Mașina lui Atwood

Ilustrația din 1905 a mașinii lui Atwood.

Schema corporală gratuită a mașinii Atwood.

Mașina lui Atwood a fost inventată în 1784 de George Atwood ca experiment de laborator pentru a testa legile mișcării accelerate uniform .

Mașina Atwood este pur și simplu un scripete ideal: este alcătuită din două obiecte de masă $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ Și $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ conectat printr-un fir inextensibil de masă neglijabilă plasat peste un scripete fără masă. În acest fel este posibil să se studieze relația dintre forță, greutate , masă și accelerație .

Cand $m_{1}=m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {1} = m_ {2}}$ $m_1 = m_2$ mașina este în echilibru , deoarece suma forțelor de acțiune este zero, în timp ce una dintre cele două mase este mai mare decât cealaltă (de exemplu $m_{2}>m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {2}> m_ {1}}$ $m_2> m_1$ ) cele două obiecte suferă o accelerație cauzată de diferența dintre cele două mase.

Ecuații de mișcare

În acest moment este posibil să derivăm ecuația de mișcare a celor două corpuri. Dacă luăm în considerare firul inextensibil fără masă și fulia și fără masă și frecare, singurele forțe care trebuie luate în considerare sunt tensiunea firului. $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ și forța de greutate a maselor $m g$ ${\ displaystyle mg}$ $mg$ . Pentru a găsi suma forțelor trebuie să luăm în considerare forțele care acționează asupra maselor individuale.

Pe corp $m_{1}$ ${\ displaystyle m_ {1}}$ $m_ {1}$ forța de acțiune va fi:

T-m_{1}g

{\ displaystyle T-m_ {1} g}

T-m_1g

Pe corp $m_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2}}$ $m_ {2}$ forța de acțiune va fi:

m_{2}g-T

{\ displaystyle m_ {2} gT}

m_2g-T

Suma forțelor aplicate sistemului va fi egală cu

\sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})

{\ displaystyle \ sum F = (m_ {2} gT) + (T-m_ {1} g) = g (m_ {2} -m_ {1})}

\ sum F = (m_2g-T) + (T-m_1g) = g (m_2-m_1)

Folosind a doua lege a lui Newton putem deriva ecuația mișcării:

\sum F=ma\;\Rightarrow \;a={\sum F \over m}

{\ displaystyle \ sum F = ma \; \ Rightarrow \; a = {\ sum F \ over m}}

\ sum F = dar \; \ Rightarrow \; a = {\ suma F \ peste m}

Atâta timp cât

\sum F=g(m_{2}-m_{1})

{\ displaystyle \ sum F = g (m_ {2} -m_ {1})}

\ suma F = g (m_2-m_1)

Și

\;m=m_{1}+m_{2}

{\ displaystyle \; m = m_ {1} + m_ {2}}

\; m = m_1 + m_2

primesti

a=g\left({m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}\right)

{\ displaystyle a = g \ left ({m_ {2} -m_ {1} \ peste m_ {1} + m_ {2}} \ right)}

a = g \ left ({m_2-m_1 \ peste m_1 + m_2} \ dreapta)

În schimb, accelerația gravitației $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ poate fi găsit prin măsurarea deplasării greutăților și apoi calcularea accelerației uniforme, în funcție de relație

d={1 \over 2}at^{2}

{\ displaystyle d = {1 \ peste 2} la ^ {2}}

d = {1 \ peste 2} la ^ 2

d este spațiul parcurs de frânghie în timpul t cu accelerația a pornind de la un punct mort.

Ecuația tensiunii

După obținerea valorii de accelerație, este posibil să se găsească valoarea tensiunii firului. Pentru a face acest lucru, înlocuim valoarea lui $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ într-una din cele două ecuații inițiale ale forței.

$a=g\left({m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}\right)$ ${\ displaystyle a = g \ left ({m_ {2} -m_ {1} \ peste m_ {1} + m_ {2}} \ right)}$ $a = g \ left ({m_2-m_1 \ peste m_1 + m_2} \ dreapta)$

Înlocuind accelerația în ecuație $m_{1}a=T-m_{1}g$ ${\ displaystyle m_ {1} a = T-m_ {1} g}$ $m_1a = T-m_1g$ , noi obținem:

$T=g\left({2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}\right)$ ${\ displaystyle T = g \ left ({2m_ {1} m_ {2} \ peste m_ {1} + m_ {2}} \ right)}$ $T = g \ left ({2m_1m_2 \ peste m_1 + m_2} \ dreapta)$

Tensiunea poate fi găsită în mod egal din ecuație $m_{2}a=m_{2}g-T$ ${\ displaystyle m_ {2} a = m_ {2} gT}$ $m_2a = m_2g-T$

Cazul fuliei cu masă deloc neglijabilă

Dacă fulia are o masă care nu este neglijabilă în comparație cu cele ale celor două greutăți, putem folosi ecuațiile dinamicii de rotație pentru a determina într-un mod mai general accelerația celor două mase și tensiunea frânghiei. Definit $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ momentul total al forțelor care acționează pe scripete, $m_{c}$ ${\ displaystyle m_ {c}}$ $m_c$ masa e $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ raza fuliei în sine:

I{\alpha }=(T_{2}-T_{1})r

{\ displaystyle I {\ alpha} = (T_ {2} -T_ {1}) r}

I {\ alpha} = (T_2 -T_1) r

Unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este momentul de inerție e ${\alpha }$ ${\ displaystyle {\ alpha}}$ ${\ alpha}$ este accelerația unghiulară.

Apropiind fulia de un disc solid și subțire, rezultă momentul său de inerție ${1 \over 2}m_{c}r^{2}$ ${\ displaystyle {1 \ over 2} m_ {c} r ^ {2}}$ ${1 \ peste 2} m_c r ^ 2$ , înlocuind $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ primesti:

T_{2}-T_{1}={1 \over 2}m_{c}r^{2}{a \over r^{2}}

{\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = {1 \ peste 2} m_ {c} r ^ {2} {a \ peste r ^ {2}}}

T_2 -T_1 = {1 \ peste 2} m_c r ^ 2 {a \ peste r ^ 2}

T_{2}-T_{1}={1 \over 2}m_{c}a

{\ displaystyle T_ {2} -T_ {1} = {1 \ peste 2} m_ {c} a}

T_2-T_1 = {1 \ peste 2} m_c a

Ecuațiile de mișcare ale celor două mase se adaugă membru cu membru:

m_{1}a+m_{2}a=T_{1}-T_{2}+m_{2}g-m_{1}g

{\ displaystyle m_ {1} a + m_ {2} a = T_ {1} -T_ {2} + m_ {2} g-m_ {1} g}

m_1 a + m_2 a = T_1 -T_2 + m_2 g-m_1 g

a(m_{1}+m_{2})+m_{1}g-m_{2}g=T_{1}-T_{2}

{\ displaystyle a (m_ {1} + m_ {2}) + m_ {1} g-m_ {2} g = T_ {1} -T_ {2}}

a (m_1 + m_2) + m_1 g -m_2 g = T_1 -T_2

Deci, înlocuind și continuând:

a(m_{1}+m_{2})+g(m_{1}-m_{2})=-{1 \over 2}m_{c}a

{\ displaystyle a (m_ {1} + m_ {2}) + g (m_ {1} -m_ {2}) = - {1 \ peste 2} m_ {c} a}

a (m_1 + m_2) + g (m_1 -m_2) = - {1 \ peste 2} m_c a

a(m_{1}+m_{2}+{1 \over 2}m_{c})=-g(m_{1}-m_{2})

{\ displaystyle a (m_ {1} + m_ {2} + {1 \ peste 2} m_ {c}) = - g (m_ {1} -m_ {2})}

a (m_1 + m_2 + {1 \ peste 2} m_c) = - g (m_1 -m_2)

Prin urmare:

a=g{\frac {m_{2}-m_{1}}{m_{1}+m_{2}+{1 \over 2}m_{c}}}

{\ displaystyle a = g {\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2} + {1 \ over 2} m_ {c}}}}

a = g {\ frac {m_2 - m_1} {m_1 + m_2 + {1 \ peste 2} m_c}}

Din această ecuație este evident că dacă $m_{c}$ ${\ displaystyle m_ {c}}$ $m_c$ se apropie de zero, cade înapoi în cazul particular al fuliei cu masă neglijabilă.

Din definiția accelerației celor două corpuri în cazul în care scripetele are o masă neglijabilă, ajungem la definiția tensiunii care acționează asupra corpurilor prin substituirea în cele două ecuații $m_{1}a=T_{1}-m_{1}g$ ${\ displaystyle m_ {1} a = T_ {1} -m_ {1} g}$ ${\ displaystyle m_ {1} a = T_ {1} -m_ {1} g}$ Și $m_{2}a=m_{2}g-T_{2}$ ${\ displaystyle m_ {2} a = m_ {2} g-T_ {2}}$ ${\ displaystyle m_ {2} a = m_ {2} g-T_ {2}}$ accelerarea tocmai a fost găsită. Rezultatul este

T_{1}=g{\frac {2m_{1}m_{2}+{1 \over 2}m_{c}m_{1}}{m_{1}+m_{2}+{1 \over 2}m_{c}}}

{\ displaystyle T_ {1} = g {\ frac {2m_ {1} m_ {2} + {1 \ peste 2} m_ {c} m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2} + {1 \ peste 2} m_ {c}}}}

{\ displaystyle T_ {1} = g {\ frac {2m_ {1} m_ {2} + {1 \ peste 2} m_ {c} m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2} + {1 \ peste 2} m_ {c}}}}

T_{2}=g{\frac {2m_{1}m_{2}+{1 \over 2}m_{c}m_{2}}{m_{1}+m_{2}+{1 \over 2}m_{c}}}

{\ displaystyle T_ {2} = g {\ frac {2m_ {1} m_ {2} + {1 \ peste 2} m_ {c} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2} + {1 \ peste 2} m_ {c}}}}

{\ displaystyle T_ {2} = g {\ frac {2m_ {1} m_ {2} + {1 \ peste 2} m_ {c} m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2} + {1 \ peste 2} m_ {c}}}}

De asemenea, în acest caz, este evident că, dacă fulia este foarte mică, ea cade înapoi în cazul fuliei cu masă neglijabilă.

Cazuri de mase sprijinite pe planuri înclinate

Ecuații pentru un scripete fără frecare

Putem modifica în continuare problema presupunând că cele două mase se sprijină pe două planuri înclinate diferite fără frecare. Definit $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ unghiul dintre sol și planul pe care se sprijină primul corp e $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ unghiul dintre sol și planul pe care se sprijină al doilea, apoi:

\left\{{\begin{matrix}m_{1}a=T-m_{1}g\sin {\alpha }\\m_{2}a=m_{2}g\sin {\beta }-T\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} m_ {1} a = T-m_ {1} g \ sin {\ alpha} \\ m_ {2} a = m_ {2} g \ sin {\ beta } -T \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {\ begin {matrix} m_1 a = T - m_1 g \ sin {\ alpha} \\ m_2 a = m_2 g \ sin {\ beta} - T \ end {matrix} \ right.

Procedura pentru găsirea valorilor de accelerație și tensiune este aceeași cu cea folosită anterior în cazul fuliei cu masă deloc neglijabilă. Singurul lucru la care trebuie să fim atenți sunt forțele care exercită un moment pe scripete: trebuie avut în vedere faptul că frânghia și, prin urmare, cei doi vectori de tensiune, sunt înclinați de un unghi egal cu ${\pi \over 2}-\alpha$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2} - \ alpha}$ ${\ pi \ peste 2} - \ alfa$ pentru primul corp și un unghi egal cu ${\pi \over 2}-\beta$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2} - \ beta}$ ${\ pi \ over 2} - \ beta$ pentru al doilea cu privire la verticală. Deci forțele care impresionează un moment pe scripete sunt:

T_{1}=T\cos {\left({{\pi  \over 2}-\alpha }\right)}=T\sin {\alpha }

{\ displaystyle T_ {1} = T \ cos {\ left ({{\ pi \ over 2} - \ alpha} \ right)} = T \ sin {\ alpha}}

T_1 = T \ cos {\ left ({{\ pi \ over 2} - \ alpha} \ right)} = T \ sin {\ alpha}

Și

T_{2}=T\cos {\left({{\pi  \over 2}-\beta }\right)}=T\sin {\beta }

{\ displaystyle T_ {2} = T \ cos {\ left ({{\ pi \ over 2} - \ beta} \ right)} = T \ sin {\ beta}}

T_2 = T \ cos {\ left ({{\ pi \ over 2} - \ beta} \ right)} = T \ sin {\ beta}

Urmând aceiași pași ca înainte, obținem:

a=g{\left({\frac {m_{2}\sin ^{2}{\beta }-m_{1}\sin ^{2}{\alpha }}{m_{1}\sin {\alpha }+m_{2}\sin {\beta }+{1 \over 2}m_{c}}}\right)}

{\ displaystyle a = g {\ left ({\ frac {m_ {2} \ sin ^ {2} {\ beta} -m_ {1} \ sin ^ {2} {\ alpha}} {m_ {1} \ sin {\ alpha} + m_ {2} \ sin {\ beta} + {1 \ over 2} m_ {c}}} \ right)}}

a = g {\ left ({\ frac {m_2 \ sin ^ 2 {\ beta} -m_1 \ sin ^ 2 {\ alpha}} {m_1 \ sin {\ alpha} + m_2 \ sin {\ beta} + {1 \ peste 2} m_c}} \ dreapta)}

Și

T=g{\frac {m_{1}m_{2}\sin {\beta }(\sin {\alpha }+\sin {\beta })+{1 \over 2}m_{c}m_{1}\sin {\alpha }}{m_{1}\sin {\alpha }+m_{2}\sin {\beta }+{1 \over 2}m_{c}}}

{\ displaystyle T = g {\ frac {m_ {1} m_ {2} \ sin {\ beta} (\ sin {\ alpha} + \ sin {\ beta}) + {1 \ over 2} m_ {c} m_ {1} \ sin {\ alpha}} {m_ {1} \ sin {\ alpha} + m_ {2} \ sin {\ beta} + {1 \ over 2} m_ {c}}}}

T = g {{\ frac {m_1 m_2 \ sin {\ beta} (\ sin {\ alpha} + \ sin {\ beta}) + {1 \ over 2} m_c m_1 \ sin {\ alpha}} {m_1 \ sin {\ alpha} + m_2 \ sin {\ beta} + {1 \ over 2} m_c}}}

Rețineți cum, dacă $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ sunt ambii egali cu ${\pi \over 2}$ ${\ displaystyle {\ pi \ over 2}}$ ${\ pi \ peste 2}$ (adică dacă cele două mase nu sunt sprijinite de vreun plan înclinat și deci cad în jos), se revine la cazurile anterioare, în timp ce dacă $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ sunt ambele egale cu (adică dacă cele două corpuri stau pe sol la același nivel), accelerația și tensiunea sunt zero.

Acum, să facem problema și mai realistă prin inserarea fricțiunii dintre mase și planurile înclinate. Noi definim $\mu _{1}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1}}$ $\ mu_1$ Și $\mu _{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2}}$ $\ mu_2$ coeficienții de frecare cinetică dintre cele două corpuri și planurile lor respective; de data aceasta ecuațiile inițiale ale mișcării celor două mase sunt:

\left\{{\begin{matrix}m_{1}a=T-m_{1}g\sin \alpha -m_{1}g\cos {\alpha }\mu _{1}\\m_{2}a=m_{2}g\sin {\beta }-T-m_{2}g\cos {\beta }\mu _{2}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} m_ {1} a = T-m_ {1} g \ sin \ alpha -m_ {1} g \ cos {\ alpha} \ mu _ {1} \\ m_ {2} a = m_ {2} g \ sin {\ beta} -T-m_ {2} g \ cos {\ beta} \ mu _ {2} \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {\ begin {matrix} m_1 a = T - m_1 g \ sin \ alpha - m_1 g \ cos {\ alpha} \ mu_1 \\ m_2 a = m_2 g \ sin {\ beta} - T - m_2 g \ cos {\ beta} \ mu_2 \ end {matrix} \ right.

Urmând aceiași pași pe care i-am urmat anterior, concluzionăm că:

a=g{\frac {m_{2}\sin {\beta }(\sin {\beta }-\cos {\beta }\mu _{2})-m_{1}\sin {\alpha }(\sin {\alpha }+\cos {\alpha }\mu _{1})}{m_{1}\sin {\alpha }+m_{2}\sin {\beta }+{1 \over 2}m_{c}}}

{\ displaystyle a = g {\ frac {m_ {2} \ sin {\ beta} (\ sin {\ beta} - \ cos {\ beta} \ mu _ {2}) - m_ {1} \ sin {\ alpha} (\ sin {\ alpha} + \ cos {\ alpha} \ mu _ {1})} {m_ {1} \ sin {\ alpha} + m_ {2} \ sin {\ beta} + {1 \ peste 2} m_ {c}}}}

a = g {{\ frac {m_2 \ sin {\ beta} (\ sin {\ beta} - \ cos {\ beta} \ mu_2) -m_1 \ sin {\ alpha} (\ sin {\ alpha} + \ cos {\ alpha} \ mu_1)} {m_1 \ sin {\ alpha} + m_2 \ sin {\ beta} + {1 \ over 2} m_c}}}

este asta:

T=g{\frac {m_{1}m_{2}\sin {\beta }(\sin {\alpha }+\sin {\beta }+\cos {\alpha }\mu _{1}-\cos {\beta }\mu _{2})+{1 \over 2}m_{c}m_{1}(\sin {\alpha }+\cos {\alpha }\mu _{1})}{m_{1}\sin {\alpha }+m_{2}\sin {\beta }+{1 \over 2}m_{c}}}

{\ displaystyle T = g {\ frac {m_ {1} m_ {2} \ sin {\ beta} (\ sin {\ alpha} + \ sin {\ beta} + \ cos {\ alpha} \ mu _ {1 } - \ cos {\ beta} \ mu _ {2}) + {1 \ over 2} m_ {c} m_ {1} (\ sin {\ alpha} + \ cos {\ alpha} \ mu _ {1} )} {m_ {1} \ sin {\ alpha} + m_ {2} \ sin {\ beta} + {1 \ over 2} m_ {c}}}}

T = g {{\ frac {m_1 m_2 \ sin {\ beta} (\ sin {\ alpha} + \ sin {\ beta} + \ cos {\ alpha} \ mu_1 - \ cos {\ beta} \ mu_2) + {1 \ over 2} m_c m_1 (\ sin {\ alpha} + \ cos {\ alpha} \ mu_1)} {m_1 \ sin {\ alpha} + m_2 \ sin {\ beta} + {1 \ over 2} m_c }}}

Din nou prin plasare $\mu _{1}$ ${\ displaystyle \ mu _ {1}}$ $\ mu_1$ Și $\mu _{2}$ ${\ displaystyle \ mu _ {2}}$ $\ mu_2$ egal cu zero ne întoarcem la cazul anterior.

Ecuații pentru un scripete cu frecare

În cazul în care scripetele nu este fără frecare, dar în același timp diferența celor două mase nu este prea mică, ecuația de accelerație va fi modificată prin adăugarea unui termen care reprezintă forța de frecare. Cu această aproximare, ecuația mișcării se va dovedi a fi egală cu

(m_{2}-m_{1})g=(m_{2}+m_{1})a+f_{attrito}

{\ displaystyle (m_ {2} -m_ {1}) g = (m_ {2} + m_ {1}) a + f_ {friction}}

(m_2-m_1) g = (m_2 + m_1) a + f_ {friction}

Dacă, pe de altă parte, diferența dintre cele două mase este mică, momentul de inerție nu poate fi neglijat $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ a scripetei cu raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Expresia accelerației unghiulare a fuliei este dată de următoarea relație

\alpha ={a \over r}

{\ displaystyle \ alpha = {a \ over r}}

\ alpha = {a \ over r}

În acest caz devine momentul total al sistemului

$M_{Totale}=\left(T_{2}-T_{1}\right)r=I\alpha +\ M_{attrito}$ ${\ displaystyle M_ {Total} = \ left (T_ {2} -T_ {1} \ right) r = I \ alpha + \ M_ {friction}}$ $M_ {Total} = \ left (T_2 - T_1 \ right) r = I \ alpha + \ M_ {friction}$

Bibliografie

Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro și Cesare Voci, Fizica Volumul I , Edises, 1991, ISBN 88-7959-137-1 .

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe mașina lui Atwood

Controlul autorității	Tezaur BNCF 60098

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică