Ecuația hipergeometrică

În matematică , ecuația hipergeometrică este o ecuație diferențială ordinară liniară obținută din ecuația Papperitz-Riemann . Soluțiile sale se numesc funcții hipergeometrice și au o mare importanță în matematică. Orice ecuație diferențială ordinară de ordinul doi cu cel mult trei singularități regulate poate fi transformată în ecuația hipergeometrică.

Ecuația are forma:

z(1-z){\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\,u(z)+[c-(a+b+1)z]{\frac {d}{dz}}\,u(z)-ab\,u(z)=0

{\ displaystyle z (1-z) {\ frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} \, u (z) + [c- (a + b + 1) z] {\ frac { d} {dz}} \, u (z) -ab \, u (z) = 0}

{\ displaystyle z (1-z) {\ frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} \, u (z) + [c- (a + b + 1) z] {\ frac { d} {dz}} \, u (z) -ab \, u (z) = 0}

adică:

z(1-z)u''+[c-(a+b+1)z]u'-abu=0

{\ displaystyle z (1-z) u '' + [c- (a + b + 1) z] u'-abu = 0}

{\ displaystyle z (1-z) u '' + [c- (a + b + 1) z] u'-abu = 0}

cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ variabile complexe sau variabile formale; în general, merită luat în considerare $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ ca parametri constanți care caracterizează o familie de ecuații și soluții. Ecuația are singularități regulate, în 0,1 și $\infty$ ${\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ .

Soluții

Același subiect în detaliu: Seria hipergeometrică .

În general, această ecuație poate fi derivată cu ușurință din ecuația Papperitz-Riemann , dar este posibil să se arate că orice ecuație Fuchsiană cu trei puncte Fuchsian singular poate fi întotdeauna trasată înapoi la hipergeometrică. Dacă cineva reușește să stăpânească această recondiție, are avantajul de a cunoaște deja soluțiile celei din urmă și de a fi capabil să obțină cu ușurință soluțiile celei dintâi.

Este adesea folosit pentru a exprima soluția prin intermediul simbolului Riemann P :

u:=P{\begin{Bmatrix}0&1&\infty \\0&0&a&z\\1-c&c-a-b&b\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle u: = P {\ begin {Bmatrix} 0 & 1 & \ infty \\ 0 & 0 & a & z \\ 1-c & c-ab & b \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle u: = P {\ begin {Bmatrix} 0 & 1 & \ infty \\ 0 & 0 & a & z \\ 1-c & c-a-b & b \ end {Bmatrix}}}

Expresia explicită a unei prime soluții $\,u_{1}$ ${\ displaystyle \, u_ {1}}$ ${\ displaystyle \, u_ {1}}$ poate fi determinat exprimându-l ca o serie de puteri:

u_{1}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n}z^{n}

{\ displaystyle u_ {1} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {n} z ^ {n}}

{\ displaystyle u_ {1} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {n} z ^ {n}}

mutarea problemei la analiza coeficienților acestei serii sau la soluțiile unui sistem numărabil de ecuații algebrice în necunoscute $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ . Înlocuind și găsind o primă soluție pentru i $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ obținem o primă soluție de tipul:

u_{1}=F(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a)_{k}(b)_{k}}{(c)_{k}\,k!}}z^{k}

{\ displaystyle u_ {1} = F (a, b; c; z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {k} (b) _ {k} } {(c) _ {k} \, k!}} z ^ {k}}

{\ displaystyle u_ {1} = F (a, b; c; z) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {k} (b) _ {k} } {(c) _ {k} \, k!}} z ^ {k}}

cu $\left|z\right|<1$ ${\ displaystyle \ left | z \ right | <1}$ ${\ displaystyle \ left | z \ right | <1}$ Și $c\neq n,n=-1,-2,-3\dots$ ${\ displaystyle c \ neq n, n = -1, -2, -3 \ dots}$ ${\ displaystyle c \ neq n, n = -1, -2, -3 \ dots}$ ; aici am folosit factori crescători precum $\,(a)_{k}$ ${\ displaystyle \, (a) _ {k}}$ ${\ displaystyle \, (a) _ {k}}$ .

În mod similar, se poate obține a doua soluție $u_{2}$ ${\ displaystyle u_ {2}}$ $u_2$ , liniar independent de $u_{1}$ ${\ displaystyle u_ {1}}$ $u_1$ numai dacă exponenții (sau partea lor reală dacă sunt complexi) nu diferă prin numere întregi:

u_{2}=(1-z)^{c-1}F(a+1-c,b+1-c;2-c;z)=(1-z)^{c-1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(a+1-c)_{k}\,(b+1-c)_{k}}{(2-c)_{k}\,k!}}\,z^{k}

{\ displaystyle u_ {2} = (1-z) ^ {c-1} F (a + 1-c, b + 1-c; 2-c; z) = (1-z) ^ {c-1 } \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a + 1-c) _ {k} \, (b + 1-c) _ {k}} {(2-c) _ {k} \, k!}} \, z ^ {k}}

{\ displaystyle u_ {2} = (1-z) ^ {c-1} F (a + 1-c, b + 1-c; 2-c; z) = (1-z) ^ {c-1 } \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a + 1-c) _ {k} \, (b + 1-c) _ {k}} {(2-c) _ {k} \, k!}} \, z ^ {k}}

cu $\left|z\right|<1$ ${\ displaystyle \ left | z \ right | <1}$ ${\ displaystyle \ left | z \ right | <1}$ Și $1-c\neq n,n=0,-1,-2,-3\dots$ ${\ displaystyle 1-c \ neq n, n = 0, -1, -2, -3 \ dots}$ ${\ displaystyle 1-c \ neq n, n = 0, -1, -2, -3 \ dots}$ .

Dacă exponenții diferă prin numere întregi, avem o a doua soluție de tip logaritmic:

u_{2}=au_{1}(z)\log(z-z_{0})+(z-z_{0})^{\rho _{1}}\sum _{k=0}^{\infty }d_{k}(z-z_{0})^{k}

{\ displaystyle u_ {2} = au_ {1} (z) \ log (z-z_ {0}) + (z-z_ {0}) ^ {\ rho _ {1}} \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} d_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}

{\ displaystyle u_ {2} = au_ {1} (z) \ log (z-z_ {0}) + (z-z_ {0}) ^ {\ rho _ {1}} \ sum _ {k = 0 } ^ {\ infty} d_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k}}

Relațiile dintre soluțiile ecuațiilor hipergeometrice

Prin exploatarea proprietăților de transformare ale simbolului Riemann P, se pot obține cu ușurință relații între soluțiile ecuației hipergeometrice. Primul pe care îl vom analiza se numește relația de autotransformare :

F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{c-a-b}F(c-a,c-b;c;z)

{\ displaystyle F (a, b; c; z) \, = \, (1-z) ^ {cab} F (ca, cb; c; z)}

{\ displaystyle F (a, b; c; z) \, = \, (1-z) ^ {c-a-b} F (c-a, c-b; c; z)}

care este valabil și pentru $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ întreg pozitiv, din motive de continuitate. O altă relație este prima dintre formulele lui Bolza :

F(a,b;c;z)\,=\,(1-z)^{-a}F\left(a,c-1;c;{\frac {z}{1-z}}\right)

{\ displaystyle F (a, b; c; z) \, = \, (1-z) ^ {- a} F \ left (a, c-1; c; {\ frac {z} {1-z }} \ dreapta)}

{\ displaystyle F (a, b; c; z) \, = \, (1-z) ^ {- a} F \ left (a, c-1; c; {\ frac {z} {1-z }} \ dreapta)}

Derivata a N-a

Următoarea formulă se aplică derivatei a n- a unei funcții hipergeometrice:

{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}F(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c_{n})}}F(a+n,b+n;c+n;z)

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} F (a, b; c; z) = {\ frac {(a) _ {n} (b) _ {n} } {(c_ {n})}} F (a + n, b + n; c + n; z)}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {n}} {dz ^ {n}}} F (a, b; c; z) = {\ frac {(a) _ {n} (b) _ {n} } {(c_ {n})}} F (a + n, b + n; c + n; z)}

Integrale hipergeometrice

Rezolvarea integralei complexe (integral hipergeometric):

I(z)=\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt

{\ displaystyle I (z) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {a-1} (1-t) ^ {ca-1} (1-zt) ^ {- b} \, dt}

{\ displaystyle I (z) = \ int _ {0} ^ {1} t ^ {a-1} (1-t) ^ {c-a-1} (1-zt) ^ {- b} \, dt}

rezultatul se obține:

I(z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}F(a,b;c;z)

{\ displaystyle I (z) = {\ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (ca)} {\ Gamma (c)}} F (a, b; c; z)}

{\ displaystyle I (z) = {\ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (c-a)} {\ Gamma (c)}} F (a, b; c; z)}

unde este $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ denotă funcția gamma .

Acest rezultat ne permite să vedem că funcția hipergeometrică admite reprezentarea integrală (Euler):

F(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (a)\Gamma (c-a)}{\Gamma (c)}}\int _{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}\,dt

{\ displaystyle F (a, b; c; z) = {\ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (ca)} {\ Gamma (c)}} \ int _ {0} ^ {1} t ^ { a-1} (1-t) ^ {ca-1} (1-zt) ^ {- b} \, dt}

{\ displaystyle F (a, b; c; z) = {\ frac {\ Gamma (a) \ Gamma (ca)} {\ Gamma (c)}} \ int _ {0} ^ {1} t ^ { a-1} (1-t) ^ {ca-1} (1-zt) ^ {- b} \, dt}

Mai mult, folosind această ultimă relație, valoarea funcției hipergeometrice la punct este ușor de obținut $\,z=1$ ${\ displaystyle \, z = 1}$ ${\ displaystyle \, z = 1}$ :