Transformarea canonică

În mecanica rațională , transformările canonice sunt acele transformări ale variabilelor generalizate utilizate pentru a descrie un sistem prin ecuațiile lui Hamilton , care mențin forma ecuațiilor lui Hamilton.

Problema este de a găsi o anumită transformare canonică (un difeomorfism ) astfel încât ecuațiile lui Hamilton să asume o formă simplă pentru soluționarea lor.

Transformări canonice independente de timp

Analitic, transformările canonice (independente de timp), în general, pot fi reprezentate sub forma vechilor coordonate generalizate $q_{i},p_{i}$ ${\ displaystyle q_ {i}, p_ {i}}$ ${\ displaystyle q_ {i}, p_ {i}}$ :

(1)

\qquad {\begin{cases}Q_{i}=Q_{i}(q,p),\\P_{i}=P_{i}(q,p).\end{cases}}

{\ displaystyle \ qquad {\ begin {cases} Q_ {i} = Q_ {i} (q, p), \\ P_ {i} = P_ {i} (q, p). \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ qquad {\ begin {cases} Q_ {i} = Q_ {i} (q, p), \\ P_ {i} = P_ {i} (q, p). \ end {cases}}}

Pentru a fi canonice, aceste ecuații trebuie să mențină forma „hamiltoniană”:

(2a)

\qquad {\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial K}{\partial P_{i}}},

{\ displaystyle \ qquad {\ dot {Q}} _ {i} = {\ frac {\ partial K} {\ partial P_ {i}}},}

{\ displaystyle \ qquad {\ dot {Q}} _ {i} = {\ frac {\ partial K} {\ partial P_ {i}}},}

(2b)

\qquad {\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial K}{\partial Q_{i}}},

{\ displaystyle \ qquad {\ dot {P}} _ {i} = - {\ frac {\ partial K} {\ partial Q_ {i}}},}

{\ displaystyle \ qquad {\ dot {P}} _ {i} = - {\ frac {\ partial K} {\ partial Q_ {i}}},}

unde K este noul hamiltonian . Trebuie remarcat faptul că, în general, toate transformările de acest tip se numesc canonice. De fapt, unii autori (și în articolul în cauză) subliniază că transformările (1) sunt „complet” canonice, astfel încât ecuațiile să mențină o formă hamiltoniană (2) și astfel încât noul hamiltonian să poată fi exprimat ca:

(3)

\qquad K(Q,P)=H(q(Q,P),p(Q,P)).

{\ displaystyle \ qquad K (Q, P) = H (q (Q, P), p (Q, P)).}

{\ displaystyle \ qquad K (Q, P) = H (q (Q, P), p (Q, P)).}

Dovada formei de transformare hamiltoniene

Dovada că aceste noi coordonate satisfac o formă hamiltoniană rezultă din principiul Hamilton extins scris sub forma noilor coordonate:

\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum _{i}P_{i}\cdot {\dot {Q}}_{i}-K(Q,P,t)\right)\mathrm {d} t=0.

{\ displaystyle \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left (\ sum _ {i} P_ {i} \ cdot {\ dot {Q}} _ {i} -K ( Q, P, t) \ right) \ mathrm {d} t = 0.}

{\ displaystyle \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left (\ sum _ {i} P_ {i} \ cdot {\ dot {Q}} _ {i} -K ( Q, P, t) \ right) \ mathrm {d} t = 0.}

Dar este, de asemenea, adevărat că vechile coordonate îndeplineau același principiu:

\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left(\sum _{i}p_{i}\cdot {\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)\right)\mathrm {d} t=0,

{\ displaystyle \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left (\ sum _ {i} p_ {i} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} -H ( q, p, t) \ right) \ mathrm {d} t = 0,}

{\ displaystyle \ delta \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} \ left (\ sum _ {i} p_ {i} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} -H ( q, p, t) \ right) \ mathrm {d} t = 0,}

deci prin echivalare obținem că integranzii sunt egali cu mai puțin decât o constantă, adică:

\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} t=G(t_{2})-G(t_{1}).

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} G} {\ mathrm {d} t}} \ mathrm {d} t = G (t_ { 2}) - G (t_ {1}).}

{\ displaystyle \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} {\ frac {\ mathrm {d} G} {\ mathrm {d} t}} \ mathrm {d} t = G (t_ { 2}) - G (t_ {1}).}

Functia $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ se numește funcția generatoare a transformării, deoarece, prin cunoașterea ei, întreaga transformare este, de asemenea, total determinată. Utilitatea reală a transformărilor canonice este că, având în vedere un sistem fizic, numărul coordonatelor ciclice depinde de tipul de coordonate generalizate alese pentru a reprezenta sistemul. Deși dorim să alegem orice coordonate generalizate, cu o transformare canonică adecvată, le putem transforma pentru a obține coordonate generalizate care sunt toate ciclice.

Condiții de canonicitate

O transformare de tip (1) este canonică dacă și numai dacă una dintre aceste condiții deține:

1) păstrează parantezele fundamentale Poisson ;

2) matricea iacobiană a transformării este o matrice simplectică ;

3) păstrează parantezele Lagrange;

4) verificați starea Lie .

Paranteze și transformări canonice ale lui Poisson

Având în vedere transformarea (1), este canonică dacă și numai dacă parantezele Poisson fundamentale sunt verificate:

(5a)

[q_{i}(Q,P),q_{k}(Q,P)]=[p_{i}(Q,P),p_{k}(Q,P)]=0,

{\ displaystyle [q_ {i} (Q, P), q_ {k} (Q, P)] = [p_ {i} (Q, P), p_ {k} (Q, P)] = 0,}

{\ displaystyle [q_ {i} (Q, P), q_ {k} (Q, P)] = [p_ {i} (Q, P), p_ {k} (Q, P)] = 0,}

(5b)

[q_{i}(Q,P),p_{k}(Q,P)]=\delta _{ik},

{\ displaystyle [q_ {i} (Q, P), p_ {k} (Q, P)] = \ delta _ {ik},}

{\ displaystyle [q_ {i} (Q, P), p_ {k} (Q, P)] = \ delta _ {ik},}

unde este $\delta _{ik}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ik}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ik}}$ este delta Kronecker .

Matrici simplice și transformări canonice

Același subiect în detaliu: geometrie simplectică .

O transformare de tip (1) este canonică dacă și numai dacă matricea sa iacobiană $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este simplectic, adică:

F^{T}JF=J.

{\ displaystyle F ^ {T} JF = J.}

{\ displaystyle F ^ {T} JF = J.}

Mulțimea matricilor simplectice formează un grup numit grup simplectic

Prin matricea iacobiană a transformării înțelegem matricea $2n\times 2n$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ $2n \ times 2n$ :

F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial q_{1}}{\partial Q_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial q_{1}}{\partial Q_{n}}}&{\frac {\partial q_{1}}{\partial P_{1}}}&\dots &{\frac {\partial q_{1}}{\partial P_{n}}}\\\vdots &\dots &\vdots &\vdots &\dots &\vdots \\{\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial q_{n}}{\partial Q_{n}}}&{\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{1}}}&\dots &{\frac {\partial q_{n}}{\partial P_{n}}}\\{\frac {\partial p_{1}}{\partial Q_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial p_{1}}{\partial Q_{n}}}&{\frac {\partial p_{1}}{\partial P_{1}}}&\dots &{\frac {\partial p_{1}}{\partial P_{n}}}\\\vdots &\dots &\vdots &\vdots &\dots &\vdots \\{\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial p_{n}}{\partial Q_{n}}}&{\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{1}}}&\dots &{\frac {\partial p_{n}}{\partial P_{n}}}\end{bmatrix}}

{\ displaystyle F = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial Q_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial Q_ {n}}} & {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial P_ {1}}} & \ dots & {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial P_ {n}}} \\\ vdots & \ dots & \ vdots & \ vdots & \ dots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial q_ {n}} {\ partial Q_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial q_ {n}} {\ partial Q_ {n}}} și {\ frac {\ partial q_ {n}} {\ partial P_ {1}}} & \ dots & {\ frac {\ partial q_ {n} } {\ partial P_ {n}}} \\ {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial Q_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial Q_ {n}}} și {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial P_ {1}}} & \ dots & {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial P_ {n}} } \\\ vdots & \ dots & \ vdots & \ vdots & \ dots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial p_ {n}} {\ partial Q_ {1}}} & \ cdots & {\ frac { \ partial p_ {n}} {\ partial Q_ {n}}} și {\ frac {\ partial p_ {n}} {\ partial P_ {1}}} & \ dots & {\ frac {\ partial p_ {n }} {\ partial P_ {n}}} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle F = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial Q_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial Q_ {n}}} & {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial P_ {1}}} & \ dots & {\ frac {\ partial q_ {1}} {\ partial P_ {n}}} \\\ vdots & \ dots & \ vdots & \ vdots & \ dots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial q_ {n}} {\ partial Q_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial q_ {n}} {\ partial Q_ {n}}} și {\ frac {\ partial q_ {n}} {\ partial P_ {1}}} & \ dots & {\ frac {\ partial q_ {n} } {\ partial P_ {n}}} \\ {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial Q_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial Q_ {n}}} și {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial P_ {1}}} & \ dots & {\ frac {\ partial p_ {1}} {\ partial P_ {n}} } \\\ vdots & \ dots & \ vdots & \ vdots & \ dots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial p_ {n}} {\ partial Q_ {1}}} & \ cdots & {\ frac { \ partial p_ {n}} {\ partial Q_ {n}}} și {\ frac {\ partial p_ {n}} {\ partial P_ {1}}} & \ dots & {\ frac {\ partial p_ {n }} {\ partial P_ {n}}} \ end {bmatrix}}}

asa de $F^{T}$ ${\ displaystyle F ^ {T}}$ ${\ displaystyle F ^ {T}}$ este matricea sa transpusă e $J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este matricea antisimetrică $2n\times 2n$ ${\ displaystyle 2n \ times 2n}$ $2n \ times 2n$ :

J={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &\mathbf {I} \\-\mathbf {I} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} & \ mathbf {I} \\ - \ mathbf {I} & \ mathbf {0} \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle J = {\ begin {bmatrix} \ mathbf {0} & \ mathbf {I} \\ - \ mathbf {I} & \ mathbf {0} \ end {bmatrix}}}

unde este $\mathbf {I} _{n\times n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {n \ times n}}$ comun. Matricea $\mathbf {J} _{2n\times 2n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {2n \ times 2n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {2n \ times 2n}}$ este astfel încât $\mathbf {J} _{n\times n}^{2}=\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {n \ times n} ^ {2} = \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {n \ times n} ^ {2} = \ mathbf {J}}$ prin urmare $\mathbf {J} _{n\times n}^{-1}=-\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {n \ times n} ^ {- 1} = - \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} _ {n \ times n} ^ {- 1} = - \ mathbf {J}}$ adică reprezintă analogul unei matrice ortogonale în geometrie simplectică.

Paranteză Lagrange și transformări canonice

O transformare de tip (1) este canonică dacă și numai dacă parantezele Lagrange sunt adevărate:

\{Q_{i},Q_{k}\}=\{P_{i},P_{k}\}=0,

{\ displaystyle \ {Q_ {i}, Q_ {k} \} = \ {P_ {i}, P_ {k} \} = 0,}

{\ displaystyle \ {Q_ {i}, Q_ {k} \} = \ {P_ {i}, P_ {k} \} = 0,}

\{Q_{i},P_{k}\}=\delta _{ik},

{\ displaystyle \ {Q_ {i}, P_ {k} \} = \ delta _ {ik},}

{\ displaystyle \ {Q_ {i}, P_ {k} \} = \ delta _ {ik},}

unde este $\delta _{ik}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ik}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {ik}}$ este încă delta Kronecker .

Starea minciunii

O transformare de tip (1) este canonică dacă și numai dacă următoarea formă diferențială este închisă (locală exactă):

\sum _{i=1}^{n}\left(P_{i}\mathrm {d} Q_{i}-p_{i}\mathrm {d} q_{i}\right).

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (P_ {i} \ mathrm {d} Q_ {i} -p_ {i} \ mathrm {d} q_ {i} \ right).}

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (P_ {i} \ mathrm {d} Q_ {i} -p_ {i} \ mathrm {d} q_ {i} \ right).}

Transformări canonice dependente de timp

Aceleași considerații se aplică dacă transformarea este dependentă de timp: de fapt, în mecanica hamiltoniană timpul poate fi considerat o variabilă suplimentară și, ca atare, trebuie introduse alte ecuații și în Hamiltonian.

Același subiect în detaliu: mecanica hamiltoniană .

În acest caz, problema transformării canonice este pusă în același mod, cu excepția că (3) devine:

K(Q,P,t)=H(q,p,t)-S(q(Q,P,t),p(Q,P,t)).

{\ displaystyle K (Q, P, t) = H (q, p, t) -S (q (Q, P, t), p (Q, P, t)).}

{\ displaystyle K (Q, P, t) = H (q, p, t) -S (q (Q, P, t), p (Q, P, t)).}

Cele patru forme canonice

În practică, transformările canonice sunt de patru tipuri, datorită dependenței funcției generatoare de acestea:

$G_{1}(q,Q,t)$ ${\ displaystyle G_ {1} (q, Q, t)}$ ${\ displaystyle G_ {1} (q, Q, t)}$
$G_{2}(q,P,t)$ ${\ displaystyle G_ {2} (q, P, t)}$ ${\ displaystyle G_ {2} (q, P, t)}$
$G_{3}(Q,p,t)$ ${\ displaystyle G_ {3} (Q, p, t)}$ ${\ displaystyle G_ {3} (Q, p, t)}$
$G_{4}(P,p,t)$ ${\ displaystyle G_ {4} (P, p, t)}$ ${\ displaystyle G_ {4} (P, p, t)}$

iar alegerea depinde de problemă. Să luăm cazul 1) și să vedem să derivăm forma canonică și noul hamiltonian. Din principiile Hamilton extinse, relația care leagă cele două sisteme de coordonate este:

\sum _{i}p_{i}\cdot {\dot {q}}_{i}-H(q,p,t)=\sum _{i}P_{i}\cdot {\dot {Q}}_{i}-K(q,p,t)+{\frac {\mathrm {d} G_{1}(q,Q,t)}{\mathrm {d} t}}.

{\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} -H (q, p, t) = \ sum _ {i} P_ {i} \ cdot {\ punct {Q}} _ {i} -K (q, p, t) + {\ frac {\ mathrm {d} G_ {1} (q, Q, t)} {\ mathrm {d} t}}. }

{\ displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} \ cdot {\ dot {q}} _ {i} -H (q, p, t) = \ sum _ {i} P_ {i} \ cdot {\ punct {Q}} _ {i} -K (q, p, t) + {\ frac {\ mathrm {d} G_ {1} (q, Q, t)} {\ mathrm {d} t}}. }

Acum să dezvoltăm derivata totală a funcției generatoare în raport cu timpul:

{\frac {\mathrm {d} G_{1}}{\mathrm {d} t}}=\sum _{i}{\frac {\partial G_{1}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+\sum _{i}{\frac {\partial G_{1}}{\partial Q_{i}}}{\dot {Q}}_{i}+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}.

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} G_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial q_ {i }}} {\ dot {q}} _ {i} + \ sum _ {i} {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial Q_ {i}}} {\ dot {Q}} _ { i} + {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial t}}.}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} G_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = \ sum _ {i} {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial q_ {i }}} {\ dot {q}} _ {i} + \ sum _ {i} {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial Q_ {i}}} {\ dot {Q}} _ { i} + {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial t}}.}

În cele din urmă avem:

p_{i}={\frac {\partial G_{1}}{\partial q_{i}}},

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial q_ {i}}},}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial q_ {i}}},}

P_{i}=-{\frac {\partial G_{1}}{\partial Q_{i}}},

{\ displaystyle P_ {i} = - {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial Q_ {i}}},}

{\ displaystyle P_ {i} = - {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial Q_ {i}}},}

cu noul hamiltonian: $K=H+{\frac {\partial G_{1}}{\partial t}}.$ ${\ displaystyle K = H + {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial t}}.}$ ${\ displaystyle K = H + {\ frac {\ partial G_ {1}} {\ partial t}}.}$

În cazul 2) avem:

p_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial q_{i}}},

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial G_ {2}} {\ partial q_ {i}}},}

{\ displaystyle p_ {i} = {\ frac {\ partial G_ {2}} {\ partial q_ {i}}},}

Q_{i}={\frac {\partial G_{2}}{\partial P_{i}}},

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ partial G_ {2}} {\ partial P_ {i}}},}

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ partial G_ {2}} {\ partial P_ {i}}},}

cu noul hamiltonian: $K=H+{\frac {\partial G_{2}}{\partial t}}.$ ${\ displaystyle K = H + {\ frac {\ partial G_ {2}} {\ partial t}}.}$ ${\ displaystyle K = H + {\ frac {\ partial G_ {2}} {\ partial t}}.}$

În cazul 3) avem:

q_{i}=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial p_{i}}},

{\ displaystyle q_ {i} = - {\ frac {\ partial G_ {3}} {\ partial p_ {i}}},}

{\ displaystyle q_ {i} = - {\ frac {\ partial G_ {3}} {\ partial p_ {i}}},}

P_{i}=-{\frac {\partial G_{3}}{\partial Q_{i}}},

{\ displaystyle P_ {i} = - {\ frac {\ partial G_ {3}} {\ partial Q_ {i}}},}

{\ displaystyle P_ {i} = - {\ frac {\ partial G_ {3}} {\ partial Q_ {i}}},}

cu noul hamiltonian: $K=H+{\frac {\partial G_{3}}{\partial t}}.$ ${\ displaystyle K = H + {\ frac {\ partial G_ {3}} {\ partial t}}.}$ ${\ displaystyle K = H + {\ frac {\ partial G_ {3}} {\ partial t}}.}$

În cazul 4) avem:

q_{i}=-{\frac {\partial G_{4}}{\partial p_{i}}},

{\ displaystyle q_ {i} = - {\ frac {\ partial G_ {4}} {\ partial p_ {i}}},}

{\ displaystyle q_ {i} = - {\ frac {\ partial G_ {4}} {\ partial p_ {i}}},}

Q_{i}={\frac {\partial G_{4}}{\partial P_{i}}},

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ partial G_ {4}} {\ partial P_ {i}}},}

{\ displaystyle Q_ {i} = {\ frac {\ partial G_ {4}} {\ partial P_ {i}}},}

cu noul hamiltonian: $K=H+{\frac {\partial G_{4}}{\partial t}}.$ ${\ displaystyle K = H + {\ frac {\ partial G_ {4}} {\ partial t}}.}$ ${\ displaystyle K = H + {\ frac {\ partial G_ {4}} {\ partial t}}.}$

Transformări punctuale

Definiție: o anumită transformare canonică se numește transformare punctuală astfel încât:

Q_{i}=Q_{i}(q_{j})

{\ displaystyle Q_ {i} = Q_ {i} (q_ {j})}

{\ displaystyle Q_ {i} = Q_ {i} (q_ {j})}

(adică depinde doar de

q_{j}

{\ displaystyle q_ {j}}

q_ {j}

),

P_{i}=\sum _{k=1}^{n}{\dfrac {\partial q_{k}}{\partial Q_{i}}}p_{k}.

{\ displaystyle P_ {i} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ dfrac {\ partial q_ {k}} {\ partial Q_ {i}}} p_ {k}.}

{\ displaystyle P_ {i} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ dfrac {\ partial q_ {k}} {\ partial Q_ {i}}} p_ {k}.}

O transformare punctuală admite întotdeauna o funcție generatoare de al doilea fel

G_{2}(q_{i},P_{i})=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}(q_{1},\dots ,q_{n})P_{i}.

{\ displaystyle G_ {2} (q_ {i}, P_ {i}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} Q_ {i} (q_ {1}, \ dots, q_ {n}) P_ {the}.}

{\ displaystyle G_ {2} (q_ {i}, P_ {i}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} Q_ {i} (q_ {1}, \ dots, q_ {n}) P_ {the}.}

Bibliografie

H. Goldstein, Mecanica clasică , Addison Wesley, 2002, ISBN 0-201-65702-3 .
W. Hamilton, Despre o metodă generală de exprimare a căilor luminii și a planetelor, prin coeficienții unei funcții caracteristice , în Dublin University Review , 1833, pp. 795-826.
W. Hamilton, Despre aplicarea la dinamica unei metode matematice generale aplicate anterior opticii , în British Association Report , 1834, pp. 513-518.
A. Fetter și J. Walecka, Theoretical Mechanics of Particles and Continua , Dover Books, 2003, ISBN 0-486-43261-0 .
LD Landau și EM Lifshitz, Mecanică , ediția a III-a, Pergamon Press, 1976, ISBN 0-08-021022-8 .
JJ Sakurai,Mecanica cuantică modernă , Editura Benjamin / Cummings, 1985, ISBN 0-8053-7501-5 .

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică