Simbolul Riemann P.

În matematică , simbolul Riemann P a fost introdus pentru a reprezenta soluțiile ecuației Papperitz-Riemann într-un mod simplu și imediat, deoarece este foarte confortabil de manevrat, are proprietăți simple de transformare și permite reconstituirea soluției în forma sa explicită la orice timp. Acest simbol este utilizat pentru diverse formule referitoare la funcții speciale .

Definiție

Având în vedere o ecuație Papperitz-Riemann având $\xi _{1}$ ${\ displaystyle \ xi _ {1}}$ $\ xi_1$ , $\xi _{2}$ ${\ displaystyle \ xi _ {2}}$ ${\ displaystyle \ xi _ {2}}$ Și $\xi _{3}$ ${\ displaystyle \ xi _ {3}}$ ${\ displaystyle \ xi _ {3}}$ ca puncte fuchsiene , dacă $(\alpha _{1},\beta _{1})$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {1}, \ beta _ {1})}$ $(\ alpha_1, \ beta_1)$ , $(\alpha _{2},\beta _{2})$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {2}, \ beta _ {2})}$ $(\ alpha_2, \ beta_2)$ Și $(\alpha _{3},\beta _{3})$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {3}, \ beta _ {3})}$ $(\ alpha_3, \ beta_3)$ sunt exponenții respectivi ai soluțiilor, Riemann P corespunzător este dat de:

u=P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

Prin urmare, în simbol apar punctele singulare din prima linie și exponenții relativi ai soluției de sub ei; în a patra coloană apare variabila care este considerată independentă. Trebuie remarcat faptul că indică orice soluție a ecuației diferențiale date; echivalent ar putea fi interpretat ca ansamblul tuturor soluțiilor.

De exemplu, având în vedere ecuația lui Legendre :

(z^{2}-1){\frac {d^{2}u(z)}{dz^{2}}}+2z{\frac {du(z)}{dz}}-\lambda (\lambda +1)u(z)=0

{\ displaystyle (z ^ {2} -1) {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + 2z {\ frac {du (z)} {dz}} - \ lambda (\ lambda +1) u (z) = 0}

{\ displaystyle (z ^ {2} -1) {\ frac {d ^ {2} u (z)} {dz ^ {2}}} + 2z {\ frac {du (z)} {dz}} - \ lambda (\ lambda +1) u (z) = 0}

care se vede că are trei puncte Fuchsian în $z=-1,+1,\infty$ ${\ displaystyle z = -1, + 1, \ infty}$ ${\ displaystyle z = -1, + 1, \ infty}$ cu exponenți corespunzători $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ , $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ ${\ displaystyle (0,0)}$ Și $(-\lambda ,\lambda +1)$ ${\ displaystyle (- \ lambda, \ lambda +1)}$ ${\ displaystyle (- \ lambda, \ lambda +1)}$ , a spune ca $u(z)$ ${\ displaystyle u (z)}$ ${\ displaystyle u (z)}$ este o soluție pe care o puteți scrie:

u=P{\begin{Bmatrix}-1&+1&\infty \\0&0&-\lambda &z\\0&0&\lambda +1\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} -1 & + 1 & \ infty \\ 0 & 0 & - \ lambda & z \\ 0 & 0 & \ lambda +1 \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} -1 & + 1 & \ infty \\ 0 & 0 & - \ lambda & z \\ 0 & 0 & \ lambda +1 \ end {Bmatrix}}}

În această ecuație simbolul egalității ar putea fi înlocuit cu cel al apartenenței.

Exponenții respectă restricția:

\sum _{i=1}^{3}(\alpha _{i}+\beta _{i})=1

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {3} (\ alpha _ {i} + \ beta _ {i}) = 1}

\ sum_ {i = 1} ^ 3 (\ alpha_i + \ beta_i) = 1

astfel încât să ne asigurăm că ecuația are doar trei puncte singulare. Se poate vedea că unul dintre punctele Fuchsian este punctul la infinit; cu toate acestea, fiecare punct mapat la finit poate fi adus la infinit printr-o simplă transformare conformală și, invers, o ecuație cu un punct fuchsian la infinit poate fi transformată într-unul cu toate singularitățile la finit. Prin urmare, teoria ecuațiilor Papperitz-Riemann pentru punctele finite este valabilă și pentru ecuațiile cu un punct la infinit.

Proprietățile simbolului P.

Simbolul Riemann P are un anumit număr de proprietăți care se dovedesc a fi foarte utile pentru căutarea practică a soluțiilor unei ecuații Papperitz-Riemann. De exemplu, este imediat să observăm că este invariant prin permutarea primelor trei coloane, deoarece cele trei puncte singular considerate sunt toate de același tip. Deci, de exemplu:

u=P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}=P{\begin{Bmatrix}\xi _{2}&\xi _{1}&\xi _{3}\\\alpha _{2}&\alpha _{1}&\alpha _{3}&z\\\beta _{2}&\beta _{1}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {2} & \ xi _ {1} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {2} & \ alpha _ {1} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {2} & \ beta _ {1 } & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {2} & \ xi _ {1} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {2} & \ alpha _ {1} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {2} & \ beta _ {1 } & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

Mai mult, deoarece nu există o caracterizare specială a exponenților, exponenților $\alpha _{i},\beta _{i}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}, \ beta _ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}, \ beta _ {i}}$ acestea pot fi inversate și, prin urmare, puteți avea:

u=P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}=P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\beta _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\alpha _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ beta _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ alpha _ {1} & \ beta _ {2 } & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ beta _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ alpha _ {1} & \ beta _ {2 } & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

P de Riemann este, de asemenea, invariant sub multiplicarea unei constante, deoarece reprezintă o soluție generică a unei ecuații diferențiale care rămâne definită, cu excepția cazului în care o constantă arbitrară:

u=P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}=K^{a}P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = K ^ {a} P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle u = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = K ^ {a} P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

O altă proprietate larg utilizată este invarianța simbolului Riemann P pentru transformări omografice de tipul:

z'={\frac {az+b}{cz+d}}\qquad ad-bc\neq 0

{\ displaystyle z '= {\ frac {az + b} {cz + d}} \ qquad ad-bc \ neq 0}

{\ displaystyle z '= {\ frac {az + b} {cz + d}} \ qquad ad-bc \ neq 0}

De fapt, relația este valabilă:

P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}=P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}^{*}&\xi _{2}^{*}&\xi _{3}^{*}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z'\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}\qquad *

{\ displaystyle P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ { 3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} ^ {*} & \ xi _ {2} ^ {*} & \ xi _ {3} ^ {*} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z '\\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} \ qquad *}

{\ displaystyle P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ { 3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} ^ {*} & \ xi _ {2} ^ {*} & \ xi _ {3} ^ {*} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z '\\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} \ qquad *}

care are deci proprietatea de a transforma ecuația Papperitz-Riemann într-o ecuație similară în care pozițiile punctelor singular s-au schimbat în conformitate cu relația anterioară de mai sus, dar exponenții aferenți acestora rămân neschimbate.

În mod similar cu $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ , care vă permite să mutați punctele singular ale unei ecuații Papperitz-Riemann lăsând exponenții neschimbați (și, prin urmare, tendința soluției într-un vecinătate al punctelor), există o proprietate care vă permite să lăsați punctele singulare neschimbate, dar modificați-i exponenții și, prin urmare, progresul soluției în împrejurimile lor. Cea mai generală dintre aceste transformări poate fi scrisă sub forma:

P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}=(z-\xi _{1})^{\gamma _{1}}(z-\xi _{2})^{\gamma _{2}}(z-\xi _{3})^{\gamma _{3}}P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}-\gamma _{1}&\alpha _{2}-\gamma _{2}&\alpha _{3}-\gamma _{3}&z\\\beta _{1}-\gamma _{1}&\beta _{2}-\gamma _{2}&\beta _{3}-\gamma _{3}\end{Bmatrix}}\qquad **

{\ displaystyle P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ { 3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = (z- \ xi _ {1}) ^ {\ gamma _ {1 }} (z- \ xi _ {2}) ^ {\ gamma _ {2}} (z- \ xi _ {3}) ^ {\ gamma _ {3}} P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} - \ gamma _ {1} & \ alpha _ {2} - \ gamma _ {2} & \ alpha _ {3} - \ gamma _ {3} & z \\\ beta _ {1} - \ gamma _ {1} & \ beta _ {2} - \ gamma _ {2} & \ beta _ {3} - \ gamma _ {3} \ end {Bmatrix}} \ qquad **}

{\ displaystyle P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ { 3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = (z- \ xi _ {1}) ^ {\ gamma _ {1 }} (z- \ xi _ {2}) ^ {\ gamma _ {2}} (z- \ xi _ {3}) ^ {\ gamma _ {3}} P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} - \ gamma _ {1} & \ alpha _ {2} - \ gamma _ {2} & \ alpha _ {3} - \ gamma _ {3} & z \\\ beta _ {1} - \ gamma _ {1} & \ beta _ {2} - \ gamma _ {2} & \ beta _ {3} - \ gamma _ {3} \ end {Bmatrix}} \ qquad **}

cu $\gamma _{1}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1}}$ $\ gamma_1$ , $\gamma _{2}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {2}}$ Și $\gamma _{3}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {3}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {3}}$ constante arbitrare legate numai de relație $\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}=0$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} + \ gamma _ {3} = 0}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {1} + \ gamma _ {2} + \ gamma _ {3} = 0}$ , o condiție necesară pentru a menține valabilă relația dintre exponenți $\alpha _{i}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$ $\ alpha _ {i}$ Și $\beta _{i}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {i}}$ de mai sus.

Ca un caz special al $**$ ${\ displaystyle **}$ ${\ displaystyle **}$ avem:

P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}=\left({\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}\right)^{\gamma }P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}\\\alpha _{1}-\gamma &\alpha _{2}+\gamma &\alpha _{3}&z\\\beta _{1}-\gamma &\beta _{2}+\gamma &\beta _{3}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ { 3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = \ left ({\ frac {z- \ xi _ {1}} { z - \ xi _ {2}}} \ right) ^ {\ gamma} P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} - \ gamma & \ alpha _ {2} + \ gamma & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} - \ gamma & \ beta _ {2} + \ gamma & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ { 3} & z \\\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = \ left ({\ frac {z- \ xi _ {1}} { z - \ xi _ {2}}} \ right) ^ {\ gamma} P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} \\\ alpha _ {1} - \ gamma & \ alpha _ {2} + \ gamma & \ alpha _ {3} & z \\\ beta _ {1} - \ gamma & \ beta _ {2} + \ gamma & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}}}

și dacă de exemplu punctul $\xi _{3}$ ${\ displaystyle \ xi _ {3}}$ ${\ displaystyle \ xi _ {3}}$ este punctul la infinit, obținem că:

P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\infty \\\alpha _{1}&\alpha _{2}&\alpha _{3}&z\\\beta _{1}&\beta _{2}&\beta _{3}\end{Bmatrix}}=(z-\xi _{1})^{\gamma }P{\begin{Bmatrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\infty \\\alpha _{1}-\gamma &\alpha _{2}&\alpha _{3}+\gamma &z\\\beta _{1}-\gamma &\beta _{2}&\beta _{3}+\gamma \end{Bmatrix}}

{\ displaystyle P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ infty \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \ \\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = (z- \ xi _ {1}) ^ {\ gamma} P {\ begin {Bmatrix } \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ infty \\\ alpha _ {1} - \ gamma & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} + \ gamma & z \\\ beta _ {1} - \ gamma & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} + \ gamma \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle P {\ begin {Bmatrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ infty \\\ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} & z \ \\ beta _ {1} & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} \ end {Bmatrix}} = (z- \ xi _ {1}) ^ {\ gamma} P {\ begin {Bmatrix } \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ infty \\\ alpha _ {1} - \ gamma & \ alpha _ {2} & \ alpha _ {3} + \ gamma & z \\\ beta _ {1} - \ gamma & \ beta _ {2} & \ beta _ {3} + \ gamma \ end {Bmatrix}}}

atâta timp cât:

(z-\xi _{1})^{\gamma }\sim \left({\frac {1}{z}}\right)^{-\gamma }\qquad z\rightarrow \infty

{\ displaystyle (z- \ xi _ {1}) ^ {\ gamma} \ sim \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) ^ {- \ gamma} \ qquad z \ rightarrow \ infty}

{\ displaystyle (z- \ xi _ {1}) ^ {\ gamma} \ sim \ left ({\ frac {1} {z}} \ right) ^ {- \ gamma} \ qquad z \ rightarrow \ infty}

După cum sa menționat deja, proprietățile $*$ ${\ displaystyle *}$ $*$ Și $**$ ${\ displaystyle **}$ ${\ displaystyle **}$ acestea sunt deosebit de importante în soluția practică a ecuațiilor pe deplin Fuchsian cu trei puncte Fuchsian, deoarece permit să se fixeze întotdeauna singularitățile în cele mai convenabile puncte pentru rezolvare.

Bibliografie

( EN ) ET Whittaker; GN Watson, Un curs de analiză modernă , Cambridge University Press, 1915. pp. 200-202 și pp. 277-280
( EN ) M. Abramowitz; I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , US Governement Printing Office, 1964 p. 564
VI Smirnov, Curs de matematică superioară: al treilea volum: partea a doua , Roma: Editori Riuniti, 1999

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică