Teorema Coriolis

Teorema Coriolis este o ecuație care permite derivarea celor trei tipuri comune tuturor accelerațiilor inerțiale care derivă din rotația absolută a sistemului de referință sau din rotația relativă dintre sistemele de referință, prin derivarea timpului ^[1] ulterioară a legii orare pentru un punct material al unui corp într-un sistem dreptunghiular extrinsec cu bază ((radial) ρ , (transversal) τ , (unghiular) φ ) , dacă pe durata mișcării aparține cel puțin celei de-a doua clase de continuitate .

s\in C^{2}(t),\quad \quad \mathbf {s} (t)=r(t){\hat {\rho }}(t)

{\ displaystyle s \ in C ^ {2} (t), \ quad \ quad \ mathbf {s} (t) = r (t) {\ hat {\ rho}} (t)}

{\ displaystyle s \ in C ^ {2} (t), \ quad \ quad \ mathbf {s} (t) = r (t) {\ hat {\ rho}} (t)}

Un caz particular este teorema Rivals , care leagă accelerațiile din interiorul unui corp rigid care nu accelerează translațional și, ca atare, consideră un sistem inerțial integral care nu se rotește, în care nu au loc accelerații relative și complementare, numită triadă mobilă , are următoarele caracteristici:

centrat pe proiecția punctului pe axa de rotație instantanee a corpului,
vectorul de unitate radial ρ paralel cu distanța dintre punct și axă ^[2] ,
vector unitar unghiular φ paralel cu axa.

Viteze radiale și transversale

{\dot {\mathbf {s} }}={\dot {r}}{\hat {\rho }}+r{\dot {\hat {\rho }}}={\dot {r}}{\hat {\rho }}+{\dot {\hat {\theta }}}\times \mathbf {r}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {s}}} = {\ dot {r}} {\ hat {\ rho}} + r {\ dot {\ hat {\ rho}}} = {\ dot {r }} {\ hat {\ rho}} + {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times \ mathbf {r}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {s}}} = {\ dot {r}} {\ hat {\ rho}} + r {\ dot {\ hat {\ rho}}} = {\ dot {r }} {\ hat {\ rho}} + {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times \ mathbf {r}}

^[3]

={\dot {r}}{\hat {\rho }}+{\dot {\theta }}r{\hat {\tau }}

{\ displaystyle = {\ dot {r}} {\ hat {\ rho}} + {\ dot {\ theta}} r {\ hat {\ tau}}}

{\ displaystyle = {\ dot {r}} {\ hat {\ rho}} + {\ dot {\ theta}} r {\ hat {\ tau}}}

.

Aceasta se numește uneori teorema lui Galileo : denotând viteza unghiulară cu $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ , viteza într-un sistem generic de referință care se traduce și se rotește în jurul unui centru de rotație instantanee (deci un sistem non-inerțial) cu v și viteza liniară a sistemului de referință care se traduce cu sistemul original, dar nu se rotește (deci este un sistem inerțial), cu v ₀ , numit viteză de glisare :

\mathbf {v} =\mathbf {v_{0}} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ={\dot {r}}{\hat {\rho }}+\omega r{\hat {\tau }}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v_ {0}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = {\ dot {r}} {\ hat {\ rho}} + \ omega r {\ hat {\ tau}}}

{\ displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v_ {0}} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} = {\ dot {r}} {\ hat {\ rho}} + \ omega r {\ hat {\ tau}}}

,

Relația, dacă este aplicată corpului rigid, conduce la teorema fundamentală a cinematicii corpului rigid , deoarece evidențiază modul în care toate punctele de pe un plan oscilant al unui corp rigid au întotdeauna un singur centru de rotație instantanee , care coincide cu intersecția dintre plan și axa de rotație instantanee. Acest centru este situat pe axă (care poate fi considerat locul centrelor) și ca atare efectuează instantaneu o mișcare de translație . Viteza relativă în acest caz devine viteza de tragere . Deci viteza are componente radiale și tangențiale:

v_{\rho }={\dot {r}}

{\ displaystyle v _ {\ rho} = {\ dot {r}}}

{\ displaystyle v _ {\ rho} = {\ dot {r}}}

v_{\tau }=\omega r

{\ displaystyle v _ {\ tau} = \ omega r}

{\ displaystyle v _ {\ tau} = \ omega r}

.

Și forma sa va fi: $v={\sqrt {{\dot {r}}^{2}+\omega ^{2}r^{2}}}$ ${\ displaystyle v = {\ sqrt {{\ dot {r}} ^ {2} + \ omega ^ {2} r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle v = {\ sqrt {{\ dot {r}} ^ {2} + \ omega ^ {2} r ^ {2}}}}$

Accelerații radiale și transversale

{\dot {\mathbf {v} }}={\dot {\mathbf {v_{0}} }}+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times {\dot {\mathbf {r} }}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {v}}} = {\ dot {\ mathbf {v_ {0}}}} + {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} \ times \ mathbf {r} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}}}

{\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {v}}} = {\ dot {\ mathbf {v_ {0}}}} + {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} \ times \ mathbf {r} + {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}}}

^[3]

={\dot {\mathbf {v_{0}} }}+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} -{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \times {\boldsymbol {\omega }}

{\ displaystyle = {\ dot {\ mathbf {v_ {0}}}} + {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} \ times \ mathbf {r} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}}

{\ displaystyle = {\ dot {\ mathbf {v_ {0}}}} + {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} \ times \ mathbf {r} - {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {r} \ times {\ boldsymbol {\ omega}}}

^[4]

={\dot {\mathbf {v_{0}} }}+{\dot {\boldsymbol {\omega }}}\times \mathbf {r} -{\boldsymbol {\omega }}^{2}\mathbf {r} +2{\boldsymbol {\omega }}\times {\dot {\mathbf {r} }}

{\ displaystyle = {\ dot {\ mathbf {v_ {0}}}} + {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} \ times \ mathbf {r} - {\ boldsymbol {\ omega}} ^ {2 } \ mathbf {r} +2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}}}

{\ displaystyle = {\ dot {\ mathbf {v_ {0}}}} + {\ dot {\ boldsymbol {\ omega}}} \ times \ mathbf {r} - {\ boldsymbol {\ omega}} ^ {2 } \ mathbf {r} +2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ times {\ dot {\ mathbf {r}}}}

^[5]

={\ddot {r}}{\hat {\rho }}+{\ddot {\theta }}r{\hat {\tau }}-{\dot {\theta }}^{2}r{\hat {\rho }}+2{\dot {\theta }}{\dot {r}}{\hat {\tau }}

{\ displaystyle = {\ ddot {r}} {\ hat {\ rho}} + {\ ddot {\ theta}} r {\ hat {\ tau}} - {\ dot {\ theta}} ^ {2} r {\ hat {\ rho}} + 2 {\ dot {\ theta}} {\ dot {r}} {\ hat {\ tau}}}

{\ displaystyle = {\ ddot {r}} {\ hat {\ rho}} + {\ ddot {\ theta}} r {\ hat {\ tau}} - {\ dot {\ theta}} ^ {2} r {\ hat {\ rho}} + 2 {\ dot {\ theta}} {\ dot {r}} {\ hat {\ tau}}}

^[6]

=({\ddot {r}}-{\dot {\theta }}^{2}r){\hat {\rho }}+(2{\dot {\theta }}{\dot {r}}+{\ddot {\theta }}r){\hat {\tau }}

{\ displaystyle = ({\ ddot {r}} - {\ dot {\ theta}} ^ {2} r) {\ hat {\ rho}} + (2 {\ dot {\ theta}} {\ dot { r}} + {\ ddot {\ theta}} r) {\ hat {\ tau}}}

{\ displaystyle = ({\ ddot {r}} - {\ dot {\ theta}} ^ {2} r) {\ hat {\ rho}} + (2 {\ dot {\ theta}} {\ dot { r}} + {\ ddot {\ theta}} r) {\ hat {\ tau}}}

adică indicând accelerația unghiulară ${\dot {\omega }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ omega}}}$ cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ și accelerarea traducerii pure ${\ddot {r}}{\hat {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ ddot {r}} {\ hat {\ rho}}}$ ${\ displaystyle {\ ddot {r}} {\ hat {\ rho}}}$ cu un ₀ :

\mathbf {a} =\mathbf {a} _{0}+{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} -{\boldsymbol {\omega }}^{2}\mathbf {r} +2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v_{0}} =(a-\omega ^{2}r){\hat {\rho }}+(2\omega v_{0}+\alpha r){\hat {\tau }}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {0} + {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} - {\ boldsymbol {\ omega}} ^ {2} \ mathbf { r} +2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v_ {0}} = (a- \ omega ^ {2} r) {\ hat {\ rho}} + (2 \ omega v_ {0 } + \ alpha r) {\ hat {\ tau}}}

{\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {a} _ {0} + {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} - {\ boldsymbol {\ omega}} ^ {2} \ mathbf { r} +2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v_ {0}} = (a- \ omega ^ {2} r) {\ hat {\ rho}} + (2 \ omega v_ {0 } + \ alpha r) {\ hat {\ tau}}}

prin urmare accelerația are componente radiale și tangențiale:

a_{\rho }={\ddot {r}}-\omega ^{2}r

{\ displaystyle a _ {\ rho} = {\ ddot {r}} - \ omega ^ {2} r}

{\ displaystyle a _ {\ rho} = {\ ddot {r}} - \ omega ^ {2} r}

a_{\tau }=2\omega {\dot {r}}+\alpha r={\frac {1}{r}}{\frac {d}{dt}}(\omega r^{2})={\frac {1}{r}}{\frac {d2A}{dt}}={\frac {2}{r}}v_{A}

{\ displaystyle a _ {\ tau} = 2 \ omega {\ dot {r}} + \ alpha r = {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dt}} (\ omega r ^ {2}) = {\ frac {1} {r}} {\ frac {d2A} {dt}} = {\ frac {2} {r}} v_ {A}}

{\ displaystyle a _ {\ tau} = 2 \ omega {\ dot {r}} + \ alpha r = {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} {dt}} (\ omega r ^ {2}) = {\ frac {1} {r}} {\ frac {d2A} {dt}} = {\ frac {2} {r}} v_ {A}}

, unde este

v_{A}

{\ displaystyle v_ {A}}

merge}

este viteza areolară a corpului.

Deci modulul său va fi: $a={\sqrt {{\ddot {r}}^{2}-2\omega ^{2}r{\ddot {r}}+\omega ^{4}r^{2}+4\omega ^{2}{\dot {r}}^{2}+4\omega \alpha r{\dot {r}}+\alpha ^{2}r^{2}}}={\sqrt {{\ddot {r}}({\ddot {r}}-2\omega ^{2}r)+{\dot {r}}(4\omega ^{2}{\dot {r}}+4\omega \alpha r)+r^{2}(\alpha ^{2}+\omega ^{4})}}=$ ${\ displaystyle a = {\ sqrt {{\ ddot {r}} ^ {2} -2 \ omega ^ {2} r {\ ddot {r}} + \ omega ^ {4} r ^ {2} +4 \ omega ^ {2} {\ dot {r}} ^ {2} +4 \ omega \ alpha r {\ dot {r}} + \ alpha ^ {2} r ^ {2}}} = {\ sqrt { {\ ddot {r}} ({\ ddot {r}} - 2 \ omega ^ {2} r) + {\ dot {r}} (4 \ omega ^ {2} {\ dot {r}} + 4 \ omega \ alpha r) + r ^ {2} (\ alpha ^ {2} + \ omega ^ {4})}} =}$ ${\ displaystyle a = {\ sqrt {{\ ddot {r}} ^ {2} -2 \ omega ^ {2} r {\ ddot {r}} + \ omega ^ {4} r ^ {2} +4 \ omega ^ {2} {\ dot {r}} ^ {2} +4 \ omega \ alpha r {\ dot {r}} + \ alpha ^ {2} r ^ {2}}} = {\ sqrt { {\ ddot {r}} ({\ ddot {r}} - 2 \ omega ^ {2} r) + {\ dot {r}} (4 \ omega ^ {2} {\ dot {r}} + 4 \ omega \ alpha r) + r ^ {2} (\ alpha ^ {2} + \ omega ^ {4})}} =}$

={\sqrt {a_{0}^{2}+2a_{0}a_{F}+a_{C}^{2}+2a_{C}a_{T}+a_{T}^{2}+a_{F}^{2}}}

{\ displaystyle = {\ sqrt {a_ {0} ^ {2} + 2a_ {0} a_ {F} + a_ {C} ^ {2} + 2a_ {C} a_ {T} + a_ {T} ^ { 2} + a_ {F} ^ {2}}}}

{\ displaystyle = {\ sqrt {a_ {0} ^ {2} + 2a_ {0} a_ {F} + a_ {C} ^ {2} + 2a_ {C} a_ {T} + a_ {T} ^ { 2} + a_ {F} ^ {2}}}}

Accelerații inerțiale care decurg din rotația sistemului de referință

Expresia de mai sus, sau varianta obținută prin obținerea accelerației relative în locul celei absolute (din care semnele opuse din cele trei expresii de mai jos), constituie teorema Coriolis : importanța sa constă în evidențierea celor trei tipuri de accelerații inerțiale simple care derivă din rotație relativă între sistemele de referință, adică care alcătuiesc o accelerație inerțială rotațională generică (cu accelerație translațională între sistemele de referință zero): accelerația relativă este o reacție în schimb, deoarece nu este legată de referința sistemului, ci de interacțiunea cu un alt fizic sistem (mediu).

accelerare centripetă : $\quad \mathbf {a} _{F}=-\omega ^{2}\mathbf {r} =-\omega ^{2}r\,{\hat {\rho }}$ ${\ displaystyle \ quad \ mathbf {a} _ {F} = - \ omega ^ {2} \ mathbf {r} = - \ omega ^ {2} r \, {\ hat {\ rho}}}$ ${\ displaystyle \ quad \ mathbf {a} _ {F} = - \ omega ^ {2} \ mathbf {r} = - \ omega ^ {2} r \, {\ hat {\ rho}}}$
accelerare tangențială ^[7] : $\quad \mathbf {a} _{T}={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} =\alpha r\,{\hat {\tau }}$ ${\ displaystyle \ quad \ mathbf {a} _ {T} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} = \ alpha r \, {\ hat {\ tau}}}$ ${\ displaystyle \ quad \ mathbf {a} _ {T} = {\ boldsymbol {\ alpha}} \ times \ mathbf {r} = \ alpha r \, {\ hat {\ tau}}}$
accelerare complementară ^[8] : $\quad \mathbf {a} _{C}=2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{0}=2\omega v_{0}\,{\hat {\tau }}$ ${\ displaystyle \ quad \ mathbf {a} _ {C} = 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {0} = 2 \ omega v_ {0} \, {\ hat {\ tau}}}$ ${\ displaystyle \ quad \ mathbf {a} _ {C} = 2 {\ boldsymbol {\ omega}} \ times \ mathbf {v} _ {0} = 2 \ omega v_ {0} \, {\ hat {\ tau}}}$

Notă

^ Derivații de timp vor fi indicați din motive de scurtă durată folosind notația Newton
^ prin urmare, sistemul este legat de corpul rigid
^ ^a ^b Se face referire aici la relația Poisson tridimensională
^ Se face referire aici la formula Lagrange pentru produsul cu dublu vector
^ Dar într-un sistem de traducere, cum ar fi triada mobilă, această din urmă componentă este anulată deoarece viteza unghiulară a referinței este zero.
^ Într-adevăr de atunci ${\dot {\hat {\theta }}}\times {\boldsymbol {\phi }}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} = 0}$ fiind φ versorul lui θ, formulele Poisson și Lagrange returnează: ${\dot {\hat {\tau }}}:={\dot {\boldsymbol {\phi }}}\times {\hat {\rho }}+{\boldsymbol {\phi }}\times {\dot {\hat {\rho }}}={\dot {\hat {\theta }}}\times {\boldsymbol {\phi }}\times {\hat {\rho }}-{\dot {\hat {\theta }}}\times {\hat {\rho }}\times {\boldsymbol {\phi }}=-({\dot {\hat {\theta }}}\cdot {\boldsymbol {\phi }}){\hat {\rho }}+({\hat {\rho }}\cdot {\boldsymbol {\phi }}){\dot {\hat {\theta }}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ tau}}}: = {\ dot {\ boldsymbol {\ phi}}} \ times {\ hat {\ rho}} + {\ boldsymbol {\ phi}} \ times {\ dot {\ hat {\ rho}}} = {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} \ times {\ hat {\ rho}} - {\ dot { \ hat {\ theta}}} \ times {\ hat {\ rho}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} = - ({\ dot {\ hat {\ theta}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ phi}}) {\ hat {\ rho}} + ({\ hat {\ rho}} \ cdot {\ boldsymbol {\ phi}}) {\ dot {\ hat {\ theta}}} = - {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ rho}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ tau}}}: = {\ dot {\ boldsymbol {\ phi}}} \ times {\ hat {\ rho}} + {\ boldsymbol {\ phi}} \ times {\ dot {\ hat {\ rho}}} = {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} \ times {\ hat {\ rho}} - {\ dot { \ hat {\ theta}}} \ times {\ hat {\ rho}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} = - ({\ dot {\ hat {\ theta}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ phi}}) {\ hat {\ rho}} + ({\ hat {\ rho}} \ cdot {\ boldsymbol {\ phi}}) {\ dot {\ hat {\ theta}}} = - {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ rho}}}$
^ De asemenea, cunoscut sub numele de Euler
^ De asemenea, cunoscut sub numele de Coriolis

Bibliografie

Mauro Fabrizio, Elemente de mecanică clasică , Bologna, Zanichelli , 2002

Elemente conexe

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Derivații de timp vor fi indicați din motive de scurtă durată folosind notația Newton

[2] rin urmare, sistemul este legat de corpul rigid

[ref_A-3] Se face referire aici la relația Poisson tridimensională

[4] Se face referire aici la formula Lagrange pentru produsul cu dublu vector

[5] Dar într-un sistem de traducere, cum ar fi triada mobilă, această din urmă componentă este anulată deoarece viteza unghiulară a referinței este zero.

[6] Într-adevăr de atunci ${\dot {\hat {\theta }}}\times {\boldsymbol {\phi }}=0$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} = 0}$ fiind φ versorul lui θ, formulele Poisson și Lagrange returnează: ${\dot {\hat {\tau }}}:={\dot {\boldsymbol {\phi }}}\times {\hat {\rho }}+{\boldsymbol {\phi }}\times {\dot {\hat {\rho }}}={\dot {\hat {\theta }}}\times {\boldsymbol {\phi }}\times {\hat {\rho }}-{\dot {\hat {\theta }}}\times {\hat {\rho }}\times {\boldsymbol {\phi }}=-({\dot {\hat {\theta }}}\cdot {\boldsymbol {\phi }}){\hat {\rho }}+({\hat {\rho }}\cdot {\boldsymbol {\phi }}){\dot {\hat {\theta }}}=-{\dot {\theta }}{\hat {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ tau}}}: = {\ dot {\ boldsymbol {\ phi}}} \ times {\ hat {\ rho}} + {\ boldsymbol {\ phi}} \ times {\ dot {\ hat {\ rho}}} = {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} \ times {\ hat {\ rho}} - {\ dot { \ hat {\ theta}}} \ times {\ hat {\ rho}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} = - ({\ dot {\ hat {\ theta}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ phi}}) {\ hat {\ rho}} + ({\ hat {\ rho}} \ cdot {\ boldsymbol {\ phi}}) {\ dot {\ hat {\ theta}}} = - {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ rho}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {\ hat {\ tau}}}: = {\ dot {\ boldsymbol {\ phi}}} \ times {\ hat {\ rho}} + {\ boldsymbol {\ phi}} \ times {\ dot {\ hat {\ rho}}} = {\ dot {\ hat {\ theta}}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} \ times {\ hat {\ rho}} - {\ dot { \ hat {\ theta}}} \ times {\ hat {\ rho}} \ times {\ boldsymbol {\ phi}} = - ({\ dot {\ hat {\ theta}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ phi}}) {\ hat {\ rho}} + ({\ hat {\ rho}} \ cdot {\ boldsymbol {\ phi}}) {\ dot {\ hat {\ theta}}} = - {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ rho}}}$

[7] De asemenea, cunoscut sub numele de Euler

[8] De asemenea, cunoscut sub numele de Coriolis

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]