Ipoteza ergodică

În mecanica statistică , ipoteza ergodică afirmă că, după un timp suficient de lung, timpul petrecut de o particulă într-un volum în spațiul de fază al microstatelor de aceeași energie este proporțional cu volumul în sine; echivalent cu condițiile termodinamice, starea sa poate fi oricare dintre cele care îndeplinesc condițiile macroscopice ale sistemului.

Necesitatea ipotezei ergodice

În mecanica statistică lucrăm cu sisteme formate dintr-un număr mare de particule, de obicei în ordinea numărului lui Avogadro , făcând astfel imposibilă rezolvarea exactă a ecuațiilor de mișcare. Obiectivul mecanicii statistice este de a calcula cantități medii, care reprezintă observabile macroscopice (cum ar fi presiunea , temperatura sau energia ).

Având în vedere un sistem izolat de N particule, media unui f observabil pe un interval de timp T este prin definiție:

\left\langle f\right\rangle ={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}f(\{q_{i},p_{i}\}){\mbox{d}}t

{\ displaystyle \ left \ langle f \ right \ rangle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) {\ mbox {d}} t}

{\ displaystyle \ left \ langle f \ right \ rangle = {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} f (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) {\ mbox {d}} t}

unde este $\{q_{i},p_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {q_ {i}, p_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {q_ {i}, p_ {i} \}}$ indică setul tuturor coordonatelor tuturor particulelor cu momentele lor conjugate, pentru un total de 6 N variabile.

Utilitatea ipotezei ergodice este că permite evaluarea cantităților macroscopice, ca o medie pe microstate în loc de ca o medie temporală. Deoarece nu cunoaștem evoluția timpului, o astfel de formulă este complet inutilă: putem schimba variabila și putem trece de la o medie de timp la o integrală pe spațiul de fază. Prin urmare, valoarea medie a lui f este dată de:

\left\langle f\right\rangle =\int f(\{q_{i},p_{i}\})\rho (\{q_{i},p_{i}\})\{{\mbox{d}}q_{i}{\mbox{d}}p_{i}\}

{\ displaystyle \ left \ langle f \ right \ rangle = \ int f (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) \ rho (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) \ { {\ mbox {d}} q_ {i} {\ mbox {d}} p_ {i} \}}

{\ displaystyle \ left \ langle f \ right \ rangle = \ int f (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) \ rho (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) \ { {\ mbox {d}} q_ {i} {\ mbox {d}} p_ {i} \}}

unde ρ reprezintă densitatea de probabilitate că sistemul este în microstat caracterizat de variabile $\{q_{i},p_{i}\}$ ${\ displaystyle \ {q_ {i}, p_ {i} \}}$ ${\ displaystyle \ {q_ {i}, p_ {i} \}}$ . În acest moment intervine ipoteza ergodică, impunând că ρ este o altă constantă decât zero în regiunea spațiului de fază accesibil sistemului și egală cu zero în caz contrar:

\left\langle f\right\rangle =\rho \int f(\{q_{i},p_{i}\})\{{\mbox{d}}q_{i}{\mbox{d}}p_{i}\}

{\ displaystyle \ left \ langle f \ right \ rangle = \ rho \ int f (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) \ {{\ mbox {d}} q_ {i} {\ mbox { d}} p_ {i} \}}

{\ displaystyle \ left \ langle f \ right \ rangle = \ rho \ int f (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) \ {{\ mbox {d}} q_ {i} {\ mbox { d}} p_ {i} \}}

unde integralul se realizează numai în volumul accesibil sistemului. În ansamblul microcanonic, constrângerea impusă este că energia sistemului, dată de hamiltonianul sistemului calculat în microstat, este între două valori E și E + Δ , cu Δ mult mai mică decât E. Definire

\Gamma _{\Delta }=\int _{E\leq H\leq E+\Delta }\{{\mbox{d}}q_{i}{\mbox{d}}p_{i}\}=\int _{E\leq H\leq E+\Delta }{\mbox{d}}\Gamma

{\ displaystyle \ Gamma _ {\ Delta} = \ int _ {E \ leq H \ leq E + \ Delta} \ {{\ mbox {d}} q_ {i} {\ mbox {d}} p_ {i} \} = \ int _ {E \ leq H \ leq E + \ Delta} {\ mbox {d}} \ Gamma}

{\ displaystyle \ Gamma _ {\ Delta} = \ int _ {E \ leq H \ leq E + \ Delta} \ {{\ mbox {d}} q_ {i} {\ mbox {d}} p_ {i} \} = \ int _ {E \ leq H \ leq E + \ Delta} {\ mbox {d}} \ Gamma}

noi obținem:

\left\langle f\right\rangle =\rho \int _{\Gamma _{\Delta }}f(\{q_{i},p_{i}\}){\mbox{d}}\Gamma

{\ displaystyle \ left \ langle f \ right \ rangle = \ rho \ int _ {\ Gamma _ {\ Delta}} f (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) {\ mbox {d}} \ Gamma}

{\ displaystyle \ left \ langle f \ right \ rangle = \ rho \ int _ {\ Gamma _ {\ Delta}} f (\ {q_ {i}, p_ {i} \}) {\ mbox {d}} \ Gamma}

prin urmare, pentru standardizare:

\rho ={\frac {1}{\Gamma _{\Delta }}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {\ Gamma _ {\ Delta}}}}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {\ Gamma _ {\ Delta}}}}

Utilitatea ipotezei ergodice este că vă permite să calculați pur și simplu densitatea de probabilitate a microstatelor. Dacă nu ar fi cazul, ar fi, de asemenea, necunoscut și ne-am găsi, ca și în cazul mediei în timp, incapabile să calculăm integralele din cauza ignoranței stării microscopice a sistemului.

Echilibru și ergodicitate

Teorema Liouville arată cum, pentru sistemele clasice conservatoare, densitatea locală a microstatelor este conservată în evoluția timpului. În consecință, dacă densitatea a fost constantă la momentul inițial, aceasta va fi constantă pentru toate timpurile. Teorema lui Liouville asigură că media timpului are sens, dar ergodicitatea nu decurge din aceasta.

În sistemele macroscopice, scara de timp la care sistemul poate explora cu adevărat tot spațiul de fază permis poate fi suficient de mare pentru ca starea de echilibru termodinamic să arate o pauză în ergodicitate. Un exemplu comun este cel al magnetizării spontane în sistemele feromagnetice, care magnetizează sub temperatura Curie chiar dacă pentru principiul ergodic sistemul ar trebui să exploreze toate stările admise energetic, a căror magnetizare medie este zero. Încălcarea acestei forme literale a principiului ergodic este un exemplu de rupere spontană a simetriei. Sistemele complexe dezordonate, cum ar fi ochelarii de rotație, prezintă forme și mai complicate de defalcare a ergodicității: în aceste sisteme proprietățile echilibrului termodinamic sunt dificil de prezis doar din argumentele de simetrie.

Bibliografie

Kerson Huang, Mecanica statistică , ediția I, Bologna, Zanichelli, iunie 1997, ISBN 978-88-08-09152-9 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica