Funcția Whittaker

În matematică , o funcție Whittaker , numită după matematicianul englez Edmund Taylor Whittaker , este o soluție a ecuației Whittaker , o variantă a ecuației hipergeometrice confluente care are forma:

{\frac {d^{2}W}{dz^{2}}}+\left(-{\frac {1}{4}}+{\frac {\kappa }{z}}+{\frac {{\frac {1}{4}}-m^{2}}{z^{2}}}\right)W=0

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} W} {dz ^ {2}}} + \ left (- {\ frac {1} {4}} + {\ frac {\ kappa} {z}} + {\ frac {{\ frac {1} {4}} - m ^ {2}} {z ^ {2}}} \ right) W = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} W} {dz ^ {2}}} + \ left (- {\ frac {1} {4}} + {\ frac {\ kappa} {z}} + {\ frac {{\ frac {1} {4}} - m ^ {2}} {z ^ {2}}} \ right) W = 0}

unde este $\kappa$ ${\ displaystyle \ kappa}$ $\ kappa$ Și $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ luați valori în $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ .

Este o ecuație diferențială liniară de ordinul doi și este o formă redusă a ecuației hipergeometrice degenerate. Mai general, Hervé Jacquet a introdus funcțiile Whittaker pentru grupurile reductive pe câmpuri locale în anii 1960: funcțiile studiate de Whittaker sunt practic cazul în care câmpul local este cel al numerelor reale și grupul este $SL_{2}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {R})}$ .

Două soluții sunt date de funcții speciale $M_{\kappa ,m}$ ${\ displaystyle M _ {\ kappa, m}}$ ${\ displaystyle M _ {\ kappa, m}}$ Și $W_{\kappa ,m}$ ${\ displaystyle W _ {\ kappa, m}}$ ${\ displaystyle W _ {\ kappa, m}}$ introdus de Whittaker în 1904 și a spus că funcțiile Whittaker . Functia $M_{\kappa ,m}$ ${\ displaystyle M _ {\ kappa, m}}$ ${\ displaystyle M _ {\ kappa, m}}$ poate fi exprimat cu funcția hipergeometrică confluentă Kummer:

M_{\kappa ,m}(z)=e^{-z/2}z^{m+1/2}M(1/2+m-\kappa ,1+2m,z)

{\ displaystyle M _ {\ kappa, m} (z) = e ^ {- z / 2} z ^ {m + 1/2} M (1/2 + m- \ kappa, 1 + 2m, z)}

{\ displaystyle M _ {\ kappa, m} (z) = e ^ {- z / 2} z ^ {m + 1/2} M (1/2 + m- \ kappa, 1 + 2m, z)}

Functia $W_{\kappa ,m}$ ${\ displaystyle W _ {\ kappa, m}}$ ${\ displaystyle W _ {\ kappa, m}}$ în schimb, poate fi exprimat prin intermediul funcției hipergeometrice confluente a trichomilor:

W_{\kappa ,m}(z)=e^{-z/2}z^{m+1/2}U(1/2+m-\kappa ,1+2m,z)

{\ displaystyle W _ {\ kappa, m} (z) = e ^ {- z / 2} z ^ {m + 1/2} U (1/2 + m- \ kappa, 1 + 2m, z)}

{\ displaystyle W _ {\ kappa, m} (z) = e ^ {- z / 2} z ^ {m + 1/2} U (1/2 + m- \ kappa, 1 + 2m, z)}

Whittaker a primit formule pentru a exprima funcții speciale, cum ar fi funcțiile Bessel , funcțiile cilindrului parabolic sau funcția gamma incompletă cu funcții $M_{\kappa ,m}$ ${\ displaystyle M _ {\ kappa, m}}$ ${\ displaystyle M _ {\ kappa, m}}$ Și $W_{\kappa ,m}$ ${\ displaystyle W _ {\ kappa, m}}$ ${\ displaystyle W _ {\ kappa, m}}$ .

Bibliografie

( EN ) ET Whittaker, O expresie a anumitor funcții cunoscute ca funcții hipergeometrice generalizate , Bull. Amer. Matematica. Soc. 10 , 125-134 (1903).
( EN ) ET Whittaker; GN Watson, Un curs de analiză modernă: o introducere în teoria generală a proceselor infinite și a funcțiilor analitice; cu o relatare a principalelor funcții transcendentale , Cambridge University Press, 1915.
( RO ) HA Lauwerier, Funcții hipergeometrice confluente ^{[ link rupt ]} , Centre voor Wiskunde en Informatica, 1949
( EN ) M. Abramowitz; I. Stegun, Manual de funcții matematice (Dover, New York, 1972)[1]

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) N.Kh. Rozov, ecuația Whittaker , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Whittaker Differential Equation în MathWorld Wolfram Research.
(EN) Eric W. Weisstein, Funcția Whittaker , în MathWorld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică