Deformații în fluide

În contextul studiului mecanicii fluidelor, este de o importanță considerabilă să știm care sunt deformațiile și relațiile care există între solicitări și deformări în fluide.

Deformații în fluide reale

Relațiile dintre deformații și solicitări într-un mod complet general sunt contemplate în articolul specific Deformații elastice și plastice ; care este punctul de plecare pentru a înțelege care sunt deformațiile din fluidele reale.

Pentru a defini deformațiile plastice care apar într-un fluid înțeles ca un sistem continuu și izotrop, este necesar să se reprezinte viteza cu care un element de volum infinitezimal se deplasează în interiorul fluidului într-un mod complet general cu translații, rotații și deformări.

A stabilit în mod arbitrar un sistem de referință al unui punct O care la rândul său se mișcă cu viteză macroscopică $\langle {\bar {v}}\rangle _{0}=(\langle v\rangle _{0x},\langle v\rangle _{0y},\langle v\rangle _{0z})$ ${\ displaystyle \ langle {\ bar {v}} \ rangle _ {0} = (\ langle v \ rangle _ {0x}, \ langle v \ rangle _ {0y}, \ langle v \ rangle _ {0z}) }$ ${\ displaystyle \ langle {\ bar {v}} \ rangle _ {0} = (\ langle v \ rangle _ {0x}, \ langle v \ rangle _ {0y}, \ langle v \ rangle _ {0z}) }$ lângă punctul nostru P (x, y, z) :

\langle v\rangle _{x}(x,y,z)=\langle v\rangle _{0x}+(\omega _{y}dz-\omega _{z}dy)+{\frac {\partial \langle v\rangle _{x}}{\partial x}}dx+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial \langle v\rangle _{y}}{\partial x}}\right)dy+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial \langle v\rangle _{z}}{\partial x}}\right)dz

{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {x} (x, y, z) = \ langle v \ rangle _ {0x} + (\ omega _ {y} dz- \ omega _ {z} dy) + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial x}} dx + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x} } {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial x}} \ right) dy + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial x}} \ right) dz}

{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {x} (x, y, z) = \ langle v \ rangle _ {0x} + (\ omega _ {y} dz- \ omega _ {z} dy) + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial x}} dx + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x} } {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial x}} \ right) dy + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial x}} \ right) dz}

\langle v\rangle _{y}(x,y,z)=\langle v\rangle _{0y}+(\omega _{z}dx-\omega _{x}dz)+{\frac {\partial \langle v\rangle _{y}}{\partial y}}dy+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial \langle v\rangle _{x}}{\partial y}}\right)dx+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial \langle v\rangle _{z}}{\partial y}}\right)dz

{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {y} (x, y, z) = \ langle v \ rangle _ {0y} + (\ omega _ {z} dx- \ omega _ {x} dz) + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial y}} dy + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y} } {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial y}} \ right) dx + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial y}} \ right) dz}

{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {y} (x, y, z) = \ langle v \ rangle _ {0y} + (\ omega _ {z} dx- \ omega _ {x} dz) + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial y}} dy + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y} } {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial y}} \ right) dx + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial y}} \ right) dz}

\langle v\rangle _{z}(x,y,z)=\langle v\rangle _{0z}+(\omega _{x}dy-\omega _{y}dx)+{\frac {\partial \langle v\rangle _{z}}{\partial z}}dz+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial \langle v\rangle _{x}}{\partial z}}\right)dx+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial \langle v\rangle _{y}}{\partial z}}\right)dy

{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {z} (x, y, z) = \ langle v \ rangle _ {0z} + (\ omega _ {x} dy- \ omega _ {y} dx) + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial z}} dz + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z} } {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial z}} \ right) dx + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial z}} \ right) dy}

{\ displaystyle \ langle v \ rangle _ {z} (x, y, z) = \ langle v \ rangle _ {0z} + (\ omega _ {x} dy- \ omega _ {y} dx) + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial z}} dz + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z} } {\ partial x}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial z}} \ right) dx + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial z}} \ right) dy}

Din aceste relații generale putem deduce mișcarea punctului compus din:

traducere cu viteză: $\langle {\bar {v}}\rangle _{0}=(\langle v\rangle _{0x},\langle v\rangle _{0y},\langle v\rangle _{0z})$ ${\ displaystyle \ langle {\ bar {v}} \ rangle _ {0} = (\ langle v \ rangle _ {0x}, \ langle v \ rangle _ {0y}, \ langle v \ rangle _ {0z}) }$ ${\ displaystyle \ langle {\ bar {v}} \ rangle _ {0} = (\ langle v \ rangle _ {0x}, \ langle v \ rangle _ {0y}, \ langle v \ rangle _ {0z}) }$ ;

rotație cu viteză unghiulară: ${\bar {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})$ ${\ displaystyle {\ bar {\ omega}} = (\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z})}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ omega}} = (\ omega _ {x}, \ omega _ {y}, \ omega _ {z})}$

\omega _{x}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial \langle v\rangle _{y}}{\partial z}}\right)\,\omega _{y}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial \langle v\rangle _{z}}{\partial x}}\right)\,\omega _{z}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial \langle v\rangle _{x}}{\partial y}}\right)

{\ displaystyle \ omega _ {x} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial y}} - {\ frac { \ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial z}} \ right) \, \ omega _ {y} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial x}} \ right) \, \ omega _ {z} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x }} {\ partial y}} \ right)}

{\ displaystyle \ omega _ {x} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial y}} - {\ frac { \ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial z}} \ right) \, \ omega _ {y} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x}} {\ partial z}} - {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {z}} {\ partial x}} \ right) \, \ omega _ {z} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {y}} {\ partial x}} - {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {x }} {\ partial y}} \ right)}

care în formă vectorială este exprimată în rotor :

{\bar {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \langle {\bar {v}}\rangle

{\ displaystyle {\ bar {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} \ nabla \ times \ langle {\ bar {v}} \ rangle}

{\ displaystyle {\ bar {\ omega}} = {\ frac {1} {2}} \ nabla \ times \ langle {\ bar {v}} \ rangle}

unde este $2\omega =\nabla \times \langle {\bar {v}}\rangle$ ${\ displaystyle 2 \ omega = \ nabla \ times \ langle {\ bar {v}} \ rangle}$ ${\ displaystyle 2 \ omega = \ nabla \ times \ langle {\ bar {v}} \ rangle}$ se numește vorticitate .

deformare dată de relații:

{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial \langle v\rangle _{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial \langle v\rangle _{j}}{\partial x_{i}}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {i}} {\ partial x_ {j}}} + {\ frac {\ partial \ langle v \ rangle _ {j}} {\ partial x_ {i}}} \ right)}

cu $i,j=1,2,3$ ${\ displaystyle i, j = 1,2,3}$ ${\ displaystyle i, j = 1,2,3}$ .

Forțe de volum

Forțele de volum sunt acele forțe proporționale cu volumul sistemului continuu. Un exemplu notabil este o forță de volum proporțională cu accelerația gravitației.

Forțele de suprafață

Forțele de suprafață sunt acele forțe care acționează asupra unui sistem continuu izotrop proporțional cu suprafața sistemului. Forțele tipice de suprafață sunt tensiunea normală (presiune) și tensiunea de forfecare (forfecare).

Stresul de forfecare în special este forța care se opune mișcării unui strat fluid pe celălalt (având în vedere deplasarea de-a lungul axei x pozitive). Dacă forța activă este constantă, forța care creează tensiunea de forfecare este proporțională cu viteza v a stratului deasupra suprafeței de contact S și invers proporțională cu adâncimea h ; noi sunam ${\bar {F}}_{\tau }$ ${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {\ tau}}$ ${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {\ tau}}$ această forță:

{\bar {F}}_{\tau }=-\eta {\frac {S{\bar {v}}}{h}}

{\ displaystyle {\ bar {F}} _ {\ tau} = - \ eta {\ frac {S {\ bar {v}}} {h}}}

{\ displaystyle {\ bar {F}} _ {\ tau} = - \ eta {\ frac {S {\ bar {v}}} {h}}}

unde este $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ este coeficientul de vâscozitate în $\left[Pa\cdot s\right]$ ${\ displaystyle \ left [Pa \ cdot s \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [Pa \ cdot s \ right]}$ .

Efortul transmis de mișcarea stratului superior devine:

{\bar {\sigma }}_{xy}=-{\frac {{\bar {F}}_{\tau }}{S}}=\eta {\frac {\bar {v}}{h}}=\eta {\frac {dv_{x}}{dy}}

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} _ {xy} = - {\ frac {{\ bar {F}} _ {\ tau}} {S}} = \ eta {\ frac {\ bar {v} } {h}} = \ eta {\ frac {dv_ {x}} {dy}}}

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} _ {xy} = - {\ frac {{\ bar {F}} _ {\ tau}} {S}} = \ eta {\ frac {\ bar {v} } {h}} = \ eta {\ frac {dv_ {x}} {dy}}}

Generalizarea tensiunilor de forfecare sunt:

{\begin{cases}\sigma _{xy}=\sigma _{yx}=\eta \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\right)\\\sigma _{xz}=\sigma _{zx}=\eta \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right)\\\sigma _{yz}=\sigma _{zy}=\eta \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\right)\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma _ {xy} = \ sigma _ {yx} = \ eta \ left ({\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} + {\ frac { \ partial v_ {y}} {\ partial x}} \ right) \\\ sigma _ {xz} = \ sigma _ {zx} = \ eta \ left ({\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial x}} \ right) \\\ sigma _ {yz} = \ sigma _ {zy} = \ eta \ left ({\ frac { \ partial v_ {y}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial y}} \ right) \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} \ sigma _ {xy} = \ sigma _ {yx} = \ eta \ left ({\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial y}} + {\ frac { \ partial v_ {y}} {\ partial x}} \ right) \\\ sigma _ {xz} = \ sigma _ {zx} = \ eta \ left ({\ frac {\ partial v_ {x}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial x}} \ right) \\\ sigma _ {yz} = \ sigma _ {zy} = \ eta \ left ({\ frac { \ partial v_ {y}} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial v_ {z}} {\ partial y}} \ right) \ end {cases}}}

Aceste relații sunt cunoscute sub numele de formule ale lui Newton .

Fluide ideale

Același subiect în detaliu: Fluid ideal .

Unele lichide au un coeficient de vâscozitate foarte scăzut și un coeficient de compresibilitate foarte ridicat, din toate punctele de vedere fluidul poate fi considerat ideal înțeles ca acel fluid care are volum constant (și, prin urmare, densitate constantă) și coeficient de viscozitate zero.

Cea mai notabilă consecință este că, pentru un fluid ideal, nu există solicitări de forfecare, deoarece acestea depind în mod direct de coeficientul de vâscozitate. Într-un fluid ideal, eforturile sunt reduse doar la presiuni, adică la eforturi normale:

{\bar {\sigma }}=-p\cdot {\bar {n}}={\frac {{\bar {F}}_{n}}{S}}

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} = - p \ cdot {\ bar {n}} = {\ frac {{\ bar {F}} _ {n}} {S}}}

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} = - p \ cdot {\ bar {n}} = {\ frac {{\ bar {F}} _ {n}} {S}}}

Se aplică și legea lui Pascal : într-un fluid ideal presiunea într-un punct este independentă de orientarea suprafeței pe care acționează. De fapt, folosind relațiile Cauchy se poate observa că:

-p=\sigma _{xx}=\sigma _{yy}=\sigma _{zz}

{\ displaystyle -p = \ sigma _ {xx} = \ sigma _ {yy} = \ sigma _ {zz}}

{\ displaystyle -p = \ sigma _ {xx} = \ sigma _ {yy} = \ sigma _ {zz}}

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică