Ecuația lui Legendre

În matematică , ecuația Legendre , numită după Adrien-Marie Legendre , este ecuația diferențială liniară de ordinul doi

(1-x^{2})y''-2xy'+ky=0\qquad x\in (-1,1).

{\ displaystyle (1-x ^ {2}) y '' - 2xy '+ ky = 0 \ qquad x \ in (-1,1).}

{\ displaystyle (1-x ^ {2}) y '' - 2xy '+ ky = 0 \ qquad x \ in (-1,1).}

Aceasta este o problemă cu Sturm-Liouville $p(x)=1-x^{2}$ ${\ displaystyle p (x) = 1-x ^ {2}}$ ${\ displaystyle p (x) = 1-x ^ {2}}$ , $q(x)=0$ ${\ displaystyle q (x) = 0}$ ${\ displaystyle q (x) = 0}$ și coeficient egal cu 1. Poate fi scris și sub forma:

((1-x^{2})y')'+ky=0

{\ displaystyle ((1-x ^ {2}) y ')' + ky = 0}

{\ displaystyle ((1-x ^ {2}) y ')' + ky = 0}

Ecuația

În forma cea mai generală:

(1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})-\alpha ^{2})y=0

{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {2} y '' - 2x (1-x ^ {2}) y '+ ((l ^ {2} + l) (1-x ^ {2 }) - \ alpha ^ {2}) y = 0}

{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {2} y '' - 2x (1-x ^ {2}) y '+ ((l ^ {2} + l) (1-x ^ {2 }) - \ alpha ^ {2}) y = 0}

sau:

(1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})+\alpha ^{2})y=0

{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {2} y '' - 2x (1-x ^ {2}) y '+ ((l ^ {2} + l) (1-x ^ {2 }) + \ alpha ^ {2}) y = 0}

{\ displaystyle (1-x ^ {2}) ^ {2} y '' - 2x (1-x ^ {2}) y '+ ((l ^ {2} + l) (1-x ^ {2 }) + \ alpha ^ {2}) y = 0}

Soluțiile lor generale, numite armonici sferice , pot fi exprimate ca o combinație liniară :

y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)

{\ displaystyle y (x) = C_ {1} y_ {1} (x) + C_ {2} y_ {2} (x)}

y (x) = C_ {1} y_ {1} (x) + C_ {2} y_ {2} (x)

unde este $y_{1}(x)$ ${\ displaystyle y_ {1} (x)}$ $y_ {1} (x)$ Și $y_{2}(x)$ ${\ displaystyle y_ {2} (x)}$ ${\ displaystyle y_ {2} (x)}$ sunt soluții parțiale liniar independente , numite funcții sferice.

Ecuația lui Legendre este legată de ecuația lui Laplace în coordonate sferice :

{\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }^{2}}}+\cot(\theta ){\frac {\partial {Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }}}+{\frac {1}{\sin ^{2}{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\varphi }^{2}}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {Y (\ theta, \ varphi)}} {\ partial {\ theta} ^ {2}}} + \ cot (\ theta) {\ frac {\ partial {Y (\ theta, \ varphi)}} {\ partial {\ theta}}} + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} {\ theta}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {Y (\ theta, \ varphi)}} {\ partial {\ varphi} ^ {2}}} + l (l + 1) Y (\ theta, \ varphi) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} {Y (\ theta, \ varphi)}} {\ partial {\ theta} ^ {2}}} + \ cot (\ theta) {\ frac {\ partial {Y (\ theta, \ varphi)}} {\ partial {\ theta}}} + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} {\ theta}}} {\ frac {\ partial ^ {2} {Y (\ theta, \ varphi)}} {\ partial {\ varphi} ^ {2}}} + l (l + 1) Y (\ theta, \ varphi) = 0}

cu condiția limită :

Y(\theta ,\varphi +2\pi )=Y(\theta ,\varphi )

{\ displaystyle Y (\ theta, \ varphi +2 \ pi) = Y (\ theta, \ varphi)}

{\ displaystyle Y (\ theta, \ varphi +2 \ pi) = Y (\ theta, \ varphi)}

unde este $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ este un număr întreg pozitiv. Aceasta este o problemă fizică clasică cu simetrie sferică, tratată în coordonate polare $r,\theta ,\varphi$ ${\ displaystyle r, \ theta, \ varphi}$ ${\ displaystyle r, \ theta, \ varphi}$ , și este ușor de rezolvat prin metoda de separare a variabilelor . Adică, presupunând că soluția este o funcție dată de produsul a două funcții independente:

Y(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi )

{\ displaystyle Y (\ theta, \ phi) = \ Theta (\ theta) \ Phi (\ varphi)}

{\ displaystyle Y (\ theta, \ phi) = \ Theta (\ theta) \ Phi (\ varphi)}

prin urmare, substituind și înmulțind cu ${\frac {\sin ^{2}{\theta }}{\Theta \Phi }}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin ^ {2} {\ theta}} {\ Theta \ Phi}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ sin ^ {2} {\ theta}} {\ Theta \ Phi}}}$ primesti:

\sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )+{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}=0

{\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ theta} {\ frac {\ Theta ^ {''}} {\ Theta}} + \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) {\ frac {\ Theta ^ {'}} {\ Theta}} + l (l + 1) \ sin ^ {2} (\ theta) + {\ frac {\ Phi ^ {' '}} {\ Phi}} = 0}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ theta} {\ frac {\ Theta ^ {''}} {\ Theta}} + \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) {\ frac {\ Theta ^ {'}} {\ Theta}} + l (l + 1) \ sin ^ {2} (\ theta) + {\ frac {\ Phi ^ {' '}} {\ Phi}} = 0}

din care vedem că trebuie să fie:

\sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )=-{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}={\text{costante}}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ theta} {\ frac {\ Theta ^ {''}} {\ Theta}} + \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) {\ frac {\ Theta ^ {'}} {\ Theta}} + l (l + 1) \ sin ^ {2} (\ theta) = - {\ frac {\ Phi ^ {' '}} {\ Phi}} = {\ text { constant}}}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} {\ theta} {\ frac {\ Theta ^ {''}} {\ Theta}} + \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) {\ frac {\ Theta ^ {'}} {\ Theta}} + l (l + 1) \ sin ^ {2} (\ theta) = - {\ frac {\ Phi ^ {' '}} {\ Phi}} = {\ text { constant}}}

Amintindu-ne apoi de condiția de periodicitate, constanta de separare trebuie să fie egală cu $-\alpha ^{2}$ ${\ displaystyle - \ alpha ^ {2}}$ ${\ displaystyle - \ alpha ^ {2}}$ cu m întreg. Prin urmare, avem ca soluție a piesei din $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ :

\Phi (\varphi )=e^{\pm i\alpha \varphi }

{\ displaystyle \ Phi (\ varphi) = e ^ {\ pm i \ alpha \ varphi}}

{\ displaystyle \ Phi (\ varphi) = e ^ {\ pm i \ alpha \ varphi}}

în timp ce vedeți că în $\Theta (\theta )$ ${\ displaystyle \ Theta (\ theta)}$ ${\ displaystyle \ Theta (\ theta)}$ trebuie să satisfacă relația:

\sin ^{2}(\theta )\Theta ^{''}+\sin(\theta )\cos(\theta )\Theta ^{'}+{(l(l+1)\sin ^{2}(\theta )-\alpha ^{2})}\Theta =0

{\ displaystyle \ sin ^ {2} (\ theta) \ Theta ^ {''} + \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \ Theta ^ {'} + {(l (l + 1) \ sin ^ {2} (\ theta) - \ alpha ^ {2})} \ Theta = 0}

{\ displaystyle \ sin ^ {2} (\ theta) \ Theta ^ {''} + \ sin (\ theta) \ cos (\ theta) \ Theta ^ {'} + {(l (l + 1) \ sin ^ {2} (\ theta) - \ alpha ^ {2})} \ Theta = 0}

.

Pentru a rezolva aceasta din urmă, va fi convenabil să schimbați variabila și să o înlocuiți $\cos(\theta )=x$ ${\ displaystyle \ cos (\ theta) = x}$ ${\ displaystyle \ cos (\ theta) = x}$ și se găsește: