Legea lui Betz

Schema unui flux de fluid printr-un actuator.

Legea lui Betz arată energia maximă posibilă, cunoscută sub numele de limita Betz , care ar putea fi obținută printr-un rotor infinit subțire, traversat de un fluid care curge la o anumită viteză .

Pentru a calcula eficiența maximă a unui rotor subțire, imaginați-l înlocuit de un disc care extrage energie din fluidul care trece prin el. La o anumită distanță în spatele acestui disc, fluidul care a trecut prin el curge cu o rată redusă.

Ipoteză

Rotorul nu are butuc , adică este un rotor ideal, cu un număr infinit de lame și cu frecare egală cu 0. Orice frecare rezultată poate fi mai mare decât această valoare ideală ;
Debitul la intrarea și ieșirea rotorului are o mișcare axială . Acest tip de abordare este volumul de control , iar pentru a obține o soluție volumul de control trebuie să conțină tot fluidul de intrare și de ieșire, având în vedere ecuațiile de conservare ;
Lichidul este incompresibil. Densitatea rămâne constantă și nu există transfer de căldură de la rotor la fluid și invers;
Cu excepția rotorului, nu există alte obstacole în interiorul venelor fluide care le-ar putea modifica mișcarea;
Porțiunea de curgere care traversează oglinda actuatorului nu are nicio interacțiune cu partea rămasă de fluid care îl înconjoară și care nu interacționează cu actuatorul;
În secțiunile din aval și din amonte ale debitului general există o stare de calm aerodinamic absolut;
Viteza fluidului este distribuită uniform și modulul este unidirecțional în fiecare parte a fluxului.

Aplicarea conservării masei (ecuația continuității)

Aplicând ecuația de continuitate acestui volum de control, rata masei fluidului (adică masa curentă pe unitate de timp) este dată de:

{\dot {m}}=\rho \cdot A_{1}\cdot v_{1}=\rho \cdot S\cdot v=\rho \cdot A_{2}\cdot v_{2}

{\ displaystyle {\ dot {m}} = \ rho \ cdot A_ {1} \ cdot v_ {1} = \ rho \ cdot S \ cdot v = \ rho \ cdot A_ {2} \ cdot v_ {2}}

{\ dot m} = \ rho \ cdot A_ {1} \ cdot v_ {1} = \ rho \ cdot S \ cdot v = \ rho \ cdot A_ {2} \ cdot v_ {2}

unde v ₁ este viteza din fața rotorului, v ₂ este viteza din spatele rotorului și v este viteza la înălțimea dispozitivului. ρ este densitatea fluidului, iar aria turbinei este dată de S. Forța exercitată de vânt asupra rotorului poate fi scrisă ca

F=m\cdot a=m\cdot {\begin{matrix}{\frac {dv}{dt}}\end{matrix}}={\dot {m}}\cdot \Delta V

{\ displaystyle F = m \ cdot a = m \ cdot {\ begin {matrix} {\ frac {dv} {dt}} \ end {matrix}} = {\ dot {m}} \ cdot \ Delta V}

F = m \ cdot a = m \ cdot {\ begin {matrix} {\ frac {dv} {dt}} \ end {matrix}} = {\ dot m} \ cdot \ Delta V

=\rho \cdot S\cdot v\cdot (v_{1}-v_{2})

{\ displaystyle = \ rho \ cdot S \ cdot v \ cdot (v_ {1} -v_ {2})}

= \ rho \ cdot S \ cdot v \ cdot (v_ {1} -v_ {2})

Puterea și munca

Munca efectuată de forță poate fi scrisă sub formă diferențială ca

dE=F\cdot dx

{\ displaystyle dE = F \ cdot dx}

dE = F \ cdot dx

iar puterea conținută în fluid este

P={\begin{matrix}{\frac {dE}{dt}}\end{matrix}}=F\cdot {\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}\end{matrix}}=F\cdot v

{\ displaystyle P = {\ begin {matrix} {\ frac {dE} {dt}} \ end {matrix}} = F \ cdot {\ begin {matrix} {\ frac {dx} {dt}} \ end { matrice}} = F \ cdot v}

P = {\ begin {matrix} {\ frac {dE} {dt}} \ end {matrix}} = F \ cdot {\ begin {matrix} {\ frac {dx} {dt}} \ end {matrix}} = F \ cdot v

Prin înlocuirea forței F calculate anterior în ecuația puterii, puterea care poate fi extrasă din fluidul în mișcare va fi disponibilă:

P=\rho \cdot S\cdot v^{2}\cdot (v_{1}-v_{2})

{\ displaystyle P = \ rho \ cdot S \ cdot v ^ {2} \ cdot (v_ {1} -v_ {2})}

P = \ rho \ cdot S \ cdot v ^ {2} \ cdot (v_ {1} -v_ {2})

Puterea poate fi calculată și într-un alt mod folosind energia cinetică . Aplicând ecuația de conservare a energiei la volumul de control obținem:

P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\dot {m}}\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

{\ displaystyle P = {\ frac {\ Delta E} {\ Delta t}} = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot {\ dot {m} } \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})}

P = {\ frac {\ Delta E} {\ Delta t}} = {\ begin {matrix} {\ frac 12} \ end {matrix}} \ cdot {\ dot m} \ cdot (v_ {1} ^ { 2} -v_ {2} ^ {2})

Revenind la ecuația de continuitate, înlocuirea ratei de masă a fluidului dă următoarele:

P={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

{\ displaystyle P = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})}

P = {\ begin {matrix} {\ frac 12} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})

Ambele expresii pentru calcularea puterii sunt valabile: una dintre ele derivă din analiza muncii incrementale efectuate și cealaltă din conservarea energiei. Rezolvând aceste două expresii, obținem un rezultat interesant:

P={\frac {1}{2}}\cdot \rho \cdot S\cdot v\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})=\rho \cdot S\cdot v^{2}\cdot (v_{1}-v_{2})

{\ displaystyle P = {\ frac {1} {2}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}) = \ rho \ cdot S \ cdot v ^ {2} \ cdot (v_ {1} -v_ {2})}

P = {\ frac 12} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}) = \ rho \ cdot S \ cdot v ^ {2 } \ cdot (v_ {1} -v_ {2})

Prin examinarea celor două expresii echivalente, în principal:

{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (v_{1}-v_{2})\cdot (v_{1}+v_{2})=v\cdot (v_{1}-v_{2})

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}) = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot (v_ {1} -v_ {2}) \ cdot (v_ {1} + v_ {2}) = v \ cdot ( v_ {1} -v_ {2})}

{\ begin {matrix} {\ frac 12} \ end {matrix}} \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2}) = {\ begin {matrix} {\ frac 12} \ end {matrix}} \ cdot (v_ {1} -v_ {2}) \ cdot (v_ {1} + v_ {2}) = v \ cdot (v_ {1} -v_ {2})

prin urmare

v={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (v_{1}+v_{2})

{\ displaystyle v = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot (v_ {1} + v_ {2})}

v = {\ begin {matrix} {\ frac 12} \ end {matrix}} \ cdot (v_ {1} + v_ {2})

Prin urmare, viteza fluidului la rotor poate fi considerată media vitezei sectoarelor din amonte și din aval, cu condiția să nu aibă viteze egale, caz în care nu se extrage nicio putere. Acesta este adesea considerat cel mai dificil punct de acceptare a Legii lui Betz, dar este de fapt corect, după cum se poate vedea din dovezile anterioare.

Coeficientul de încărcare

Factorul de sarcină este definit ca raportul dintre puterea livrată și puterea maximă care poate fi obținută, adică ca lucrarea adimensională :

w*={\frac {P}{P_{\rm {max}}}}

{\ displaystyle w * = {\ frac {P} {P _ {\ rm {max}}}}}

w * = {\ frac {P} {P _ {{{\ rm {max}}}}}}

pentru a obține această valoare putem pleca de la expresia anterioară a puterii bazate pe energia cinetică:

{\dot {E}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\dot {m}}\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

{\ displaystyle {\ dot {E}} = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot {\ dot {m}} \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})}

{\ dot E} = {\ begin {matrix} {\ frac 12} \ end {matrix}} \ cdot {\ dot m} \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2} )

={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

{\ displaystyle = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ { 2} ^ {2})}

= {\ begin {matrix} {\ frac 12} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})

={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot (v_{1}+v_{2})\cdot (v_{1}^{2}-v_{2}^{2})

{\ displaystyle = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {4}} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot (v_ {1} + v_ {2}) \ cdot (v_ {1} ^ {2} -v_ {2} ^ {2})}

= {\ begin {matrix} {\ frac 14} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot (v_ {1} + v_ {2}) \ cdot (v_ {1} ^ {2} - v_ {2} ^ {2})

={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}\cdot (1-({\frac {v_{2}}{v_{1}}})^{2}+({\frac {v_{2}}{v_{1}}})-({\frac {v_{2}}{v_{1}}})^{3})

{\ displaystyle = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {4}} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v_ {1} ^ {3} \ cdot (1 - ({ \ frac {v_ {2}} {v_ {1}}}) ^ {2} + ({\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}}) - ({\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}}) ^ {3})}

= {\ begin {matrix} {\ frac 14} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v_ {1} ^ {3} \ cdot (1 - ({\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}}) ^ {2} + ({\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}}) - ({\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}}) ^ {3})

.

Axa orizontală reprezintă raportul

{\begin{matrix}{\frac {v_{2}}{v_{1}}}\end{matrix}}

{\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} \ end {matrix}}}

{\ begin {matrix} {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} \ end {matrix}}

, axa verticală este „coeficientul de performanță” C _p .

Diferențierea , conform regulii lanțului ${\dot {E}}$ ${\ displaystyle {\ dot {E}}}$ ${\ punct E}$ în comparație cu ${\begin{matrix}{\frac {v_{2}}{v_{1}}}\end{matrix}}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} \ end {matrix}}}$ ${\ begin {matrix} {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} \ end {matrix}}$ pentru o viteză de fluid dată v ₁ și o zonă dată S este posibil să se găsească valoarea maximă sau minimă pe care și-o asumă ${\dot {E}}$ ${\ displaystyle {\ dot {E}}}$ ${\ punct E}$ . În special, se constată că valoarea maximă este pentru ${\frac {v_{2}}{v_{1}}}={\frac {1}{3}}$ ${\ displaystyle {\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac {1} {3}}}$ ${\ frac {v_ {2}} {v_ {1}}} = {\ frac 13}$ .

Înlocuind aceste rezultate în formula anterioară găsim fracția maximă de muncă pe care o putem obține care va fi:

P={\begin{matrix}{\frac {16}{27}}\cdot {\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}

{\ displaystyle P = {\ begin {matrix} {\ frac {16} {27}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v_ { 1} ^ {3}}

{\ displaystyle P = {\ begin {matrix} {\ frac {16} {27}} \ cdot {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v_ { 1} ^ {3}}

Fracția de lucru pusă la dispoziție de un cilindru de fluid cu aria S și viteza v ₁ este:

P_{\rm {max}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot \rho \cdot S\cdot v_{1}^{3}

{\ displaystyle P _ {\ rm {max}} = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v_ {1} ^ { 3}}

{\ displaystyle P _ {\ rm {max}} = {\ begin {matrix} {\ frac {1} {2}} \ end {matrix}} \ cdot \ rho \ cdot S \ cdot v_ {1} ^ { 3}}

.

Factorul de încărcare are valoarea sa maximă de 0,593. De exemplu, pierderile de rotor la o moară de vânt sunt cele mai semnificative, deci este important să le reduceți cât mai mult posibil. Rotoarele moderne admit valori cuprinse între 0,4 și 0,5, ceea ce reprezintă 70-80% din ceea ce este teoretic posibil.

Puncte de interes

Rețineți că analiza de mai sus nu depinde de geometrie, deci S ar putea lua orice formă atâta timp cât fluxul o traversează axial de la intrare până la volumul de control al ieșirii și că controlul volumului este uniform pentru turațiile de intrare și ieșire. De asemenea, rețineți că orice efect străin nu poate decât să înrăutățească performanța turbinei, deoarece analiza a fost efectuată ignorând fricțiunea. De fapt, orice efect non-ideal scade energia disponibilă din fluidul de intrare, scăzând eficiența.

Au existat mai multe argumente cu privire la această limitare și efectele duzelor și există o dificultate distinctă atunci când se iau în considerare dispozitivele de putere care utilizează mai multă zonă de captare decât zonă a rotorului. Unii producători și inventatori au crezut că depășesc limita Betz făcând acest lucru, dar în realitate ipotezele lor inițiale erau greșite, având în vedere că utilizează un $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ substanțial mai mare decât zona rotorului și acest lucru aduce dezechilibru la numărul de eficiență. În realitate, rotorul este la fel de eficient pe cât ar putea fi fără duze sau dispozitive de captare, dar prin adăugarea acestor dispozitive crește puterea extractibilă din vântul din amonte de rotor.

Observație - Dacă folosim următoarea medie a vitezei:

v*_{\rm {avg}}={\begin{matrix}{\frac {2}{{\begin{matrix}{\frac {1}{v_{1}}}\end{matrix}}+{\begin{matrix}{\frac {1}{v_{2}}}\end{matrix}}}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {2\cdot v_{1}\cdot v_{2}}{v_{1}+v_{2}}}\end{matrix}}

{\ displaystyle v * _ {\ rm {avg}} = {\ begin {matrix} {\ frac {2} {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {v_ {1}}} \ end {matrix }} + {\ begin {matrix} {\ frac {1} {v_ {2}}} \ end {matrix}}}} \ end {matrix}} = {\ begin {matrix} {\ frac {2 \ cdot v_ {1} \ cdot v_ {2}} {v_ {1} + v_ {2}}} \ end {matrix}}}

{\ displaystyle v * _ {\ rm {avg}} = {\ begin {matrix} {\ frac {2} {{\ begin {matrix} {\ frac {1} {v_ {1}}} \ end {matrix }} + {\ begin {matrix} {\ frac {1} {v_ {2}}} \ end {matrix}}}} \ end {matrix}} = {\ begin {matrix} {\ frac {2 \ cdot v_ {1} \ cdot v_ {2}} {v_ {1} + v_ {2}}} \ end {matrix}}}

In loc de $v_{\rm {avg}}={\begin{matrix}{\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}\end{matrix}}$ ${\ displaystyle v _ {\ rm {avg}} = {\ begin {matrix} {\ frac {v_ {1} + v_ {2}} {2}} \ end {matrix}}}$ ${\ displaystyle v _ {\ rm {avg}} = {\ begin {matrix} {\ frac {v_ {1} + v_ {2}} {2}} \ end {matrix}}}$

atâta timp cât $v_{2}=0$ ${\ displaystyle v_ {2} = 0}$ ${\ displaystyle v_ {2} = 0}$ asa de $v_{\rm {avg}}=0$ ${\ displaystyle v _ {\ rm {avg}} = 0}$ ${\ displaystyle v _ {\ rm {avg}} = 0}$ pentru orice valoare de $v_{1}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ ${\ displaystyle v_ {1}}$ (impact fără mișcare). Calculul este foarte simplu și oferă o reducere de 50% a producției.

Bibliografie

Betz, A. (1966) Introducere în teoria mașinilor de curgere. (DG Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.
Ahmed, NA și Miyatake, M. Un sistem de generare hibrid autonom care combină fotovoltaica solară și turbina eoliană cu un control simplu de urmărire a punctelor de putere maximă, IEEE Power Electronics și Motion Control Conference, 2006. IPEMC '06. CES / IEEE 5th International Volume 1, august 2006 Pagini: 1-7.

Elemente conexe

Portalul aviației

Portalul Energiei

Portal mecanic

V · D · M Energie eoliana
Aplicații	Moară de vânt · Vânt pompei · Turbine eoliane · nave care navighează
Tipuri de turbine eoliene	Aerodinamică · Axa verticală · Roată turbină eoliană · Darrieus · KiteGen · Magnetoeolico · Design · Float · Honeywell · Savonius · minieolico · vânt de mare altitudine
Modele de turbine eoliene	Enercon E-126 · Liberty - magnetoeolico · Honeywell · 35 dovedit · Quietrevolution · Revolutionair · Ropatec · Urbine
Industria energiei eoliene	Consultanți · Constructori · Software · Managementul parcurilor eoliene · Eolian în larg
Ferme de vant	Comunitate · Parcuri eoliene din întreaga lume · Parcuri eoliene offshore
Concepte	Energia eoliană · Legea Betz lui · resurselor eoliene Calcul · Capacitate Factor · Factor Disponibilitate · Verde Economie · Energie Randamentul energetic de investiții · Energie de stocare · de înaltă tensiune în curent · intermitența · câștig net de energie · stocare a energiei · Subventii. · Prognoza puterii vântului. · Legea puterii profilului vântului