MPa / 200GPa = 1/1000.

Efectul constrângerii

Coeficientul de constrângere pentru diferite constrângeri ale fasciculului

Profilul de deviere depinde puternic de tipul de constrângeri. Pentru comoditate, este definit un coeficient de constrângere , indicat cu μ în figură pentru cazurile fără forțe de forfecare. Corespunde cu raportul dintre lungimea de deviere liberă a fasciculului și lungimea fizică a fasciculului.

Valorile coeficientului pentru unele cazuri de constrângere sunt:

- μ = 1 pentru un fascicul constrâns cu 2 balamale la capete: vezi în figură că deformarea ia forma unui sinusoid simplu care are o jumătate de lungime de undă egală cu lungimea fasciculului
- μ = 2 pentru un fascicul constrâns cu o singură articulație perfectă (consolă). Se poate vedea în figură că jumătatea lungimii de undă a deformării este de două ori lungimea fizică a fasciculului
- μ = 1/2 pentru o grindă constrânsă cu 2 îmbinări perfecte la capete
- μ = 2/3 pentru un fascicul constrâns cu o potrivire perfectă și o balama

Din acest coeficient, lungimea de deformare liberă este calculată odată ce se cunoaște măsurarea fasciculului, cu un produs simplu:

$\lambda =\mu \,h$ ${\ displaystyle \ lambda = \ mu \, h}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ mu \, h}$

De aici se calculează apoi zveltura maximă, cunoscând cea mai mică rază de inerție dintre cele ale diferitelor secțiuni transversale ale fasciculului.

Tija uniformă în caz de tăiere

Descriere

Ecuația liniei elastice în general este

{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}=-{\frac {M(x)}{EJ}}+{\frac {\chi }{GA}}{\frac {dT(x)}{dx}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} = - {\ frac {M (x)} {EJ}} + {\ frac {\ chi} {GA }} {\ frac {dT (x)} {dx}}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} = - {\ frac {M (x)} {EJ}} + {\ frac {\ chi} {GA }} {\ frac {dT (x)} {dx}}}

Înlocuind expresia lui M și T obținem

{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}=-{\frac {N}{EJ}}y(x)+{\frac {\chi }{GA}}N{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} = - {\ frac {N} {EJ}} y (x) + {\ frac {\ chi} { GA}} N {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} = - {\ frac {N} {EJ}} y (x) + {\ frac {\ chi} { GA}} N {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}}}

Din această ultimă relație obținem ecuația diferențială a problemei:

{\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}\left(1-N{\frac {\chi }{GA}}\right)=-{\frac {N}{EJ}}y(x)\Rightarrow {\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}+{\frac {N}{EJ\left(1-N{\frac {\chi }{GA}}\right)}}y(x)=0\Rightarrow {\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}+\alpha ^{2}y(x)=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} \ left (1-N {\ frac {\ chi} {GA}} \ right) = - {\ frac {N} {EJ}} y (x) \ Rightarrow {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} + {\ frac {N} {EJ \ left (1-N {\ frac {\ chi} {GA}} \ right)}} y (x) = 0 \ Rightarrow {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} + \ alpha ^ {2} y (x) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} \ left (1-N {\ frac {\ chi} {GA}} \ right) = - {\ frac {N} {EJ}} y (x) \ Rightarrow {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} + {\ frac {N} {EJ \ left (1-N {\ frac {\ chi} {GA}} \ right)}} y (x) = 0 \ Rightarrow {\ frac {d ^ {2} y (x)} {dx ^ {2}}} + \ alpha ^ {2} y (x) = 0}

Pentru valori egale cu $\alpha ^{2}={\frac {N}{EJ\left(1-N{\frac {\chi }{GA}}\right)}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {2} = {\ frac {N} {EJ \ left (1-N {\ frac {\ chi} {GA}} \ right)}}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {2} = {\ frac {N} {EJ \ left (1-N {\ frac {\ chi} {GA}} \ right)}}}$ echilibrul este atins. Soluția ecuației diferențiale este de tipul

y(x)=A\cos(\alpha x)+B\,\mathrm {sen} (\alpha x)

{\ displaystyle y (x) = A \ cos (\ alpha x) + B \, \ mathrm {sen} (\ alpha x)}

{\ displaystyle y (x) = A \ cos (\ alpha x) + B \, \ mathrm {sen} (\ alpha x)}

A și B sunt constante care depind de condițiile limită. Din afecțiune $y(0)=A=0$ ${\ displaystyle y (0) = A = 0}$ ${\ displaystyle y (0) = A = 0}$ , rezultă că prima dintre cele două constante este zero. Având în vedere că $y(L)=B\,\mathrm {sen} (\alpha L)=0$ ${\ displaystyle y (L) = B \, \ mathrm {sen} (\ alpha L) = 0}$ ${\ displaystyle y (L) = B \, \ mathrm {sen} (\ alpha L) = 0}$ , care are două soluții posibile:

de sine $\mathrm {sen} (\alpha L)\neq 0$ ${\ displaystyle \ mathrm {sen} (\ alpha L) \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sen} (\ alpha L) \ neq 0}$ , trebuie să se dovedească $B=0$ ${\ displaystyle B = 0}$ ${\ displaystyle B = 0}$ . În acest caz, soluția ecuației este $y(x)\equiv 0$ ${\ displaystyle y (x) \ equiv 0}$ ${\ displaystyle y (x) \ equiv 0}$ , adică singura configurație de echilibru este cea nedeformată.

de sine $\mathrm {sen} (\alpha L)=0$ ${\ displaystyle \ mathrm {sen} (\ alpha L) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sen} (\ alpha L) = 0}$ atunci condiția limită este îndeplinită pentru orice valoare a lui B, prin urmare există configurații echilibrate infinite (echilibru indiferent).

Conditia $\mathrm {sen} (\alpha L)=0$ ${\ displaystyle \ mathrm {sen} (\ alpha L) = 0}$ ${\ displaystyle \ mathrm {sen} (\ alpha L) = 0}$ presupune că $\alpha L=n\pi$ ${\ displaystyle \ alpha L = n \ pi}$ ${\ displaystyle \ alpha L = n \ pi}$ , unde n denotă un număr întreg pozitiv. Amintindu-ne de definiția $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , avem că condiția anterioară este îndeplinită dacă

{\frac {N_{n}}{EJ\left(1-N_{n}{\frac {\chi }{GA}}\right)}}L^{2}=n^{2}\pi ^{2}

{\ displaystyle {\ frac {N_ {n}} {EJ \ left (1-N_ {n} {\ frac {\ chi} {GA}} \ right)}} L ^ {2} = n ^ {2} \ pi ^ {2}}

{\ displaystyle {\ frac {N_ {n}} {EJ \ left (1-N_ {n} {\ frac {\ chi} {GA}} \ right)}} L ^ {2} = n ^ {2} \ pi ^ {2}}

Cea mai mică dintre valorile $N_{n}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ ${\ displaystyle N_ {n}}$ corespunde trecerii de la o condiție de echilibru stabil la una instabilă. Această valoare este cea pentru n = 1 și se numește sarcina critică euleriană a elementului comprimat:

N_{cr}=\pi ^{2}{\frac {EJ_{\min }}{l_{1}^{2}}}{\frac {1}{\left[1+\pi ^{2}\left({\frac {EJ_{\min }}{l_{1}^{2}}}{\frac {\chi }{GA}}\right)\right]}}

{\ displaystyle N_ {cr} = \ pi ^ {2} {\ frac {EJ _ {\ min}} {l_ {1} ^ {2}}} {\ frac {1} {\ left [1+ \ pi ^ {2} \ left ({\ frac {EJ _ {\ min}} {l_ {1} ^ {2}}} {\ frac {\ chi} {GA}} \ right) \ right]}}}

{\ displaystyle N_ {cr} = \ pi ^ {2} {\ frac {EJ _ {\ min}} {l_ {1} ^ {2}}} {\ frac {1} {\ left [1+ \ pi ^ {2} \ left ({\ frac {EJ _ {\ min}} {l_ {1} ^ {2}}} {\ frac {\ chi} {GA}} \ right) \ right]}}}

Tensiune critică

Din sarcina critică derivă tensiunea critică, adică valoarea tensiunii atinse de tijă atunci când $N=N_{cr}$ ${\ displaystyle N = N_ {cr}}$ ${\ displaystyle N = N_ {cr}}$

\sigma _{cr}={\frac {N_{cr}}{A}}=\pi ^{2}{\frac {EJ_{\min }}{l_{1}^{2}A}}{\frac {1}{\left[1+\pi ^{2}\left({\frac {EJ_{\min }}{l_{1}^{2}}}{\frac {\chi }{GA}}\right)\right]}}={\frac {\pi ^{2}{\frac {E}{\lambda ^{2}}}}{1+{\frac {\chi }{GA}}A{\frac {E}{\lambda ^{2}}}\pi ^{2}}}={\frac {\pi ^{2}E}{\lambda ^{2}+{\frac {\chi }{GA}}EA\pi ^{2}}}={\frac {\pi ^{2}E}{\lambda _{id}^{2}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {cr} = {\ frac {N_ {cr}} {A}} = \ pi ^ {2} {\ frac {EJ _ {\ min}} {l_ {1} ^ {2} A}} {\ frac {1} {\ left [1+ \ pi ^ {2} \ left ({\ frac {EJ _ {\ min}} {l_ {1} ^ {2}}} {\ frac { \ chi} {GA}} \ right) \ right]}} = {\ frac {\ pi ^ {2} {\ frac {E} {\ lambda ^ {2}}}} {1 + {\ frac {\ chi} {GA}} A {\ frac {E} {\ lambda ^ {2}}} \ pi ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2} E} {\ lambda ^ {2} + {\ frac {\ chi} {GA}} EA \ pi ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2} E} {\ lambda _ {id} ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ sigma _ {cr} = {\ frac {N_ {cr}} {A}} = \ pi ^ {2} {\ frac {EJ _ {\ min}} {l_ {1} ^ {2} A}} {\ frac {1} {\ left [1+ \ pi ^ {2} \ left ({\ frac {EJ _ {\ min}} {l_ {1} ^ {2}}} {\ frac { \ chi} {GA}} \ right) \ right]}} = {\ frac {\ pi ^ {2} {\ frac {E} {\ lambda ^ {2}}}} {1 + {\ frac {\ chi} {GA}} A {\ frac {E} {\ lambda ^ {2}}} \ pi ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2} E} {\ lambda ^ {2} + {\ frac {\ chi} {GA}} EA \ pi ^ {2}}} = {\ frac {\ pi ^ {2} E} {\ lambda _ {id} ^ {2}}}}

Carcasa neuniformă a tijei în absența tăierii

Descriere

Luați în considerare un membru a cărui rigiditate la îndoire nu este o valoare constantă, ci o variabilă de-a lungul axei principale, adică $EJ=f(x)$ ${\ displaystyle EJ = f (x)}$ ${\ displaystyle EJ = f (x)}$ . În practica ingineriei structurale $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este o funcție care trebuie să îndeplinească următoarea condiție: $f(x)>0$ ${\ displaystyle f (x)> 0}$ $f (x)> 0$ cu $0\leq x\leq L$ ${\ displaystyle 0 \ leq x \ leq L}$ ${\ displaystyle 0 \ leq x \ leq L}$ unde este $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ reprezintă lungimea totală a tijei. În ingineria civilă, variabilitatea rigidității la îndoire depinde exclusiv de momentul de inerție, deoarece este extrem de neobișnuit să se creeze elemente structurale în care modulul Young să fie $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ reprezentarea proprietăților materialului nu este constantă.

Condiția de echilibru menționată mai sus pentru cazul tijei omogene, în cazul de față, devine

E\cdot J(x)y''(x)=Ny(x)

{\ displaystyle E \ cdot J (x) y '' (x) = Ny (x)}

{\ displaystyle E \ cdot J (x) y '' (x) = Ny (x)}

Loc $J(x)=J_{0}\cdot h(x)$ ${\ displaystyle J (x) = J_ {0} \ cdot h (x)}$ ${\ displaystyle J (x) = J_ {0} \ cdot h (x)}$ , unde este $J_{0}=J(0)$ ${\ displaystyle J_ {0} = J (0)}$ ${\ displaystyle J_ {0} = J (0)}$ , soluțiile ecuației diferențiale de mai sus nu sunt întotdeauna ușor de calculat datorită termenului $J(x)$ ${\ displaystyle J (x)}$ $J (x)$ prezent în interiorul său. Doar câteva cazuri pot fi rezolvate prin soluții analitice în formă închisă care sunt de obicei reprezentate prin funcții trigonometrice elementare, prin funcții Bessel sau prin alte funcții speciale, cum ar fi funcțiile hipergeometrice ^[1] .

Cazuri reale

În raport cu elementele utilizate în ingineria civilă, neuniformitatea funcției care exprimă momentul de inerție de-a lungul axei principale a elementului poate fi reprezentată de următoarea funcție

h(x)=(1+ax)^{n}

{\ displaystyle h (x) = (1 + ax) ^ {n}}

{\ displaystyle h (x) = (1 + ax) ^ {n}}

unde parametrul $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ reprezintă magnitudinea variației momentului de inerție, în timp ce exponentul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ depinde de forma secțiunii. Tabelul de mai jos prezintă valorile parametrului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ în raport cu forma secțiunii tijei. Nu toate formele luate în considerare pot fi reprezentate de funcția descrisă mai sus, astfel încât se obține o formulare aproximativă a funcției care descrie variația secțiunii de-a lungul axei principale a elementului.

Forma secțiunii	Parametru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$	Formulare
Rectangular, bază variabilă, înălțime constantă	1	Exact
Dublu T, grosime de miez neglijabilă	2	Aproximativ ^[2]
T dublu	2.1 la 2.6	Aproximativ ^[2]
Tubular	3	Aproximativ
Rectangular, bază constantă, înălțime variabilă	3	Exact
Circular	4	Exact

Loc

k^{2}={\frac {N}{EJ_{0}a^{2}}}

{\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {N} {EJ_ {0} a ^ {2}}}}

{\ displaystyle k ^ {2} = {\ frac {N} {EJ_ {0} a ^ {2}}}}

soluția ecuației diferențiale care reglează problema descrisă este

y(x)={\sqrt {1+ax}}[AJ_{\alpha }(2\alpha k(1+ax)^{\frac {1}{2\alpha }})+BY_{\alpha }(2\alpha k(1+ax)^{\frac {1}{2\alpha }}]

{\ displaystyle y (x) = {\ sqrt {1 + ax}} [AJ _ {\ alpha} (2 \ alpha k (1 + ax) ^ {\ frac {1} {2 \ alpha}}) + BY_ {\ alpha} (2 \ alpha k (1 + ax) ^ {\ frac {1} {2 \ alpha}}]}

{\ displaystyle y (x) = {\ sqrt {1 + ax}} [AJ _ {\ alpha} (2 \ alpha k (1 + ax) ^ {\ frac {1} {2 \ alpha}}) + BY_ {\ alpha} (2 \ alpha k (1 + ax) ^ {\ frac {1} {2 \ alpha}}]}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ sunt constante de integrare, care necesită la fel de multe condiții la graniță, $J_{\alpha }$ ${\ displaystyle J _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle J _ {\ alpha}}$ Și $Y_{\alpha }$ ${\ displaystyle Y _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle Y _ {\ alpha}}$ corespund cu funcțiile Bessel primul și al doilea tip în timp ce $\alpha ={\frac {1}{2-n}}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {2-n}}}$ ${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {2-n}}}$ .

Cand $n=2$ ${\ displaystyle n = 2}$ $n = 2$ soluțiile ecuației diferențiale sunt

y(x)={\sqrt {1+ax}}[Asin({\frac {1}{2}}{\sqrt {|1-4k^{2}|}}\log(1+ax))+Bcos({\frac {1}{2}}{\sqrt {|1-4k^{2}|}}\log(1+ax)]

{\ displaystyle y (x) = {\ sqrt {1 + ax}} [Asin ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {| 1-4k ^ {2} |}} \ log (1+ ax)) + Bcos ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {| 1-4k ^ {2} |}} \ log (1 + ax)]}

{\ displaystyle y (x) = {\ sqrt {1 + ax}} [Asin ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {| 1-4k ^ {2} |}} \ log (1+ ax)) + Bcos ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {| 1-4k ^ {2} |}} \ log (1 + ax)]}

in timp ce $n=4$ ${\ displaystyle n = 4}$ $n = 4$ soluțiile ecuației diferențiale sunt

y(x)=(1+ax)[Asin({\frac {k}{1+ax}})+Bcos({\frac {k}{1+ax}})]

{\ displaystyle y (x) = (1 + ax) [Asin ({\ frac {k} {1 + ax}}) + Bcos ({\ frac {k} {1 + ax}})]}

{\ displaystyle y (x) = (1 + ax) [Asin ({\ frac {k} {1 + ax}}) + Bcos ({\ frac {k} {1 + ax}})]}

Notă

^ M. Fabiani și L. Mentrasti, Soluții exacte de flambare liniară a unei clase de coloane MGF cu secțiune transversală variabilă , în International Journal of Structural Stability and Dynamics , vol. 21, 6 (2021).
^ ^a ^b CM Fogel și RL Ketter, Rezistența elastică a coloanelor conice , în Journal of Structural Division , vol. 88, 5 (1962).

Elemente conexe

Portal de inginerie

Portal mecanic

[1] M. Fabiani și L. Mentrasti, Soluții exacte de flambare liniară a unei clase de coloane MGF cu secțiune transversală variabilă , în International Journal of Structural Stability and Dynamics , vol. 21, 6 (2021).

[:0-2] CM Fogel și RL Ketter, Rezistența elastică a coloanelor conice , în Journal of Structural Division , vol. 88, 5 (1962).

[1]

[2]