Ecuația hipergeometrică confluentă

În matematică , ecuația hipergeometrică confluentă sau ecuația Kummer , de Ernst Kummer , este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi obținută pornind de la ecuația Papperitz-Riemann prin reunirea a două singularități într-un singur punct; este strâns legată de ecuația hipergeometrică și de soluțiile sale, funcțiile hipergeometrice . Fiecare dintre soluțiile ecuației hipergeometrice confluente este numită în mod similar o funcție hipergeometrică confluentă .

În special, sunt identificate două soluții independente, oferite de serii hipergeometrice: prima este notată cu $M(a,b,z)$ ${\ displaystyle M (a, b, z)}$ $M (a, b, z)$ și se numește funcția hipergeometrică a lui Kummer , în timp ce a doua este notată cu $U(a,b,z)$ ${\ displaystyle U (a, b, z)}$ $U (a, b, z)$ și numită funcție Whittaker , referindu-se la Edmund Taylor Whittaker , sau funcția hipergeometrică confluentă a trichomilor (de la Francesco Tricomi ) sau funcția hipergeometrică a Gordon-trichomilor . Rețineți că prin funcție Kummer ne referim la o funcție specială care nu este conectată la cele anterioare.

Ecuația

Ecuația hipergeometrică confluentă are forma:

z{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\,w(z)+(b-z){\frac {d}{dz}}\,w(z)-a\,w(z)=0

{\ displaystyle z {\ frac {d ^ {2}} {dz ^ {2}}} \, w (z) + (bz) {\ frac {d} {dz}} \, w (z) -a \, w (z) = 0}

z \ frac {d ^ 2} {dz ^ 2} \, w (z) + (b-z) \ frac {d} {dz} \, w (z) - a \, w (z) = 0

unde este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ Și $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ sunt variabile complexe (sau variabile formale); în general $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ sunt considerați parametri care caracterizează o familie de ecuații (și funcții ale $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ soluțiile lor).

Funcția hipergeometrică Kummer este dată de seria hipergeometrică generalizată :

M(a,b,z)=1+{\frac {a}{b}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\dots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}\,z^{n}}{(b)_{n}\,n!}}={}_{1}F_{1}(a;b;z)

{\ displaystyle M (a, b, z) = 1 + {\ frac {a} {b}} z + {\ frac {a (a + 1)} {b (b + 1)}} {\ frac { z ^ {2}} {2!}} + \ Dots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n} \, z ^ {n}} {(b ) _ {n} \, n!}} = {} _ {1} F_ {1} (a; b; z)}

M (a, b, z) = 1 + \ frac {a} {b} z + \ frac {a (a + 1)} {b (b + 1)} \ frac {z ^ 2} {2!} + \ dots = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {(a) _n \, z ^ n} {(b) _n \, n!} = {} _1F_1 (a; b; z)

unde este:

a^{(0)}=1,

{\ displaystyle a ^ {(0)} = 1,}

a ^ {(0)} = 1,

a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1)

{\ displaystyle a ^ {(n)} = a (a + 1) (a + 2) \ cdots (a + n-1)}

a ^ {(n)} = a (a + 1) (a + 2) \ cdots (a + n-1)

este factorialul în creștere . Funcțiile Bessel , funcția gamma incompletă , polinoamele Hermite și polinoamele Laguerre sunt cazuri speciale ale funcției hipergeometrice Kummer.

Funcția Whittaker (funcția hipergeometrică confluentă a trichomilor) este dată de:

U(a,b,z)={\frac {\pi }{\sin \pi b}}\left[{\frac {M(a,b,z)}{\Gamma (1+a-b)\Gamma (b)}}-z^{1-b}{\frac {M(1+a-b,2-b,z)}{\Gamma (a)\Gamma (2-b)}}\right]

{\ displaystyle U (a, b, z) = {\ frac {\ pi} {\ sin \ pi b}} \ left [{\ frac {M (a, b, z)} {\ Gamma (1 + ab ) \ Gamma (b)}} - z ^ {1-b} {\ frac {M (1 + ab, 2-b, z)} {\ Gamma (a) \ Gamma (2-b)}} \ right ]}

U (a, b, z) = \ frac {\ pi} {\ sin \ pi b} \ left [\ frac {M (a, b, z)} {\ Gamma (1 + ab) \ Gamma (b) } - z ^ {1-b} \ frac {M (1 + ab, 2-b, z)} {\ Gamma (a) \ Gamma (2-b)} \ right]

Există o notație alternativă pentru $U(a,b,z)=z^{-a}{}_{2}F_{0}(a,1+a-b;;-1/z)$ ${\ displaystyle U (a, b, z) = z ^ {- a} {} _ {2} F_ {0} (a, 1 + ab ;; - 1 / z)}$ $U (a, b, z) = z ^ {- a} {} _2F_0 (a, 1 + a-b ;; - 1 / z)$ (vezi textul lui Abramowitz și Stegun).

Cazuri speciale

Există multe funcții speciale care pot fi exprimate ca un caz special al funcției hipergeometrice confluente:

Unele funcții elementare , cum ar fi:

M(0,b,z)=1\qquad U(0,c,z)=1\qquad M(b,b,z)=\exp(z)\qquad U(a,a+1,z)=z^{-a}

{\ displaystyle M (0, b, z) = 1 \ qquad U (0, c, z) = 1 \ qquad M (b, b, z) = \ exp (z) \ qquad U (a, a + 1 , z) = z ^ {- a}}

M (0, b, z) = 1 \ qquad U (0, c, z) = 1 \ qquad M (b, b, z) = \ exp (z) \ qquad U (a, a + 1, z) = z ^ {- a}

Si deasemenea:

U(a,a,z)=\exp(z)\int _{z}^{\infty }u^{-a}\exp(-u)du

{\ displaystyle U (a, a, z) = \ exp (z) \ int _ {z} ^ {\ infty} u ^ {- a} \ exp (-u) du}

U (a, a, z) = \ exp (z) \ int_z ^ \ infty u ^ {- a} \ exp (-u) du

care este un polinom pentru

la

{\ displaystyle a}

la

număr întreg non-pozitiv sau:

{\frac {U(1,b,z)}{\Gamma (b-1)}}+{\frac {M(1,b,z)}{\Gamma (b)}}=z^{1-b}\exp(z)

{\ displaystyle {\ frac {U (1, b, z)} {\ Gamma (b-1)}} + {\ frac {M (1, b, z)} {\ Gamma (b)}} = z ^ {1-b} \ exp (z)}

\ frac {U (1, b, z)} {\ Gamma (b-1)} + \ frac {M (1, b, z)} {\ Gamma (b)} = z ^ {1-b} \ exp (z)

in timp ce

U(-n,-2n,z)

{\ displaystyle U (-n, -2n, z)}

U (-n, -2n, z)

este un polinom Bessel pentru

n

{\ displaystyle n}

n

întreg și

M(n,b,z)

{\ displaystyle M (n, b, z)}

M (n, b, z)

este polinomul Laguerre generalizat pentru

n

{\ displaystyle n}

n

întreg non-pozitiv.

Funcția Bateman
Funcțiile Bessel și alte funcții conexe, cum ar fi funcțiile Airy , funcțiile Kelvin și funcțiile Hankel .
Funcția de eroare poate fi scrisă ca:

\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}dt={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}\,_{1}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}},-x^{2}\right)

{\ displaystyle \ mathrm {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} dt = { \ frac {2x} {\ sqrt {\ pi}}} \, _ {1} F_ {1} \ left ({\ frac {1} {2}}, {\ frac {3} {2}}, - x ^ {2} \ dreapta)}

\ mathrm {erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} dt = \ frac {2x} {\ sqrt {\ pi}} \, _1F_1 \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {3} {2}, - x ^ 2 \ right)

Funcția integrală exponențială , sinusul integral și logaritmul integral .
Hermite polinoame și polinoame Laguerre
Funcția gamma incompletă
Funcția parabolică a cilindrului
Funcțiile lui Whittaker $M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)$ ${\ displaystyle M _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right)}$ $M _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right)$ Și $W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)$ ${\ displaystyle W _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right)}$ $W _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right)$ sunt soluții ale ecuației omonime, care poate fi scrisă prin funcțiile Kummer $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ Și $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ ca:

M_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}M\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)

{\ displaystyle M _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right) = \ exp \ left (-z / 2 \ right) z ^ {\ mu + {\ tfrac {1} {2}}} M \ left (\ mu - \ kappa + {\ frac {1} {2}}, 1 + 2 \ mu; z \ right)}

M _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right) = \ exp \ left (-z / 2 \ right) z ^ {\ mu + \ tfrac {1} {2}} M \ left (\ mu - \ kappa + \ frac {1} {2}, 1 + 2 \ mu; z \ right)

W_{\kappa ,\mu }\left(z\right)=\exp \left(-z/2\right)z^{\mu +{\tfrac {1}{2}}}U\left(\mu -\kappa +{\frac {1}{2}},1+2\mu ;z\right)

{\ displaystyle W _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right) = \ exp \ left (-z / 2 \ right) z ^ {\ mu + {\ tfrac {1} {2}}} U \ left (\ mu - \ kappa + {\ frac {1} {2}}, 1 + 2 \ mu; z \ right)}

W _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right) = \ exp \ left (-z / 2 \ right) z ^ {\ mu + \ tfrac {1} {2}} U \ left (\ mu - \ kappa + \ frac {1} {2}, 1 + 2 \ mu; z \ right)

Reprezentări integrale

De sine $\Re (b)>\Re (a)>0$ ${\ displaystyle \ Re (b)> \ Re (a)> 0}$ $\ Re (b)> \ Re (a)> 0$ , asa de $M(a,b,z)$ ${\ displaystyle M (a, b, z)}$ $M (a, b, z)$ poate fi reprezentat ca o integrală:

M(a,b,z)={\frac {\Gamma (b)}{\Gamma (a)\Gamma (b-a)}}\int _{0}^{1}e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du

{\ displaystyle M (a, b, z) = {\ frac {\ Gamma (b)} {\ Gamma (a) \ Gamma (ba)}} \ int _ {0} ^ {1} e ^ {zu} u ^ {a-1} (1-u) ^ {ba-1} \, du}

M (a, b, z) = \ frac {\ Gamma (b)} {\ Gamma (a) \ Gamma (ba)} \ int_0 ^ 1 e ^ {zu} u ^ {a-1} (1-u ) ^ {ba-1} \, du

unde este $M(a,a+b,it)$ ${\ displaystyle M (a, a + b, it)}$ $M (a, a + b, it)$ este trăsătura caracteristică a distribuției beta . Pentru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ cu partea reală pozitivă, $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ poate fi obținut din transformata Laplace :

U(a,b,z)={\frac {1}{\Gamma (a)}}\int _{0}^{\infty }e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt\qquad \Re (a)>0)

{\ displaystyle U (a, b, z) = {\ frac {1} {\ Gamma (a)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- zt} t ^ {a-1} (1 + t) ^ {ba-1} \, dt \ qquad \ Re (a)> 0)}

U (a, b, z) = \ frac {1} {\ Gamma (a)} \ int_0 ^ \ infty e ^ {- zt} t ^ {a-1} (1 + t) ^ {ba-1} \, dt \ qquad \ Re (a)> 0)

Integrala definește o soluție pe partea dreaptă a semiplanului $\Re (z)>0$ ${\ displaystyle \ Re (z)> 0}$ $\ Re (z)> 0$ .

Polinoame Laguerre

Funcția Kummer poate fi exprimată în diferite moduri ca o expansiune în polinoamele Laguerre , de exemplu:

M\left(a,b,{\frac {xy}{x-1}}\right)=(1-x)^{a}\cdot \sum _{n}{\frac {a^{(n)}}{b^{(n)}}}L_{n}^{(b-1)}(y)x^{n}

{\ displaystyle M \ left (a, b, {\ frac {xy} {x-1}} \ right) = (1-x) ^ {a} \ cdot \ sum _ {n} {\ frac {a ^ {(n)}} {b ^ {(n)}}} L_ {n} ^ {(b-1)} (y) x ^ {n}}

M \ left (a, b, \ frac {xy} {x-1} \ right) = (1-x) ^ a \ cdot \ sum_n \ frac {a ^ {(n)}} {b ^ {(n )}} L_n ^ {(b-1)} (y) x ^ n

Teorema multiplicării

Următoarele teoreme de multiplicare sunt valabile :

{\begin{aligned}U(a,b,z)&=e^{(1-t)z}\sum _{i=0}{\frac {(t-1)^{i}z^{i}}{i!}}U(a,b+i,zt)=\\&=e^{(1-t)z}t^{b-1}\sum _{i=0}{\frac {\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{i}}{i!}}U(a-i,b-i,zt)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} U (a, b, z) & = e ^ {(1-t) z} \ sum _ {i = 0} {\ frac {(t-1) ^ {i} z ^ {i}} {i!}} U (a, b + i, zt) = \\ & = e ^ {(1-t) z} t ^ {b-1} \ sum _ {i = 0 } {\ frac {\ left (1 - {\ frac {1} {t}} \ right) ^ {i}} {i!}} U (ai, bi, zt) \ end {align}}}

\ begin {align} U (a, b, z) & = e ^ {(1-t) z} \ sum_ {i = 0} \ frac {(t-1) ^ iz ^ i} {i!} U (a, b + i, zt) = \\ & = e ^ {(1-t) z} t ^ {b-1} \ sum_ {i = 0} \ frac {\ left (1- \ frac 1 t \ right) ^ i} {i!} U (ai, bi, zt) \ end {align}

Bibliografie

( EN ) Arthur Erdélyi, Whilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger, Francesco Tricomi (1953) Funcții transcendentale superioare Vol. I, Editura Krieger, Reprint Mc Graw-Hill (1981), Capitolul VI.
( EN ) Proprietățile AD MacDonald ale funcției hipergeometrice confluente (Raport tehnic RLE, MIT, 1948)
( FR ) Francesco Tricomi (1960) Fonctions hypergéométriques confluentes Mémorial des sciences mathématiques, n ° 140, Gauthiers-Villars, Paris.
( EN ) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Manual of Mathematical Functions , Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 , capitolul 13 .
( EN ) Arfken, G. "Funcții hipergeometrice confluente". §13.6 în Metode matematice pentru fizicieni, ed . A III-a . Orlando, FL: Academic Press, pp. 753-758, 1985.
( EN ) Morse, PM și Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics , Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 551-555, 1953.
( EN ) Slater, Funcții hipergeometrice confluente LJ. Cambridge, Anglia: Cambridge University Press, 1960.
( EN ) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations , ediția a III-a. Boston, MA: Academic Press, pp. 123-124, 1997.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) EA Chistova , Funcția hipergeometrică confluentă , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) N.Kh. Rozov, Ecuația hipergeometrică confluentă , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Ecuația diferențială hipergeometrică confluentă în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Funcția hipergeometrică confluentă de primul fel în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Funcția hipergeometrică confluentă de al doilea gen în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Funcția hipergeometrică Kummer pe site-ul Wolfram Functions
( EN ) Funcția hipergeometrică tricomi pe site-ul Wolfram Functions

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică