Ecuația Papperitz-Riemann

În matematică , ecuația Papperitz-Riemann sau ecuația Papperitz este o ecuație diferențială de ordinul doi care reprezintă ecuația mai generală complet Fuchsiană cu trei puncte Fuchsian (sau regulate). Multe dintre ecuațiile întâlnite în fizica matematică sunt ecuații de acest tip sau pot fi urmărite până la o ecuație hipergeometrică confluentă , iar majoritatea funcțiilor speciale sunt soluții ale acestor ecuații.

Ecuațiile cu unul sau două puncte Fuchsian sunt complet rezolvabile în ceea ce privește funcțiile elementare și sunt de puțin interes. Pe de altă parte, funcțiile cu patru puncte Fuchsian sunt rareori întâlnite și nu se cunoaște o teorie generală pentru rezolvarea lor. Funcțiile Papperitz-Riemann, pe de altă parte, au fost studiate extrem de amănunțit, iar soluțiile lor constituie vasta clasă de funcții hipergeometrice . Forma confluentă, studiată în mod egal în profunzime, dă naștere la clasa funcțiilor hipergeometrice confluente.

Ecuația Papperitz-Riemann are forma:

{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{z-a}}+{\frac {1-\beta -\beta '}{z-b}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{z-c}}\right]{\frac {dw}{dz}}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ left [{\ frac {1- \ alpha - \ alpha '} {za}} + {\ frac {1- \ beta - \ beta '} {zb}} + {\ frac {1- \ gamma - \ gamma'} {zc}} \ right] {\ frac {dw} {dz}}}

\ frac {d ^ 2w} {dz ^ 2} + \ left [\ frac {1- \ alpha- \ alpha '} {za} + \ frac {1- \ beta- \ beta'} {zb} + \ frac {1- \ gamma- \ gamma '} {zc} \ right] \ frac {dw} {dz}

+\left[{\frac {\alpha \alpha '(a-b)(a-c)}{z-a}}+{\frac {\beta \beta '(b-c)(b-a)}{z-b}}+{\frac {\gamma \gamma '(c-a)(c-b)}{z-c}}\right]{\frac {w}{(z-a)(z-b)(z-c)}}=0

{\ displaystyle + \ left [{\ frac {\ alpha \ alpha '(ab) (ac)} {za}} + {\ frac {\ beta \ beta' (bc) (ba)} {zb}} + { \ frac {\ gamma \ gamma '(ca) (cb)} {zc}} \ right] {\ frac {w} {(za) (zb) (zc)}} = 0}

+ \ left [\ frac {\ alpha \ alpha '(ab) (ac)} {za} + \ frac {\ beta \ beta' (bc) (ba)} {zb} + \ frac {\ gamma \ gamma ' (ca) (cb)} {zc} \ right] \ frac {w} {(za) (zb) (zc)} = 0

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ sunt singularități regulate și:

\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1

{\ displaystyle \ alpha + \ alpha '+ \ beta + \ beta' + \ gamma + \ gamma '= 1}

\ alpha + \ alpha '+ \ beta + \ beta' + \ gamma + \ gamma '= 1

cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\alpha '$ ${\ displaystyle \ alpha '}$ $\ alfa '$ exponenții caracteristici ai soluțiilor în corespondență cu $z=a$ ${\ displaystyle z = a}$ $z = a$ , unde există două ramuri:

w_{1}(z)=(z-a)^{\alpha }\phi _{1}(z)\qquad w_{2}(z)=(z-a)^{\alpha '}\phi _{2}(z)

{\ displaystyle w_ {1} (z) = (za) ^ {\ alpha} \ phi _ {1} (z) \ qquad w_ {2} (z) = (za) ^ {\ alpha '} \ phi _ {2} (z)}

w_1 (z) = (z-a) ^ \ alpha \ phi_1 (z) \ qquad w_2 (z) = (z-a) ^ {\ alpha '} \ phi_2 (z)

cu $\phi _{1,2}(z)$ ${\ displaystyle \ phi _ {1,2} (z)}$ $\ phi_ {1,2} (z)$ o funcție holomorfă în $z=a$ ${\ displaystyle z = a}$ $z = a$ . În mod similar se întâmplă pentru $z=b$ ${\ displaystyle z = b}$ $z = b$ Și $z=c$ ${\ displaystyle z = c}$ $z = c$ .

A spune ca $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ este o soluție a ecuației Papperitz-Riemann, este obișnuit să se introducă simbolul Riemann P scriind:

w(z)=P\left\{{\begin{matrix}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}

{\ displaystyle w (z) = P \ left \ {{\ begin {matrix} a & b & c & \; \\\ alpha & \ beta & \ gamma & z \\\ alpha '& \ beta' & \ gamma '& \; \ end {matrix}} \ right \}}

w (z) = P \ left \ {\ begin {matrix} a & b & c & \; \\ \ alpha & \ beta & \ gamma & z \\ \ alpha '& \ beta' & \ gamma '& \; \ end {matrix} \ right \}

Cu acest formalism, funcția hipergeometrică ia forma:

\;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-a-b&\;\end{matrix}}\right\}

{\ displaystyle \; _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = P \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & \ infty & 1 & \; \\ 0 & a & 0 & z \\ 1-c & b & c-ab & \; \ end {matrix}} \ right \}}

\; _ 2F_1 (a, b; c; z) = P \ left \ {\ begin {matrix} 0 & \ infty & 1 & \; \\ 0 & a & 0 & z \\ 1-c & b & c-a-b & \; \ end {matrix} \ right \}

Ecuația

Având în vedere ecuația diferențială de ordinul doi mai generală cu exact trei puncte regulate, să fie $\xi _{1}$ ${\ displaystyle \ xi _ {1}}$ $\ xi_1$ , $\xi _{2}$ ${\ displaystyle \ xi _ {2}}$ $\ xi_2$ Și $\xi _{3}$ ${\ displaystyle \ xi _ {3}}$ $\ xi_3$ cele trei puncte fuchsiene și sunt $(\alpha _{1},\beta _{1})$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {1}, \ beta _ {1})}$ $(\ alpha_1, \ beta_1)$ , $(\alpha _{2},\beta _{2})$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {2}, \ beta _ {2})}$ $(\ alpha_2, \ beta_2)$ Și $(\alpha _{3},\beta _{3})$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {3}, \ beta _ {3})}$ $(\ alpha_3, \ beta_3)$ exponenții respectivi ai soluțiilor (determinați de rădăcinile ecuației indexului relativ). Scrierea ecuației în formă standard:

{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+p(z){\frac {du}{dz}}+q(z)u=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {dz ^ {2}}} + p (z) {\ frac {du} {dz}} + q (z) u = 0}

\ frac {d ^ 2 u} {dz ^ 2} + p (z) \ frac {du} {dz} + q (z) u = 0

coeficienții $p(z)$ ${\ displaystyle p (z)}$ $p (z)$ Și $q(z)$ ${\ displaystyle q (z)}$ $q (z)$ au forma:

p(z)={\frac {P(z)}{(z-\xi _{1})(z-\xi _{2})(z-\xi _{3})}}

{\ displaystyle p (z) = {\ frac {P (z)} {(z- \ xi _ {1}) (z- \ xi _ {2}) (z- \ xi _ {3})}} }

p (z) = \ frac {P (z)} {(z- \ xi_1) (z- \ xi_2) (z- \ xi_3)}

q(z)={\frac {Q(z)}{(z-\xi _{1})^{2}(z-\xi _{2})^{2}(z-\xi _{3})^{2}}}

{\ displaystyle q (z) = {\ frac {Q (z)} {(z- \ xi _ {1}) ^ {2} (z- \ xi _ {2}) ^ {2} (z- \ xi _ {3}) ^ {2}}}}

q (z) = \ frac {Q (z)} {(z- \ xi_1) ^ 2 (z- \ xi_2) ^ 2 (z- \ xi_3) ^ 2}

cu $P(z)$ ${\ displaystyle P (z)}$ $P (z)$ Și $Q(z)$ ${\ displaystyle Q (z)}$ $Q (z)$ funcții întregi . Trebuie remarcat faptul că, din moment ce punctul la infinit trebuie, prin ipoteză, să fie obișnuit, $P(z)$ ${\ displaystyle P (z)}$ $P (z)$ Și $Q(z)$ ${\ displaystyle Q (z)}$ $Q (z)$ sunt neapărat polinoame de gradul II care pot fi scrise sub forma:

P(z)=A_{1}(z-\xi _{2})(z-\xi _{3})+A_{2}(z-\xi _{3})(z-\xi _{1})+A_{3}(z-\xi _{1})(z-\xi _{2})

{\ displaystyle P (z) = A_ {1} (z- \ xi _ {2}) (z- \ xi _ {3}) + A_ {2} (z- \ xi _ {3}) (z- \ xi _ {1}) + A_ {3} (z- \ xi _ {1}) (z- \ xi _ {2})}

P (z) = A_1 (z- \ xi_2) (z- \ xi_3) + A_2 (z- \ xi_3) (z- \ xi_1) + A_3 (z- \ xi_1) (z- \ xi_2)

Q(z)=B_{1}(z-\xi _{2})(z-\xi _{3})+B_{2}(z-\xi _{3})(z-\xi _{1})+B_{3}(z-\xi _{1})(z-\xi _{2})

{\ displaystyle Q (z) = B_ {1} (z- \ xi _ {2}) (z- \ xi _ {3}) + B_ {2} (z- \ xi _ {3}) (z- \ xi _ {1}) + B_ {3} (z- \ xi _ {1}) (z- \ xi _ {2})}

Q (z) = B_1 (z- \ xi_2) (z- \ xi_3) + B_2 (z- \ xi_3) (z- \ xi_1) + B_3 (z- \ xi_1) (z- \ xi_2)

cu condiția ca. $A_{1}+A_{2}+A_{3}=2$ ${\ displaystyle A_ {1} + A_ {2} + A_ {3} = 2}$ $A_1 + A_2 + A_3 = 2$ . Forma coeficienților devine:

p(z)={\frac {A_{1}}{z-\xi _{1}}}+{\frac {A_{2}}{z-\xi _{2}}}+{\frac {A_{3}}{z-\xi _{3}}}

{\ displaystyle p (z) = {\ frac {A_ {1}} {z- \ xi _ {1}}} + {\ frac {A_ {2}} {z- \ xi _ {2}}} + {\ frac {A_ {3}} {z- \ xi _ {3}}}}

p (z) = \ frac {A_1} {z- \ xi_1} + \ frac {A_2} {z- \ xi_2} + \ frac {A_3} {z- \ xi_3}

q(z)={\frac {1}{(z-\xi _{1})(z-\xi _{2})(z-\xi _{3})}}\left\{{\frac {B_{1}}{(z-\xi _{1})}}+{\frac {B_{2}}{(z-\xi _{2})}}+{\frac {B_{3}}{(z-\xi _{3})}}\right\}

{\ displaystyle q (z) = {\ frac {1} {(z- \ xi _ {1}) (z- \ xi _ {2}) (z- \ xi _ {3})}} \ left \ {{\ frac {B_ {1}} {(z- \ xi _ {1})}} + {\ frac {B_ {2}} {(z- \ xi _ {2})}} + {\ frac {B_ {3}} {(z- \ xi _ {3})}} \ right \}}

q (z) = \ frac {1} {(z- \ xi_1) (z- \ xi_2) (z- \ xi_3)} \ left \ {\ frac {B_1} {(z- \ xi_1)} + \ frac {B_2} {(z- \ xi_2)} + \ frac {B_3} {(z- \ xi_3)} \ right \}

și puteți scrie apoi ecuația pentru punct $\xi _{i}$ ${\ displaystyle \ xi _ {i}}$ $\ xi_i$ , cu $i=1,2,3$ ${\ displaystyle i = 1,2,3}$ $i = 1,2,3$ , iar exponenții soluției pot fi obținuți $(\alpha _{i},\beta _{i})$ ${\ displaystyle (\ alpha _ {i}, \ beta _ {i})}$ $(\ alpha_i, \ beta_i)$ . Avem:

\left\{{\begin{matrix}A_{i}=1-\alpha _{i}-\beta _{i}\\B_{i}=\alpha _{i}\beta _{i}(\xi _{i}-\xi _{k})(\xi _{i}-\xi _{l})\end{matrix}}\right.\qquad i,k,l=1,2,3\quad i\neq k\neq l

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} A_ {i} = 1- \ alpha _ {i} - \ beta _ {i} \\ B_ {i} = \ alpha _ {i} \ beta _ { i} (\ xi _ {i} - \ xi _ {k}) (\ xi _ {i} - \ xi _ {l}) \ end {matrix}} \ right. \ qquad i, k, l = 1 , 2,3 \ quad i \ neq k \ neq l}

\ left \ {\ begin {matrix} A_i = 1- \ alpha_i- \ beta_i \\ B_i = \ alpha_i \ beta_i (\ xi_i - \ xi_k) (\ xi_i - \ xi_l) \ end {matrix} \ right. \ qquad i, k, l = 1,2,3 \ quad i \ n și k \ n și l

De asemenea, starea $A_{1}+A_{2}+A_{3}=2$ ${\ displaystyle A_ {1} + A_ {2} + A_ {3} = 2}$ $A_1 + A_2 + A_3 = 2$ impune o restricție asupra alegerii exponenților posibili, și anume:

\sum _{i=1}^{3}(\alpha _{i}+\beta _{i})=1

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {3} (\ alpha _ {i} + \ beta _ {i}) = 1}

\ sum_ {i = 1} ^ 3 (\ alpha_i + \ beta_i) = 1

Ecuația în formă standard ia forma:

{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+\left\{\sum _{i=1}^{3}{\frac {1-\alpha _{i}-\beta _{i}}{(z-\xi _{i})}}\right\}{\frac {du}{dz}}-{\frac {(\xi _{1}-\xi _{2})(\xi _{2}-\xi _{3})(\xi _{3}-\xi _{1})}{(z-\xi _{1})(z-\xi _{2})(z-\xi _{3})}}\left\{{\frac {\alpha _{1}\beta _{1}}{(z-\xi _{1})(\xi _{2}-\xi _{3})}}+{\frac {\alpha _{2}\beta _{2}}{(z-\xi _{2})(\xi _{3}-\xi _{1})}}+{\frac {\alpha _{3}\beta _{3}}{(z-\xi _{3})(\xi _{1}-\xi _{2})}}\right\}u=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} u} {dz ^ {2}}} + \ left \ {\ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {1- \ alpha _ {i } - \ beta _ {i}} {(z- \ xi _ {i})}} \ right \} {\ frac {du} {dz}} - {\ frac {(\ xi _ {1} - \ xi _ {2}) (\ xi _ {2} - \ xi _ {3}) (\ xi _ {3} - \ xi _ {1})} {(z- \ xi _ {1}) (z - \ xi _ {2}) (z- \ xi _ {3})}} \ left \ {{\ frac {\ alpha _ {1} \ beta _ {1}} {(z- \ xi _ {1 }) (\ xi _ {2} - \ xi _ {3})}} + {\ frac {\ alpha _ {2} \ beta _ {2}} {(z- \ xi _ {2}) (\ xi _ {3} - \ xi _ {1})}} + {\ frac {\ alpha _ {3} \ beta _ {3}} {(z- \ xi _ {3}) (\ xi _ {1 } - \ xi _ {2})}} \ right \} u = 0}

\ frac {d ^ 2u} {dz ^ 2} + \ left \ {\ sum_ {i = 1} ^ 3 \ frac {1- \ alpha_i- \ beta_i} {(z- \ xi_i)} \ right \} \ frac {du} {dz} - \ frac {(\ xi_1- \ xi_2) (\ xi_2- \ xi_3) (\ xi_3- \ xi_1)} {(z- \ xi_1) (z- \ xi_2) (z- \ xi_3)} \ left \ {\ frac {\ alpha_1 \ beta_1} {(z- \ xi_1) (\ xi_2- \ xi_3)} + \ frac {\ alpha_2 \ beta_2} {(z- \ xi_2) (\ xi_3- \ xi_1)} + \ frac {\ alpha_3 \ beta_3} {(z- \ xi_3) (\ xi_1- \ xi_2)} \ right \} u = 0

care este forma ecuației Papperitz-Riemann.

Soluții

Soluțiile pot fi scrise prin funcția hipergeometrică :

u(z)=\left({\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-\xi _{3}}{z-\xi _{2}}}\right)^{\gamma }\;_{2}F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(z-\xi _{1})(\xi _{3}-\xi _{2})}{(z-\xi _{2})(\xi _{3}-\xi _{1})}}\right)

{\ displaystyle u (z) = \ left ({\ frac {z- \ xi _ {1}} {z- \ xi _ {2}}} \ right) ^ {\ alpha} \ left ({\ frac { z- \ xi _ {3}} {z- \ xi _ {2}}} \ right) ^ {\ gamma} \; _ {2} F_ {1} \ left (\ alpha + \ beta + \ gamma, \ alpha + \ beta '+ \ gamma; 1+ \ alpha - \ alpha'; {\ frac {(z- \ xi _ {1}) (\ xi _ {3} - \ xi _ {2})} { (z- \ xi _ {2}) (\ xi _ {3} - \ xi _ {1})}} \ right)}

u (z) = \ left (\ frac {z- \ xi_1} {z- \ xi_2} \ right) ^ \ alpha \ left (\ frac {z- \ xi_3} {z- \ xi_2} \ right) ^ \ gamma \; _ 2F_1 \ left (\ alpha + \ beta + \ gamma, \ alpha + \ beta '+ \ gamma; 1+ \ alpha- \ alpha'; \ frac {(z- \ xi_1) (\ xi_3- \ xi_2)} {(z- \ xi_2) (\ xi_3- \ xi_1)} \ right)

deoarece relația generală are:

P\left\{{\begin{matrix}\xi _{1}&\xi _{2}&\xi _{3}&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matrix}}\right\}=\left({\frac {z-\xi _{1}}{z-\xi _{2}}}\right)^{\alpha }\left({\frac {z-\xi _{3}}{z-\xi _{2}}}\right)^{\gamma }P\left\{{\begin{matrix}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(z-\xi _{1})(c-\xi _{2})}{(z-\xi _{2})(\xi _{3}-\xi _{1})}}\\\alpha '-\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matrix}}\right\}

{\ displaystyle P \ left \ {{\ begin {matrix} \ xi _ {1} & \ xi _ {2} & \ xi _ {3} & \; \\\ alpha & \ beta & \ gamma & z \ \ \ alpha '& \ beta' & \ gamma '& \; \ end {matrix}} \ right \} = \ left ({\ frac {z- \ xi _ {1}} {z- \ xi _ {2 }}} \ right) ^ {\ alpha} \ left ({\ frac {z- \ xi _ {3}} {z- \ xi _ {2}}} \ right) ^ {\ gamma} P \ left \ {{\ begin {matrix} 0 & \ infty & 1 & \; \\ 0 & \ alpha + \ beta + \ gamma & 0 & \; {\ frac {(z- \ xi _ {1}) (c- \ xi _ {2})} {(z- \ xi _ {2}) (\ xi _ {3} - \ xi _ {1})}} \\\ alpha '- \ alpha & \ alpha + \ beta '+ \ gamma & \ gamma' - \ gamma & \; \ end {matrix}} \ right \}}

P \ left \ {\ begin {matrix} \ xi_1 & \ xi_2 & \ xi_3 & \; \\ \ alpha & \ beta & \ gamma & z \\ \ alpha '& \ beta' & \ gamma '& \; \ end {matrix} \ right \} = \ left (\ frac {z- \ xi_1} {z- \ xi_2} \ right) ^ \ alpha \ left (\ frac {z- \ xi_3} {z- \ xi_2} \ right) ^ \ gamma P \ left \ {\ begin {matrix} 0 & \ infty & 1 & \; \\ 0 & \ alpha + \ beta + \ gamma & 0 & \; \ frac {(z- \ xi_1) (c- \ xi_2)} {(z- \ xi_2) (\ xi_3- \ xi_1)} \\ \ alpha '- \ alpha & \ alpha + \ beta' + \ gamma & \ gamma '- \ gamma & \; \ end {matrix} \ right \}

Bibliografie

Francesco Tricomi (1953) Ecuații diferențiale , ed. II, Einaudi, paragraful 46
( EN ) Barnes, EW "O nouă dezvoltare în teoria funcțiilor hipergeometrice." Proc. London Math. Soc. 6, 141-177, 1908.
( EN ) Morse, PM și Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics , Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 541-543, 1953.
( EN ) Zwillinger, D. (Ed.). Tabelele și formulele matematice standard CRC . Boca Raton, FL: CRC Press, 1995.
( EN ) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, ediția a III-a . Boston, MA: Academic Press, p. 126, 1997.
( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun, eds. (1972): Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice . New York: Dover, pp. 564-565, 1972.
- Capitolul 15 Funcții hipergeometrice
- Secțiunea 15.6 Ecuația diferențială a lui Riemann

Elemente conexe

linkuri externe

Sapere.it - ipergeomètrico , pe Sapere.it .
( EN ) MV Fedoryuk, ecuația Papperitz , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Weisstein Eric W., Riemann P-Differential Equation , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică