Ecuația Rankine-Hugoniot

În dinamica fluidelor , ecuația Rankine - Hugoniot este o ecuație diferențială obișnuită în două variabile derivate din ecuațiile Euler pentru un fluid inviscid în cazul unei unde de șoc ortogonale la fluxul de intrare.

Tratament simplificat

Pornind de la conservarea gamei , a entropiei și, respectiv, cu absența muncii izocorice :

\left\{{\begin{matrix}\operatorname {d} (\rho Av)=0\\\operatorname {v} \operatorname {d} v+p\operatorname {d} {\frac {1}{\rho }}=0\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ operatorname {d} (\ rho Av) = 0 \\\ operatorname {v} \ operatorname {d} v + p \ operatorname {d} {\ frac {1 } {\ rho}} = 0 \\\ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} \ operatorname {d} (\ rho Av) = 0 \\\ operatorname {v} \ operatorname {d} v + p \ operatorname {d} {\ frac {1 } {\ rho}} = 0 \\\ end {matrix}} \ right.}

,

Explicând prima ecuație conform regulii lui Leibniz și exprimând presiunea p în densitate și număr Mach , obținem:

\left\{{\begin{matrix}{\frac {\operatorname {d} \rho }{\rho }}+{\frac {\operatorname {d} A}{A}}+{\frac {\operatorname {d} v}{v}}=0\\{\frac {\operatorname {d} v}{v}}+{\mathrm {Ma} ^{-2}}{\frac {\operatorname {d} {\rho }}{\rho }}=0\\\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ rho}} + {\ frac {\ operatorname {d} A} {A}} + {\ frac {\ operatorname {d} v} {v}} = 0 \\ {\ frac {\ operatorname {d} v} {v}} + {\ mathrm {Ma} ^ {- 2}} {\ frac {\ operatorname {d} {\ rho}} {\ rho}} = 0 \\\ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ rho}} + {\ frac {\ operatorname {d} A} {A}} + {\ frac {\ operatorname {d} v} {v}} = 0 \\ {\ frac {\ operatorname {d} v} {v}} + {\ mathrm {Ma} ^ {- 2}} {\ frac {\ operatorname {d} {\ rho}} {\ rho}} = 0 \\\ end {matrix}} \ right.}

Echivalent cu ecuațiile Hugoniot:

${\frac {\operatorname {d} A}{A}}-{\frac {1-\mathrm {Ma} ^{2}}{\mathrm {Ma} ^{2}}}{\frac {\operatorname {d} \rho }{\rho }}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {A}} - {\ frac {1- \ mathrm {Ma} ^ {2}} {\ mathrm {Ma} ^ {2}}} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ rho}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {A}} - {\ frac {1- \ mathrm {Ma} ^ {2}} {\ mathrm {Ma} ^ {2}}} {\ frac {\ operatorname {d} \ rho} {\ rho}} = 0}$
${\frac {\operatorname {d} A}{A}}+(1-\mathrm {Ma} ^{2}){\frac {\operatorname {d} v}{v}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {A}} + (1- \ mathrm {Ma} ^ {2}) {\ frac {\ operatorname {d} v} {v}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {A}} + (1- \ mathrm {Ma} ^ {2}) {\ frac {\ operatorname {d} v} {v}} = 0}$
${\frac {\operatorname {d} A}{A}}-(1-\mathrm {Ma} ^{2}){\frac {\operatorname {d} p}{\rho v^{2}}}=0$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {A}} - (1- \ mathrm {Ma} ^ {2}) {\ frac {\ operatorname {d} p} {\ rho v ^ {2 }}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} A} {A}} - (1- \ mathrm {Ma} ^ {2}) {\ frac {\ operatorname {d} p} {\ rho v ^ {2 }}} = 0}$

A doua ecuație demonstrează clar cum, dacă se dorește accelerarea unui debit, este necesară o conductă convergentă în regim subsonic și divergentă în regim supersonic. A treia ecuație arată că, cu un canal convergent, în regim subsonic, se realizează o expansiune (și vorbim de duză ), în timp ce în regim supersonic o compresie (și vorbim de difuzor ).

Tratament general

Luați în considerare un flux regulat și unidimensional, supus ecuațiilor lui Euler și impuneți conservarea masei , a impulsului și a energiei . Sub aceste ipoteze, ajungem la trei ecuații, în care cele două viteze sunt simplificate $u_{1}$ ${\ displaystyle u_ {1}}$ $u_1$ și $u_{2}$ ${\ displaystyle u_ {2}}$ $u_2$ .

De obicei, condițiile fluxului amonte sunt notate cu indicele „1” și cu indicele „2” cele ale fluxului din aval. În acest context, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea , $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ viteza , $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ presiunea . Cu $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ indicăm energia internă pe unitate de masă.

Dacă în acest moment considerăm un gaz ideal , ecuația de stare ia forma $p=\rho (\gamma -1)e$ ${\ displaystyle p = \ rho (\ gamma -1) e}$ ${\ displaystyle p = \ rho (\ gamma -1) e}$ . Ne amintim asta $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este raportul dintre căldurile specifice la presiune constantă și volum constant.

Următoarele ecuații, numite ecuații Hugoniot, indică respectiv conservarea masei, a impulsului și a energiei, ipotezate anterior:

\rho _{1}u_{1}=\rho _{2}u_{2}

{\ displaystyle \ rho _ {1} u_ {1} = \ rho _ {2} u_ {2}}

{\ displaystyle \ rho _ {1} u_ {1} = \ rho _ {2} u_ {2}}

p_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}=p_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}

{\ displaystyle p_ {1} + \ rho _ {1} u_ {1} ^ {2} = p_ {2} + \ rho _ {2} u_ {2} ^ {2}}

{\ displaystyle p_ {1} + \ rho _ {1} u_ {1} ^ {2} = p_ {2} + \ rho _ {2} u_ {2} ^ {2}}

u_{1}\left(p_{1}+\rho _{1}e_{1}+\rho _{1}u_{1}^{2}/2\right)=u_{2}\left(p_{2}+\rho _{2}e_{2}+\rho _{2}u_{2}^{2}/2\right)

{\ displaystyle u_ {1} \ left (p_ {1} + \ rho _ {1} e_ {1} + \ rho _ {1} u_ {1} ^ {2} / 2 \ right) = u_ {2} \ left (p_ {2} + \ rho _ {2} e_ {2} + \ rho _ {2} u_ {2} ^ {2} / 2 \ right)}

{\ displaystyle u_ {1} \ left (p_ {1} + \ rho _ {1} e_ {1} + \ rho _ {1} u_ {1} ^ {2} / 2 \ right) = u_ {2} \ left (p_ {2} + \ rho _ {2} e_ {2} + \ rho _ {2} u_ {2} ^ {2} / 2 \ right)}

Rețineți cele trei componente ale energiei: lucrul mecanic, energia potențială (internă) și energia cinetică .

Prin rezolvarea primelor două ecuații cu privire la $u_{1}$ ${\ displaystyle u_ {1}}$ $u_1$ Și $u_{2}$ ${\ displaystyle u_ {2}}$ $u_2$ pentru a elimina cele două viteze și înlocuind în ultima, ajungem la următoarea ecuație:

2\left(h_{2}-h_{1}\right)=\left(p_{2}-p_{1}\right)\cdot \left({\frac {1}{\rho _{1}}}+{\frac {1}{\rho _{2}}}\right)

{\ displaystyle 2 \ left (h_ {2} -h_ {1} \ right) = \ left (p_ {2} -p_ {1} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {1} {\ rho _ {1}}} + {\ frac {1} {\ rho _ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle 2 \ left (h_ {2} -h_ {1} \ right) = \ left (p_ {2} -p_ {1} \ right) \ cdot \ left ({\ frac {1} {\ rho _ {1}}} + {\ frac {1} {\ rho _ {2}}} \ right)}

,

unde este $h={\frac {p}{\rho }}+e$ ${\ displaystyle h = {\ frac {p} {\ rho}} + e}$ ${\ displaystyle h = {\ frac {p} {\ rho}} + e}$ este entalpia .

Deoarece presiunile sunt ambele pozitive, raportul densității nu este niciodată mai mare de $(\gamma +1)/(\gamma -1)$ ${\ displaystyle (\ gamma +1) / (\ gamma -1)}$ ${\ displaystyle (\ gamma +1) / (\ gamma -1)}$ sau 6 în cazul aerului (pentru care $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ valorează aproximativ 1,4).

Pe măsură ce puterea undei de șoc crește, fluxul de gaz din aval devine din ce în ce mai fierbinte, raportul densității $\rho _{2}/\rho _{1}$ ${\ displaystyle \ rho _ {2} / \ rho _ {1}}$ ${\ displaystyle \ rho _ {2} / \ rho _ {1}}$ tinde la o limită finită, egală cu 4 pentru un gaz monatomic ( $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ = 5/3), și la 6 pentru un gaz diatomic ( $\gamma ={\frac {7/2}{5/2}}=1{,}4$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {7/2} {5/2}} = 1 {,} 4}$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {7/2} {5/2}} = 1 {,} 4}$ ).

Bibliografie

Rankine, WJM, Despre teoria termodinamică a undelor perturbărilor longitudinale finite , Phil. Trans. Roy. Soc. Londra, 160, (1870), p. 277.
Hugoniot, H., Propagation des Mouvements dans les Corps et spécialement dans les Gaz Parfaits , Journal de 1'Ecole Polytechnique, 57, (1887), p. 3; 58, (1889), p. 1.
Salas, MD Evenimentele curioase care conduc la teoria valurilor de șoc , prelegere invitată la al 17-lea simpozion de interacțiune cu șocul (Roma, 4-8 septembrie 2006).

Elemente conexe

Portal mecanic

Portalul Termodinamicii