Ecuații de echilibru

În fizică , o ecuație de echilibru este utilizată în descrierea legilor de conservare ^[1] .

În mecanica statistică , ecuațiile de echilibru pot fi deduse din ecuațiile de distribuție , cum ar fi ecuația Boltzmann .

Informațiile obținute datorită ecuațiilor de echilibru sunt mai modeste, dar oferă totuși unele informații cu privire la evoluția funcției de distribuție a ansamblului statistic luat în considerare. Prin variații infinitesimale, ecuațiile de echilibru sunt constituite dintr-o serie de corecții succesive care, cu cât sunt trunchiate mai târziu, cu atât este mai mare bunătatea aproximării. Corectitudinea metodei este garantată de teorema Liouville care asigură conservarea volumului în spațiul de fază . ^[2]

Ecuația echilibrului generic

Având în vedere un sistem cu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ grade de libertate , al căror spațiu de configurare este generat de $(q_{i})_{i=1,\dots ,k}$ ${\ displaystyle (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, k}}$ ${\ displaystyle (q_ {i}) _ {i = 1, \ dots, k}}$ coordonate generalizate , spațiul relativ de fază în coordonatele hamiltoniene este generat de perechi $(q_{i},p_{i})_{i=1,\dots ,k}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, k}}$ ${\ displaystyle (q_ {i}, p_ {i}) _ {i = 1, \ dots, k}}$ . În studiul fenomenelor de transport, în prezența unor cantități conservatoare , se folosește ecuația de echilibru , a cărei formulă generală este:

A=F+G=E-U+P-C

{\ displaystyle A = F + G = E-U + PC}

{\ displaystyle A = F + G = E-U + P-C}

unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este termenul de acumulare , $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ fluxul net sau diferența dintre termenul de intrare $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ și termenul de ieșire $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ termenul de generație , adică diferența dintre termenul de producție $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ iar cea a consumului $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Un caz particular, în categoria ecuațiilor de echilibru, sunt ecuațiile de conservare , adică ecuațiile de echilibru fără termenul de generație, în care fluxul net are doar componenta difuzivă. Lasa-i sa fie $f(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ o funcție de densitate de probabilitate , $s(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle s (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle s (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ o funcție care descrie orice creștere sau scădere a termenului de acumulare e $\phi (\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p})}$ o funcție, care descrie o proprietate generică, avem că valoarea sa medie este dată de integral:

\langle \phi \rangle ={\frac {1}{n}}\int \phi \cdot f\ \mathrm {d} \mathbf {p} ^{k}

{\ displaystyle \ langle \ phi \ rangle = {\ frac {1} {n}} \ int \ phi \ cdot f \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k}}

{\ displaystyle \ langle \ phi \ rangle = {\ frac {1} {n}} \ int \ phi \ cdot f \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k}}

Pentru a obține ecuația echilibrului generic este necesar să luați fiecare termen al ecuației Boltzmann și să îl multiplicați cu $\phi (\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p})}$ , pentru a-l integra apoi în $\mathrm {d} \mathbf {p} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {3}}$ . La ele le vom adăuga integralul în $\mathrm {d} \mathbf {p} ^{3}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {3}}$ din $s(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ ${\ displaystyle s (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle s (\ mathbf {q}, \ mathbf {p}, t)}$ înmulțit cu $\phi (\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p})}$ . Prin urmare, știind că ecuația lui Boltzmann este:

${\frac {\partial f}{\partial t}}=-\nabla _{\mathbf {q} }f\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}-\nabla _{\mathbf {p} }f\cdot \mathbf {F} ^{(e)}+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{collisioni}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = - \ nabla _ {\ mathbf {q}} f \ cdot {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} - \ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot \ mathbf {F} ^ {(e)} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {collisions}} }$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} = - \ nabla _ {\ mathbf {q}} f \ cdot {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} - \ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot \ mathbf {F} ^ {(e)} + \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {collisions}} }$

avem asta:

{\begin{aligned}&\int \phi \cdot {\frac {\partial f}{\partial t}}\ \mathrm {d} \mathbf {p} ^{k}={\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle \phi \rangle )\\&\int \phi \cdot \nabla _{\mathbf {p} }f\cdot \mathbf {F} ^{(e)}\ \mathrm {d} \mathbf {p} ^{k}=n\mathbf {F} ^{(e)}\cdot \langle \nabla _{\mathbf {p} }\phi \rangle \\&\int \phi \cdot \nabla _{\mathbf {q} }f\cdot {\frac {\mathbf {p} }{m}}\ \mathrm {d} \mathbf {p} ^{k}={\frac {1}{m}}\nabla _{\mathbf {q} }\cdot n\langle \phi \,\mathbf {p} \rangle \\&\int \phi \cdot \left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{collisioni}}\ \mathrm {d} \mathbf {p} ^{k}=R_{\phi }\\&\int \phi \cdot s\ \mathrm {d} \mathbf {p} ^{k}=S_{\phi }\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ int \ phi \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = {\ frac { \ partial} {\ partial t}} (n \ langle \ phi \ rangle) \\ & \ int \ phi \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot \ mathbf {F} ^ {(e) } \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = n \ mathbf {F} ^ {(e)} \ cdot \ langle \ nabla _ {\ mathbf {p}} \ phi \ rangle \\ & \ int \ phi \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {q}} f \ cdot {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = { \ frac {1} {m}} \ nabla _ {\ mathbf {q}} \ cdot n \ langle \ phi \, \ mathbf {p} \ rangle \\ & \ int \ phi \ cdot \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {collisions}} \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = R _ {\ phi} \\ & \ int \ phi \ cdot s \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = S _ {\ phi} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ int \ phi \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = {\ frac { \ partial} {\ partial t}} (n \ langle \ phi \ rangle) \\ & \ int \ phi \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {p}} f \ cdot \ mathbf {F} ^ {(e) } \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = n \ mathbf {F} ^ {(e)} \ cdot \ langle \ nabla _ {\ mathbf {p}} \ phi \ rangle \\ & \ int \ phi \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {q}} f \ cdot {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = { \ frac {1} {m}} \ nabla _ {\ mathbf {q}} \ cdot n \ langle \ phi \, \ mathbf {p} \ rangle \\ & \ int \ phi \ cdot \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) _ {\ text {collisions}} \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = R _ {\ phi} \\ & \ int \ phi \ cdot s \ \ mathrm {d} \ mathbf {p} ^ {k} = S _ {\ phi} \\\ end {align}}}

deci ecuația finală va fi:

{\frac {\partial }{\partial t}}(n\langle \phi \rangle )=-n\mathbf {F} ^{(e)}\cdot \langle \nabla _{\mathbf {p} }\phi \rangle -{\frac {1}{m}}\nabla _{\mathbf {q} }\cdot n\langle \phi \,\mathbf {p} \rangle +R_{\phi }+S_{\phi }

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (n \ langle \ phi \ rangle) = - n \ mathbf {F} ^ {(e)} \ cdot \ langle \ nabla _ {\ mathbf { p}} \ phi \ rangle - {\ frac {1} {m}} \ nabla _ {\ mathbf {q}} \ cdot n \ langle \ phi \, \ mathbf {p} \ rangle + R _ {\ phi } + S _ {\ phi}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} (n \ langle \ phi \ rangle) = - n \ mathbf {F} ^ {(e)} \ cdot \ langle \ nabla _ {\ mathbf { p}} \ phi \ rangle - {\ frac {1} {m}} \ nabla _ {\ mathbf {q}} \ cdot n \ langle \ phi \, \ mathbf {p} \ rangle + R _ {\ phi } + S _ {\ phi}}

La primul este termenul de acumulare, în timp ce la al doilea membru primii doi termeni sunt, respectiv, componenta convectivă și componenta difuzivă a fluxului net, iar al doilea doi reprezintă, în general, termenul de generare. Deoarece cantitățile studiate de obicei prin ecuațiile de echilibru sunt conservate în urma coliziunilor, avem în general acest lucru $R_{\phi }=0$ ${\ displaystyle R _ {\ phi} = 0}$ ${\ displaystyle R _ {\ phi} = 0}$ .

Aplicații

Ecuații de conservare

Ecuația de continuitate a masei

Ecuația de continuitate este o ecuație de conservare și se obține, în notație euleriană , pornind de la ecuația echilibrului generic prin setarea $\phi (\mathbf {p} )=m$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = m}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = m}$ : ^[3]

{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}=-\nabla \cdot {\bar {\rho }}\mathbf {v}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ bar {\ rho}}} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot {\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ bar {\ rho}}} {\ partial t}} = - \ nabla \ cdot {\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}}

fiind o ecuație de continuitate, avem că componenta convectivă a fluxului net este zero. Ecuația poate fi rearanjată în notație lagrangiană după cum urmează:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}=-({\bar {\rho }}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \nabla \cdot {\bar {\rho }})\\[4pt]&{\frac {\partial {\bar {\rho }}}{\partial t}}+\mathbf {v} \nabla \cdot {\bar {\rho }}=-{\bar {\rho }}\nabla \cdot \mathbf {v} \\[4pt]&{\frac {\mathrm {D} {\bar {\rho }}}{\mathrm {D} t}}=-{\bar {\rho }}\nabla \cdot \mathbf {v} \\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial {\ bar {\ rho}}} {\ partial t}} = - ({\ bar {\ rho}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v } + \ mathbf {v} \ nabla \ cdot {\ bar {\ rho}}) \\ [4pt] & {\ frac {\ partial {\ bar {\ rho}}} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ nabla \ cdot {\ bar {\ rho}} = - {\ bar {\ rho}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \\ [4pt] & {\ frac {\ mathrm {D} { \ bar {\ rho}}} {\ mathrm {D} t}} = - {\ bar {\ rho}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial {\ bar {\ rho}}} {\ partial t}} = - ({\ bar {\ rho}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v } + \ mathbf {v} \ nabla \ cdot {\ bar {\ rho}}) \\ [4pt] & {\ frac {\ partial {\ bar {\ rho}}} {\ partial t}} + \ mathbf {v} \ nabla \ cdot {\ bar {\ rho}} = - {\ bar {\ rho}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \\ [4pt] & {\ frac {\ mathrm {D} { \ bar {\ rho}}} {\ mathrm {D} t}} = - {\ bar {\ rho}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \\\ end {align}}}

unde termenul de la primul membru reprezintă derivatul material al densității .

Ecuația de continuitate pentru electron

În fizica semiconductorilor , ecuațiile de echilibru fac posibilă studierea fenomenelor de transport, de exemplu în domeniul dispozitivelor și metalelor semiconductoare. Prin analiza evoluției funcției de distribuție a purtătorului de sarcină este posibil să se obțină cantități diferite, cum ar fi conductivitatea termică și conductivitatea electrică. Prin inserarea unor termeni de relaxare care iau în considerare efectul coliziunilor care apar în timpul transportului, este posibil să se determine valorile medii ale vitezei și poziției purtătorilor. ^[2]

În general, prin urmare, analiza și simularea dispozitivelor se efectuează prin rezolvarea ecuațiilor de echilibru. Foarte des informațiile obținute datorită ecuațiilor de echilibru sunt suficiente pentru unele analize pentru dispozitivele electronice plasate sub efectul unui potențial electric. Evident, în acest caz vom avea că termenul convectiv, care reprezintă fracția din unitatea de volum a generației de electroni, va fi proporțional cu câmpul electric ( $\mathbf {F} =q\mathbf {E}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = q \ mathbf {E}}$ ), termenul difuziv va depinde de densitatea curentului electric $\mathbf {j} _{n}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {j} _ {n}}$ , în timp ce termenul $S_{n}$ ${\ displaystyle S_ {n}}$ $S_ {n}$ va fi legat de variația termenului de acumulare în funcție de crearea sau recombinarea purtătorilor. Alegerea $\phi (\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p})}$ variază în funcție de proprietatea pe care doriți să o studiați; de exemplu, dacă vrem să calculăm ecuația de echilibru pentru densitatea purtătorilor de semiconductori, se presupune impulsul și energia respectiv $\phi (\mathbf {p} )=1$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = 1}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = 1}$ , $\phi (\mathbf {p} )=m\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = m \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = m \ mathbf {v}}$ , $\phi (\mathbf {p} )=E(\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = E (\ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = E (\ mathbf {p})}$ . Prin urmare, ecuația de continuitate pentru electron este:

{\frac {\partial \rho _{e}}{\partial t}}=-q\mathbf {E} \cdot \nabla _{\mathbf {p} }\rho -\nabla \cdot \mathbf {j} _{n}+R_{n}+S_{n}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho _ {e}} {\ partial t}} = - q \ mathbf {E} \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {p}} \ rho - \ nabla \ cdot \ mathbf {j} _ {n} + R_ {n} + S_ {n}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho _ {e}} {\ partial t}} = - q \ mathbf {E} \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {p}} \ rho - \ nabla \ cdot \ mathbf {j} _ {n} + R_ {n} + S_ {n}}

In care $\rho _{e}(r,t)$ ${\ displaystyle \ rho _ {e} (r, t)}$ ${\ displaystyle \ rho _ {e} (r, t)}$ este densitatea purtătorilor.

Ecuații de echilibru

Echilibrul impulsului

Ecuația de echilibru a impulsului se obține, în notația euleriană, pornind de la ecuația de echilibru generică prin setare $\phi (\mathbf {p} )=m\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = m \ mathbf {v}}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = m \ mathbf {v}}$ : ^[4]

{\frac {\partial }{\partial t}}({\bar {\rho }}\mathbf {v} )=-\nabla \cdot ({\bar {\rho }}\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )-\nabla \cdot {\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}+{\bar {\rho }}\mathbf {g} -\nabla p

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}) = - \ nabla \ cdot ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v } \ otimes \ mathbf {v}) - \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} + {\ bar {\ rho}} \ mathbf {g} - \ nabla p}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}) = - \ nabla \ cdot ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v } \ otimes \ mathbf {v}) - \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} + {\ bar {\ rho}} \ mathbf {g} - \ nabla p}

unde este ${\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}}}$ ${\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}}}$ este tensorul tensiunilor vâscoase . Termenul de generare este alcătuit din două componente: prima legată de forțele de volum, deci gravitația , și a doua legată de forțele de suprafață, sau de presiune .

Ecuația poate fi rearanjată în notație lagrangiană după cum urmează:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}({\bar {\rho }}\mathbf {v} )+\nabla \cdot ({\bar {\rho }}\mathbf {v} \otimes \mathbf {v} )=-\nabla \cdot {\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}+{\bar {\rho }}\mathbf {g} -\nabla p\\[4pt]&{\bar {\rho }}{\frac {\mathrm {D} \mathbf {v} }{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot {\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}+{\bar {\rho }}\mathbf {g} -\nabla p\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}) + \ nabla \ cdot ({\ bar {\ rho }} \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}) = - \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} + {\ bar {\ rho}} \ mathbf {g } - \ nabla p \\ [4pt] & {\ bar {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {v}} {\ mathrm {D} t}} = - \ nabla \ cdot { \ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} + {\ bar {\ rho}} \ mathbf {g} - \ nabla p \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}) + \ nabla \ cdot ({\ bar {\ rho }} \ mathbf {v} \ otimes \ mathbf {v}) = - \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} + {\ bar {\ rho}} \ mathbf {g } - \ nabla p \\ [4pt] & {\ bar {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D} \ mathbf {v}} {\ mathrm {D} t}} = - \ nabla \ cdot { \ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} + {\ bar {\ rho}} \ mathbf {g} - \ nabla p \\\ end {align}}}

Bilanțul energetic

Ecuația echilibrului energetic se obține, în notație euleriană, pornind de la ecuația echilibrului generic prin setare $\phi (\mathbf {p} )={\frac {1}{2}}mv^{2}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = {\ frac {1} {2}} mv ^ {2}}$ : ^[5]

{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {\rho }}{\hat {E}}\right)=-\nabla \cdot \left({\bar {\rho }}\mathbf {v} {\hat {E}}\right)-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)+{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )-\nabla \cdot p\mathbf {v} -\nabla \cdot \left({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot \mathbf {v} \right)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ bar {\ rho}} {\ hat {E}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ left ({\ bar { \ rho}} \ mathbf {v} {\ hat {E}} \ right) - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right ) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline { \ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ bar {\ rho}} {\ hat {E}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ left ({\ bar { \ rho}} \ mathbf {v} {\ hat {E}} \ right) - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right ) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline { \ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right)}

unde este $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ este densitatea curentului termic . Termenul de generare este alcătuit din patru componente: prima este legată de transportul prin radiație , unde ${\mathcal {E}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$ reprezintă energia pierdută prin emisia de fotoni de către particulele sistemului e ${\mathcal {A}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ ${\ mathcal A}$ reprezintă energia câștigată de sistem prin absorbția fotonilor de către particulele sistemului, a doua legată de forțele de volum, deci de gravitație, și a treia legată de forțele de suprafață, sau de presiune și frecare .

Ecuația poate fi rearanjată în notație lagrangiană după cum urmează:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {\rho }}{\hat {E}}\right)=-\nabla \cdot \left({\bar {\rho }}\mathbf {v} {\hat {E}}\right)-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)+{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )-\nabla \cdot p\mathbf {v} -\nabla \cdot \left({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot \mathbf {v} \right)\\[4pt]&{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {\rho }}{\hat {E}}\right)+\nabla \cdot \left({\bar {\rho }}\mathbf {v} {\hat {E}}\right)=-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)+{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )-\nabla \cdot p\mathbf {v} -\nabla \cdot \left({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot \mathbf {v} \right)\\[4pt]{\bar {\rho }}&{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left({\hat {E}}\right)=-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)+{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )-\nabla \cdot p\mathbf {v} -\nabla \cdot \left({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot \mathbf {v} \right)\\[4pt]{\bar {\rho }}&{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left({\hat {U}}+{\frac {1}{2}}v^{2}\right)=-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)+{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )-\nabla \cdot p\mathbf {v} -\nabla \cdot \left({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot \mathbf {v} \right)\\[4pt]{\bar {\rho }}&{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left({\hat {U}}\right)+{\bar {\rho }}{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)=-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)+{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )-\nabla \cdot p\mathbf {v} -\nabla \cdot \left({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot \mathbf {v} \right)\\[4pt]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ bar {\ rho}} {\ hat {E}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ left ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v} {\ hat {E}} \ right) - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ( {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [4pt] & {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ bar {\ rho}} {\ hat {E}} \ right) + \ nabla \ cdot \ left ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v} {\ hat {E}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf { g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [4pt] {\ bar {\ rho}} și {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {E}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [4pt] {\ bar {\ rho}} & {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} + {\ frac {1} {2}} v ^ {2} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g }) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [ 4pt] {\ bar {\ rho}} și {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} \ right) + {\ bar {\ rho }} {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ frac {1} {2}} v ^ {2} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [4pt] \ end {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ bar {\ rho}} {\ hat {E}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ left ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v} {\ hat {E}} \ right) - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ( {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [4pt] & {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ bar {\ rho}} {\ hat {E}} \ right) + \ nabla \ cdot \ left ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v} {\ hat {E}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf { g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [4pt] {\ bar {\ rho}} și {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {E}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [4pt] {\ bar {\ rho}} & {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} + {\ frac {1} {2}} v ^ {2} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g }) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [ 4pt] {\ bar {\ rho}} și {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} \ right) + {\ bar {\ rho }} {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ frac {1} {2}} v ^ {2} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} cdot \ mathbf {v} \ right) \\ [4pt] \ end {aliniat}}}

Știind că echilibrul specific al energiei cinetice în notația lagrangiană este:

{\begin{aligned}{\bar {\rho }}{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)&={\bar {\rho }}\left(\mathbf {v} \cdot {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {v} \right)=-\mathbf {v} \cdot \left(\nabla \cdot {\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\right)+{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )-\mathbf {v} \cdot \nabla p=\\[4pt]&=-\nabla \cdot \left({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot v\right)+{\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\odot \nabla \mathbf {v} +{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )-\nabla \cdot p\mathbf {v} +p\nabla \mathbf {v} \\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ frac {1} {2}} v ^ {2} \ right) & = {\ bar {\ rho}} \ left (\ mathbf {v} \ cdot {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ mathbf {v } \ right) = - \ mathbf {v} \ cdot \ left (\ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ mathbf {v} \ cdot \ nabla p = \\ [4pt] & = - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot v \ right) + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v} + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf { v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} + p \ nabla \ mathbf {v} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ frac {1} {2}} v ^ {2} \ right) & = {\ bar {\ rho}} \ left (\ mathbf {v} \ cdot {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ mathbf {v } \ right) = - \ mathbf {v} \ cdot \ left (\ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ mathbf {v} \ cdot \ nabla p = \\ [4pt] & = - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot v \ right) + {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v} + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf { v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} + p \ nabla \ mathbf {v} \\\ end {align}}}

considerăm că echilibrul energetic intern în notația lagrangiană este egal cu:

{\begin{aligned}{\bar {\rho }}&{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left({\hat {U}}\right)=-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)+{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )-\nabla \cdot p\mathbf {v} -\nabla \cdot \left({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot \mathbf {v} \right)-{\bar {\rho }}{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left({\frac {1}{2}}v^{2}\right)\\[4pt]{\bar {\rho }}&{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left({\hat {U}}\right)=-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)+{\cancel {{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )}}-{\cancel {\nabla \cdot p\mathbf {v} }}-{\cancel {\nabla \cdot \left({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot \mathbf {v} \right)}}+{\cancel {\nabla \cdot ({\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\cdot \mathbf {v} )}}-{\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\odot \nabla \mathbf {v} -{\cancel {{\bar {\rho }}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {g} )}}+{\cancel {\nabla \cdot p\mathbf {v} }}+p\nabla \mathbf {v} \\[4pt]{\bar {\rho }}&{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\left({\hat {U}}\right)=-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)-{\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\odot \nabla \mathbf {v} +p\nabla \mathbf {v} \\[4pt]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {\ rho}} și {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right ) - {\ bar {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ frac {1} {2}} v ^ {2} \ right) \\ [4pt] {\ bar {\ rho}} și {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ cancel {{\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g})}} - {\ cancel {\ nabla \ cdot p \ mathbf {v}}} - {\ cancel {\ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau} }}} \ cdot \ mathbf {v} \ right)}} + {\ cancel {\ nabla \ cdot ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v})} } - {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v} - {\ cancel {{\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g })}} + {\ cancel {\ nabla \ cdot p \ mathbf {v}}} + p \ nabla \ mathbf {v} \\ [4pt] {\ bar {\ rho}} & {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - { \ mathcal {A}} \ right) - {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v} + p \ nabla \ mathbf {v} \\ [4pt] \ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {\ rho}} și {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g}) - \ nabla \ cdot p \ mathbf {v} - \ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v} \ right ) - {\ bar {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ frac {1} {2}} v ^ {2} \ right) \\ [4pt] {\ bar {\ rho}} și {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) + {\ cancel {{\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g})}} - {\ cancel {\ nabla \ cdot p \ mathbf {v}}} - {\ cancel {\ nabla \ cdot \ left ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau} }}} \ cdot \ mathbf {v} \ right)}} + {\ cancel {\ nabla \ cdot ({\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ cdot \ mathbf {v})} } - {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v} - {\ cancel {{\ bar {\ rho}} (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {g })}} + {\ cancel {\ nabla \ cdot p \ mathbf {v}}} + p \ nabla \ mathbf {v} \\ [4pt] {\ bar {\ rho}} & {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ left ({\ hat {U}} \ right) = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - { \ mathcal {A}} \ right) - {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v} + p \ nabla \ mathbf {v} \\ [4pt] \ sfârșit {aliniat}}}

Deoarece cele două posibile forme 1 diferențiale asociate cu energia internă specifică ${\hat {U}}$ ${\ displaystyle {\ hat {U}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {U}}}$ sunt egale cu:

{\begin{aligned}\mathrm {d} {\hat {U}}&=\left({\frac {\partial {\hat {U}}}{\partial T}}\right)_{\hat {V}}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial {\hat {U}}}{\partial {\hat {V}}}}\right)_{T}\mathrm {d} {\hat {V}}={\hat {c}}_{V}\ \mathrm {d} T+\left[T\left({\frac {\partial {\hat {S}}}{\partial {\hat {V}}}}\right)_{T}-p\right]\ \mathrm {d} {\hat {V}}=\\[4pt]&={\hat {c}}_{V}\ \mathrm {d} T+\left[T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{\hat {V}}-p\right]\mathrm {d} {\hat {V}}\\[4pt]\mathrm {d} {\hat {U}}&=\mathrm {d} {\hat {H}}-\mathrm {d} \left(p{\hat {V}}\right)=\left({\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial T}}\right)_{p}\mathrm {d} T+\left({\frac {\partial {\hat {H}}}{\partial p}}\right)_{T}\mathrm {d} p-\mathrm {d} \left(p{\hat {V}}\right)={\hat {c}}_{p}\ \mathrm {d} T+\left[T\left({\frac {\partial {\hat {S}}}{\partial p}}\right)_{T}-{\hat {V}}\right]\ \mathrm {d} p-\mathrm {d} \left(p{\hat {V}}\right)=\\[4pt]&={\hat {c}}_{p}\ \mathrm {d} T+\left[T\left({\frac {\partial {\hat {V}}}{\partial T}}\right)_{p}-{\hat {V}}\right]\ \mathrm {d} p-p\mathrm {d} {\hat {V}}-{\hat {V}}\mathrm {d} p\\[4pt]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} {\ hat {U}} & = \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {U}}} {\ partial T}} \ right) _ {\ hat {V}} \ mathrm {d} T + \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {U}}} {\ partial {\ hat {V}}}} \ right) _ {T} \ mathrm {d} {\ hat {V}} = {\ hat {c}} _ {V} \ \ mathrm {d} T + \ left [T \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {S }}} {\ partial {\ hat {V}}}} \ right) _ {T} -p \ right] \ \ mathrm {d} {\ hat {V}} = \\ [4pt] & = {\ hat {c}} _ {V} \ \ mathrm {d} T + \ left [T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {\ hat {V}} - p \ right] \ mathrm {d} {\ hat {V}} \\ [4pt] \ mathrm {d} {\ hat {U}} & = \ mathrm {d} {\ hat {H}} - \ mathrm {d} \ left (p {\ hat {V}} \ right) = \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {H}}} {\ partial T}} \ right) _ {p} \ mathrm {d} T + \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {H}}} {\ partial p}} \ right) _ {T} \ mathrm {d} p- \ mathrm {d} \ left ( p {\ hat {V}} \ right) = {\ hat {c}} _ {p} \ \ mathrm {d} T + \ left [T \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {S} }} {\ partial p}} \ right) _ {T} - {\ hat {V}} \ right] \ \ mathrm {d} p- \ mathrm {d} \ left (p {\ hat {V}} \ right) = \ \ [4pt] & = {\ hat {c}} _ {p} \ \ mathrm {d} T + \ left [T \ left ({\ frac {\ partia l {\ hat {V}}} {\ partial T}} \ right) _ {p} - {\ hat {V}} \ right] \ \ mathrm {d} pp \ mathrm {d} {\ hat {V }} - {\ hat {V}} \ mathrm {d} p \\ [4pt] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathrm {d} {\ hat {U}} & = \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {U}}} {\ partial T}} \ right) _ {\ hat {V}} \ mathrm {d} T + \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {U}}} {\ partial {\ hat {V}}}} \ right) _ {T} \ mathrm {d} {\ hat {V}} = {\ hat {c}} _ {V} \ \ mathrm {d} T + \ left [T \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {S }}} {\ partial {\ hat {V}}}} \ right) _ {T} -p \ right] \ \ mathrm {d} {\ hat {V}} = \\ [4pt] & = {\ hat {c}} _ {V} \ \ mathrm {d} T + \ left [T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {\ hat {V}} - p \ right] \ mathrm {d} {\ hat {V}} \\ [4pt] \ mathrm {d} {\ hat {U}} & = \ mathrm {d} {\ hat {H}} - \ mathrm {d} \ left (p {\ hat {V}} \ right) = \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {H}}} {\ partial T}} \ right) _ {p} \ mathrm {d} T + \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {H}}} {\ partial p}} \ right) _ {T} \ mathrm {d} p- \ mathrm {d} \ left ( p {\ hat {V}} \ right) = {\ hat {c}} _ {p} \ \ mathrm {d} T + \ left [T \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {S} }} {\ partial p}} \ right) _ {T} - {\ hat {V}} \ right] \ \ mathrm {d} p- \ mathrm {d} \ left (p {\ hat {V}} \ right) = \ \ [4pt] & = {\ hat {c}} _ {p} \ \ mathrm {d} T + \ left [T \ left ({\ frac {\ partia l {\ hat {V}}} {\ partial T}} \ right) _ {p} - {\ hat {V}} \ right] \ \ mathrm {d} pp \ mathrm {d} {\ hat {V }} - {\ hat {V}} \ mathrm {d} p \\ [4pt] \ end {align}}}

înlocuind cele două formulări ale bilanțului energetic intern în notație lagrangiană se obțin:

{\begin{aligned}{\bar {\rho }}{\hat {c}}_{V}&{\frac {\mathrm {D} T}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)-{\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\odot \nabla \mathbf {v} +T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{\hat {V}}\nabla \cdot \mathbf {v} \\[4pt]{\bar {\rho }}{\hat {c}}_{p}&{\frac {\mathrm {D} T}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {q} -\left({\mathcal {E}}-{\mathcal {A}}\right)-{\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}\odot \nabla \mathbf {v} +T\left({\frac {\partial {\hat {V}}}{\partial T}}\right)_{p}{\bar {\rho }}{\frac {\mathrm {D} p}{\mathrm {D} t}}\\[4pt]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {\ rho}} {\ hat {c}} _ {V} & {\ frac {\ mathrm {D} T} {\ mathrm {D} t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) - {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v} + T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {\ hat {V}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \\ [ 4pt] {\ bar {\ rho}} {\ hat {c}} _ {p} & {\ frac {\ mathrm {D} T} {\ mathrm {D} t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) - {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v } + T \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {V}}} {\ partial T}} \ right) _ {p} {\ bar {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D} p} {\ mathrm {D} t}} \\ [4pt] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ bar {\ rho}} {\ hat {c}} _ {V} & {\ frac {\ mathrm {D} T} {\ mathrm {D} t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) - {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v} + T \ left ({\ frac {\ partial p} {\ partial T}} \ right) _ {\ hat {V}} \ nabla \ cdot \ mathbf {v} \\ [ 4pt] {\ bar {\ rho}} {\ hat {c}} _ {p} & {\ frac {\ mathrm {D} T} {\ mathrm {D} t}} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {q} - \ left ({\ mathcal {E}} - {\ mathcal {A}} \ right) - {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} \ odot \ nabla \ mathbf {v } + T \ left ({\ frac {\ partial {\ hat {V}}} {\ partial T}} \ right) _ {p} {\ bar {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {D} p} {\ mathrm {D} t}} \\ [4pt] \ end {align}}}

Echilibrul material

Ecuația echilibrului materiei pentru a i-a specie a unui amestec, în notație euleriană, poate fi obținută pornind de la ecuația echilibrului generic în diferite moduri, în funcție de definiția concentrației alese. ^[1]

Ecuația echilibrului în termeni de concentrație molară se obține prin plasare $\phi (\mathbf {p} )={\dot {n}}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = {\ dot {n}}}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = {\ dot {n}}}$ :

{\frac {\partial }{\partial t}}c_{i}=-\nabla \cdot c_{i}\mathbf {v} _{n}^{*}-\nabla \cdot \mathbf {J} _{n,i}+R_{n,i}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} c_ {i} = - \ nabla \ cdot c_ {i} \ mathbf {v} _ {n} ^ {*} - \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _ {n, i} + R_ {n, i}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} c_ {i} = - \ nabla \ cdot c_ {i} \ mathbf {v} _ {n} ^ {*} - \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _ {n, i} + R_ {n, i}}

În mod similar, ecuația echilibrului în termeni de concentrație de masă se obține prin stabilire $\phi (\mathbf {p} )={\dot {m}}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = {\ dot {m}}}$ ${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {p}) = {\ dot {m}}}$ :

{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{i}=-\nabla \cdot \rho _{i}\mathbf {v} _{m}^{*}-\nabla \cdot \mathbf {J} _{m,i}+R_{m,i}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho _ {i} = - \ nabla \ cdot \ rho _ {i} \ mathbf {v} _ {m} ^ {*} - \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _ {m, i} + R_ {m, i}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ rho _ {i} = - \ nabla \ cdot \ rho _ {i} \ mathbf {v} _ {m} ^ {*} - \ nabla \ cdot \ mathbf {J} _ {m, i} + R_ {m, i}}

unde este $\mathbf {v} _{n}^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {n} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {n} ^ {*}}$ Și $\mathbf {v} _{m}^{*}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {m} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {m} ^ {*}}$ sono le velocità del centro di massa , rispettivamente, molare e massico, mentre $\mathbf {J} _{n,i}$ $\mathbf {J} _{n,i}$ $\mathbf {J} _{n,i}$ e $\mathbf {J} _{m,i}$ $\mathbf {J} _{m,i}$ $\mathbf {J} _{m,i}$ sono le densità di flusso , rispettivamente, molare e massico, inoltre i termini di generazione $R_{n,i}$ $R_{n,i}$ $R_{n,i}$ e $R_{m,i}$ $R_{m,i}$ $R_{m,i}$ dipendono dalla velocità di reazione . Le densità di flusso totali sono definite come $\mathbf {N} _{n,i}=c_{i}\mathbf {v} _{n}^{*}+\mathbf {J} _{n,i}$ $\mathbf {N} _{n,i}=c_{i}\mathbf {v} _{n}^{*}+\mathbf {J} _{n,i}$ $\mathbf {N} _{n,i}=c_{i}\mathbf {v} _{n}^{*}+\mathbf {J} _{n,i}$ e $\mathbf {N} _{m,i}=\rho _{i}\mathbf {v} _{m}^{*}+\mathbf {J} _{m,i}$ $\mathbf {N} _{m,i}=\rho _{i}\mathbf {v} _{m}^{*}+\mathbf {J} _{m,i}$ $\mathbf {N} _{m,i}=\rho _{i}\mathbf {v} _{m}^{*}+\mathbf {J} _{m,i}$ , pertanto le equazioni possono essere riscritte come:

{\frac {\partial }{\partial t}}c_{i}=-\nabla \cdot \mathbf {N} _{n,i}+R_{n,i}\qquad {\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{i}=-\nabla \cdot \mathbf {N} _{m,i}+R_{m,i}

{\frac {\partial }{\partial t}}c_{i}=-\nabla \cdot \mathbf {N} _{n,i}+R_{n,i}\qquad {\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{i}=-\nabla \cdot \mathbf {N} _{m,i}+R_{m,i}

{\frac {\partial }{\partial t}}c_{i}=-\nabla \cdot \mathbf {N} _{n,i}+R_{n,i}\qquad {\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{i}=-\nabla \cdot \mathbf {N} _{m,i}+R_{m,i}

Analogamente ad altri casi, le equazioni possono essere riarrangiate in notazione lagrangiana:

{\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}c_{i}+\nabla \cdot c_{i}\mathbf {v} _{n}^{*}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{n,i}+R_{n,i}\\[4pt]c_{\text{tot}}&{\frac {\mathrm {D} x_{i}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{n,i}+\left(R_{n,i}-x_{i}\textstyle {\sum _{j}}R_{n,j}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{i}+\nabla \cdot \rho _{i}\mathbf {v} _{m}^{*}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{m,i}+R_{m,i}\\[4pt]{\bar {\rho }}&{\frac {\mathrm {D} w_{i}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{m,i}+\left(R_{m,i}-w_{i}\textstyle {\sum _{j}}R_{m,j}\right)\\[4pt]\end{aligned}}

{\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}c_{i}+\nabla \cdot c_{i}\mathbf {v} _{n}^{*}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{n,i}+R_{n,i}\\[4pt]c_{\text{tot}}&{\frac {\mathrm {D} x_{i}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{n,i}+\left(R_{n,i}-x_{i}\textstyle {\sum _{j}}R_{n,j}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{i}+\nabla \cdot \rho _{i}\mathbf {v} _{m}^{*}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{m,i}+R_{m,i}\\[4pt]{\bar {\rho }}&{\frac {\mathrm {D} w_{i}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{m,i}+\left(R_{m,i}-w_{i}\textstyle {\sum _{j}}R_{m,j}\right)\\[4pt]\end{aligned}}

{\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}c_{i}+\nabla \cdot c_{i}\mathbf {v} _{n}^{*}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{n,i}+R_{n,i}\\[4pt]c_{\text{tot}}&{\frac {\mathrm {D} x_{i}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{n,i}+\left(R_{n,i}-x_{i}\textstyle {\sum _{j}}R_{n,j}\right)\\[4pt]\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{i}+\nabla \cdot \rho _{i}\mathbf {v} _{m}^{*}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{m,i}+R_{m,i}\\[4pt]{\bar {\rho }}&{\frac {\mathrm {D} w_{i}}{\mathrm {D} t}}=-\nabla \cdot \mathbf {J} _{m,i}+\left(R_{m,i}-w_{i}\textstyle {\sum _{j}}R_{m,j}\right)\\[4pt]\end{aligned}}

dove $x_{i}$ $x_{i}$ $x_i$ e $w_{i}$ $w_{i}$ $w_{i}$ sono, rispettivamente, la frazione molare e la frazione massica. Sommando i bilanci di ogni singola specie di una miscela composta da $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ componenti si ottiene il bilancio totale:

{\frac {\partial }{\partial t}}c_{\text{tot}}=-\nabla \cdot c_{\text{tot}}\mathbf {v} _{n}^{*}-{\cancel {\nabla \cdot {\textstyle {\sum _{i}}}\mathbf {J} _{n,i}}}+{\textstyle {\sum _{i}}}R_{n,i}\qquad {\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{\text{tot}}=-\nabla \cdot \rho _{\text{tot}}\mathbf {v} _{m}^{*}-{\cancel {\nabla \cdot {\textstyle {\sum _{i}}}\mathbf {J} _{m,i}}}+{\cancel {{\textstyle {\sum _{i}}}R_{m,i}}}

{\frac {\partial }{\partial t}}c_{\text{tot}}=-\nabla \cdot c_{\text{tot}}\mathbf {v} _{n}^{*}-{\cancel {\nabla \cdot {\textstyle {\sum _{i}}}\mathbf {J} _{n,i}}}+{\textstyle {\sum _{i}}}R_{n,i}\qquad {\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{\text{tot}}=-\nabla \cdot \rho _{\text{tot}}\mathbf {v} _{m}^{*}-{\cancel {\nabla \cdot {\textstyle {\sum _{i}}}\mathbf {J} _{m,i}}}+{\cancel {{\textstyle {\sum _{i}}}R_{m,i}}}

{\frac {\partial }{\partial t}}c_{\text{tot}}=-\nabla \cdot c_{\text{tot}}\mathbf {v} _{n}^{*}-{\cancel {\nabla \cdot {\textstyle {\sum _{i}}}\mathbf {J} _{n,i}}}+{\textstyle {\sum _{i}}}R_{n,i}\qquad {\frac {\partial }{\partial t}}\rho _{\text{tot}}=-\nabla \cdot \rho _{\text{tot}}\mathbf {v} _{m}^{*}-{\cancel {\nabla \cdot {\textstyle {\sum _{i}}}\mathbf {J} _{m,i}}}+{\cancel {{\textstyle {\sum _{i}}}R_{m,i}}}

Note

^ ^a ^b SR de Groot e P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , New York, Dover Publications Inc., 1984, ISBN 978-0-486-64741-8 .
^ ^a ^b Neil W Ashcroft e N David Mermin, Solid state physics , 1976.
^ SR de Groot e P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , New York, Dover Publications Inc., 1984, ISBN 978-0-486-64741-8 .
^ SR de Groot e P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , New York, Dover Publications Inc., 1984, ISBN 978-0-486-64741-8 .
^ SR de Groot e P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , New York, Dover Publications Inc., 1984, ISBN 978-0-486-64741-8 .

Bibliografia

R. Byron Bird, Warren E. Stewart e Edwin N. Lightfool, Transport Phenomena , Madison, Wisconsin, John Wiley & Sons, Inc., 2002.

Voci correlate

Bilancio

Portale Fisica

Portale Ingegneria

[dG1984-1] SR de Groot e P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , New York, Dover Publications Inc., 1984, ISBN 978-0-486-64741-8 .

[:0-2] Neil W Ashcroft e N David Mermin, Solid state physics , 1976.

[dG19844-3] SR de Groot e P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , New York, Dover Publications Inc., 1984, ISBN 978-0-486-64741-8 .

[dG19843-4] SR de Groot e P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , New York, Dover Publications Inc., 1984, ISBN 978-0-486-64741-8 .

[dG19845-5] SR de Groot e P. Mazur, Non-Equilibrium Thermodynamics , New York, Dover Publications Inc., 1984, ISBN 978-0-486-64741-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]