Clasa C a unei funcții

În analiza matematică , clasa $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ o funcție a unei variabile reale indică apartenența la toate funcțiile diferențiate cu continuitate de un anumit număr de ori. Se spune că o funcție definită pe un set $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este elegant $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ dacă în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ toate derivatele există până la $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ordinul-al, și $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ -th este continuu (când funcția este continuă se spune că este de clasă $C^{0}$ ${\ displaystyle C ^ {0}}$ $C ^ {0}$ ). Practic, acesta este spațiul funcțiilor diferențiate . Subsetul de funcții al căror prim $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ derivatele sunt mărginite este un spațiu vectorial .

Diferențialitatea față de o variabilă garantează continuitatea funcției față de această variabilă, astfel încât acel spațiu $C^{1}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle C ^ {1} (\ mathbb {R})}$ $C ^ {1} (\ mathbb {R})$ a funcțiilor diferențiate cu continuitate pe câmpul real este conținută în spațiu $C^{0}(\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle C ^ {0} (\ mathbb {R})}$ $C ^ {0} (\ mathbb {R})$ a funcțiilor continue. În general, $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ {k}$ este cuprins în $C^{k-1}$ ${\ displaystyle C ^ {k-1}}$ $C ^ {{k-1}}$ pentru fiecare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ .

O importanță deosebită este întregul $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ funcții netede , inclusiv polinoame și setul $C^{\omega }$ ${\ displaystyle C ^ {\ omega}}$ $C ^ {\ omega}$ funcții analitice , definite ca funcții netede care sunt egale cu expansiunea lor în seria Taylor în jurul fiecărui punct al domeniului.

Definiție

Este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ un subset deschis de $\mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ $\ mathbb R ^ m$ Și $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ . O funcție variabilă reală $f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ se spune despre clasă $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ dacă în orice moment al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ toate derivatele parțiale ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pană la $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ ordinul-al, și astfel de derivate parțiale sunt funcții continue . Setul de funcții de clasă $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ este indicat în general cu $C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ; în plus, este obișnuit să întrebi și tu $C^{k}(A):=C^{k}(A,\mathbb {R} )$ ${\ displaystyle C ^ {k} (A): = C ^ {k} (A, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle C ^ {k} (A): = C ^ {k} (A, \ mathbb {R})}$ . De sine $k>0$ ${\ displaystyle k> 0}$ $k> 0$ , prin urmare, avem asta $f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ dacă și numai dacă

{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{r}}}\in C^{k-1}(A)\qquad \forall r=1,\ldots ,m,\quad \forall i=1,\ldots ,n,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {r}}} \ în C ^ {k-1} (A) \ qquad \ forall r = 1, \ ldots, m, \ quad \ forall i = 1, \ ldots, n,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {r}}} \ în C ^ {k-1} (A) \ qquad \ forall r = 1, \ ldots, m, \ quad \ forall i = 1, \ ldots, n,}

unde este $f_{i}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ $f_ {i}$ indică proiecția de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ pe $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -a componentă: formal, dacă pentru fiecare $i=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ $i = 1, \ ldots, n$ sa spunem

$\qquad {\begin{array}{ccccc}\pi _{i}&:&\mathbb {R} ^{n}&\rightarrow &\mathbb {R} \\&&a:=(a_{1},\ldots ,a_{n})&\mapsto &a_{i}\end{array}}$ ${\ displaystyle \ qquad {\ begin {array} {ccccc} \ pi _ {i} &: & \ mathbb {R} ^ {n} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ && a: = (a_ { 1}, \ ldots, a_ {n}) & \ mapsto & a_ {i} \ end {array}}}$ ${\ displaystyle \ qquad {\ begin {array} {ccccc} \ pi _ {i} &: & \ mathbb {R} ^ {n} & \ rightarrow & \ mathbb {R} \\ && a: = (a_ { 1}, \ ldots, a_ {n}) & \ mapsto & a_ {i} \ end {array}}}$ ,

da ai $f_{i}:=\pi _{i}\circ f$ ${\ displaystyle f_ {i}: = \ pi _ {i} \ circ f}$ ${\ displaystyle f_ {i}: = \ pi _ {i} \ circ f}$ .

Mai mult, datorită convenției că singura derivată parțială a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ de ordine $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ în sine, rezultă direct din definiția că $f\in C^{0}(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {0} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {0} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ dacă și numai dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și continuă. În mod clar, pentru fiecare $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ se dovedește $C^{k+1}(A,\mathbb {R} ^{n})\subseteq C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle C ^ {k + 1} (A, \ mathbb {R} ^ {n}) \ subseteq C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle C ^ {k + 1} (A, \ mathbb {R} ^ {n}) \ subseteq C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ .

O functie $f:A\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle f: A \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ apoi se spune că este elegant $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ \ infty$ (sau netedă ) dacă în orice punct al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ toate derivatele parțiale ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ de orice ordin și astfel de derivate parțiale sunt funcții continue; cu alte cuvinte, $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este neted dacă și numai dacă $f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ pentru fiecare $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ . Setul de funcții netede de la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ este indicat în general cu $C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ . Evident că există $C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})=\bigcap _{k\in \mathbb {N} }C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (A, \ mathbb {R} ^ {n}) = \ bigcap _ {k \ in \ mathbb {N}} C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (A, \ mathbb {R} ^ {n}) = \ bigcap _ {k \ in \ mathbb {N}} C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ .

O funcție lină $f\in C^{\infty }(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ se spune despre clasă $C^{\omega }$ ${\ displaystyle C ^ {\ omega}}$ $C ^ {\ omega}$ (sau analitic ) dacă pentru fiecare $x_{0}\in A$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în A}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ în A}$ există un cartier $U(x_{0})\subseteq A$ ${\ displaystyle U (x_ {0}) \ subseteq A}$ ${\ displaystyle U (x_ {0}) \ subseteq A}$ din $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ astfel încât $f(x)=T_{f,x_{0}}(x)$ ${\ displaystyle f (x) = T_ {f, x_ {0}} (x)}$ ${\ displaystyle f (x) = T_ {f, x_ {0}} (x)}$ pentru fiecare $x\in U(x_{0})$ ${\ displaystyle x \ în U (x_ {0})}$ ${\ displaystyle x \ în U (x_ {0})}$ , Unde $T_{f,x_{0}}$ ${\ displaystyle T_ {f, x_ {0}}}$ ${\ displaystyle T_ {f, x_ {0}}}$ denotă dezvoltarea lui Taylor de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ centrat în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ . Ansamblul funcțiilor analitice din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ este indicat cu $C^{\omega }(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle C ^ {\ omega} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle C ^ {\ omega} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ .

Pot fi furnizate exemple de funcții netede, dar non-analitice.

Ansamblul definiției

O atenție deosebită trebuie acordată întregului $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe care este definită funcția. În definiția derivatului, punctul în care se calculează limita este luat în interior $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ (sau $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este considerat deschis, astfel încât toate punctele sale sunt interne), întrucât în punctele de frontieră operațiunea limită poate fi aplicată doar parțial (numai din unele „direcții” și nu din altele). Din acest motiv, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ nu este o afirmație deschisă $f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ trebuie specificate în continuare. Nu există o singură versiune acceptată a acestei generalizări: de obicei, existența derivatei este asigurată și în punctele limită și este necesar ca această derivată să fie conectată într-un mod suficient de „regulat” la cea din punctele interne. De exemplu, ne putem „baza” pe definiția anterioară, dată în cazul în care domeniul este unul deschis, în felul următor: să spunem că $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este elegant $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ , adică $f\in C^{k}(A,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle f \ in C ^ {k} (A, \ mathbb {R} ^ {n})}$ , dacă și numai dacă există o deschidere $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ conținând $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și o funcție ${\tilde {f}}\in C^{k}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} \ în C ^ {k} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} \ în C ^ {k} (\ Omega, \ mathbb {R} ^ {n})}$ extinzându-se $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , adică astfel încât ${\tilde {f}}_{|A}=f$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {| A} = f}$ ${\ displaystyle {\ tilde {f}} _ {| A} = f}$ .

Spațiul funcțiilor $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$

Din punct de vedere al analizei funcționale , dacă $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este un set compact în $\mathbb {R} ^{d}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ ${\ mathbb {R}} ^ {d}$ ( $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ natural ), spațiu $C^{k}(\Omega )$ ${\ displaystyle C ^ {k} (\ Omega)}$ $C ^ {k} (\ Omega)$ a funcțiilor definite în $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ la valori reale (sau complexe ) de clasă $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este un spațiu vector ; cu norma ( norma lagrangiană de ordine $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ )

\|f\|_{C^{k}(\Omega )}={\begin{cases}\max _{\Omega }|f|&{\text{ se }}k=0\\\|f\|_{C^{0}(\Omega )}+\sum _{|\alpha |=1}^{k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }f\|_{C^{0}(\Omega )}&{\text{ se }}k>0\end{cases}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {k} (\ Omega)} = {\ begin {cases} \ max _ {\ Omega} | f | & {\ text {se}} k = 0 \\ \ | f \ | _ {C ^ {0} (\ Omega)} + \ sum _ {| \ alpha | = 1} ^ {k} \ | \ mathrm {D} ^ {\ alpha} f \ | _ { C ^ {0} (\ Omega)} și {\ text {se}} k> 0 \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ | f \ | _ {C ^ {k} (\ Omega)} = {\ begin {cases} \ max _ {\ Omega} | f | & {\ text {se}} k = 0 \\ \ | f \ | _ {C ^ {0} (\ Omega)} + \ sum _ {| \ alpha | = 1} ^ {k} \ | \ mathrm {D} ^ {\ alpha} f \ | _ { C ^ {0} (\ Omega)} și {\ text {se}} k> 0 \ end {cases}}}

se dovedește a fi un spațiu Banach ; $\mathrm {D} ^{\alpha }f$ ${\ displaystyle \ mathrm {D} ^ {\ alpha} f}$ ${\ mathrm {D}} ^ {{\ alpha}} f$ este derivatul $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ -thth din $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ exprimată în notație multi-index .

Exemple

Exponențialul ${\textrm {exp}}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\;{\textrm {exp}}(x):=e^{x}$ ${\ displaystyle {\ textrm {exp}}: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, \; {\ textrm {exp}} (x): = e ^ {x}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {exp}}: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}, \; {\ textrm {exp}} (x): = e ^ {x}}$ este o funcție de clasă $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty}$ , deoarece are fiecare derivată egală cu ea însăși: $D^{k}({\textrm {exp}})={\textrm {exp}}$ ${\ displaystyle D ^ {k} ({\ textrm {exp}}) = {\ textrm {exp}}}$ ${\ displaystyle D ^ {k} ({\ textrm {exp}}) = {\ textrm {exp}}}$ pentru fiecare $k\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N}}$ $k \ in \ mathbb {N}$ ; mai precis, ${\textrm {exp}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {exp}}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {exp}}}$ este o funcție analitică.
Identitatea ${\textrm {id}}_{\mathbb {R} }$ ${\ displaystyle {\ textrm {id}} _ {\ mathbb {R}}}$ ${\ displaystyle {\ textrm {id}} _ {\ mathbb {R}}}$ este elegant $C^{\infty }$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ $C ^ {\ infty}$ , deoarece are prima constantă derivată egală cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ și fiecare derivată constantă ulterioară egală cu $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ . Mai exact, este o funcție analitică, ca orice altă funcție polinomială din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ in sinea lui.
Tangenta este o funcție de clasă $C^{\infty }(\mathbb {R} \setminus \left(\pi /2+\pi \mathbb {Z} \right))$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} \ setminus \ left (\ pi / 2 + \ pi \ mathbb {Z} \ right))}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} \ setminus \ left (\ pi / 2 + \ pi \ mathbb {Z} \ right))}$ , adică în întregul său set de definiții.
Functia $|x|$ ${\ displaystyle | x |}$ $| x |$ este elegant $C^{0}$ ${\ displaystyle C ^ {0}}$ $C ^ {0}$ ; apartine $C^{0}(\mathbb {R} )\cap C^{\infty }(\mathbb {R} \setminus \left\{0\right\})$ ${\ displaystyle C ^ {0} (\ mathbb {R}) \ cap C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} \ setminus \ left \ {0 \ right \})}$ ${\ displaystyle C ^ {0} (\ mathbb {R}) \ cap C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} \ setminus \ left \ {0 \ right \})}$ , ca în $0$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 0}$ nu este derivabil.
Functia $|x|^{p}$ ${\ displaystyle | x | ^ {p}}$ $| x | ^ {p}$ este elegant $C^{k}$ ${\ displaystyle C ^ {k}}$ $C ^ k$ de sine ${\displaystyle k<semantics><mrow class=$ ${\ displaystyle k <p \ leq k + 1}$ ${\ displaystyle k <p \ leq k + 1}$ .

Bibliografie

Cartan, H. Cours de calcul différentiel, nouv. éd., refondue et corr. Paris: Hermann, 1977.
S. Salsa, Ecuații diferențiale parțiale , Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Rowland, Todd. Funcția C ^ k . De la MathWorld
(EN) Rowland, Todd. Funcția C ^ infinit . De la MathWorld

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

V · D · M Analiza matematică
Calcul infinitesimal	Numărul real · infinitezimal · Big O · Succesiunea ( funcțiilor ) · Succesiunea Cauchy · Teorema Bolzano-Weierstrass · Estimarea asimptotică · Limita ( o funcție · o succesiune · formă nedeterminată ) · Teorema a doi polițiști · Limita considerabilă · Punct de acumulare · Punct de izolat · Aproximativ · Series ( funcții ) · criterii de convergență · limita funcțiilor multivariate
Studiul continuității	Funcție Continuu · Punct de discontinuitate · uniform continuitate · Lipschitz Function · Bolzano Teorema · Weierstrass Teorema · Teorema valorilor intermediare · Heine-Cantor teorema · Modul continuitate · Functia semicontinuă · separa continuitate ·Piatra-Weierstrass Teorema
Calcul diferențial	Derivată · Differential · reguli de derivare · Fermat Teorema · teorema lui Rolle · Lagrange Teorema · Cauchy Teorema · Teorema lui Darboux · teorema lui Taylor · serie Taylor · functia diferențiabilă · Gradient · Jacobian · Hessiană · formă Differential · Generalizari de derivate · derivat parțial · derivat amestecat
Grâu integral	Primitive · Riemann integral · improprie Integral · Lebesgue Integral · Teorema fundamentala · Integrare Metode · Tabele · Integral multiple , linie ( 1ª specii · 2ª specii ) și suprafața ( volum )
Studiul funcției	Funcție · Variabilă · domeniul si · funcții par și impar · Funcția periodică · Funcția monotonă · funcției convexe · maxim și minim al unei funcții · unghiulară Punct · cuspid · punct de inflexiune · Asymptote · graficul unei funcții · injecție Funcție
Inegalități	Inegalitatea triunghiular · Cauchy-Schwarz inegalitatea · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Alte	Apropierea Stirling · produs Wallis · Funcție Domeniu · Implicite funcție teorema · Teorema funcției inverse · Portduză cu funcții · Metric spațiu · normata spațiu · gama · Împreună neglijabile · închis Împreună · Împreună deschis · Ball · homeomorphism · homeomorphism locale · Difeomorfism · locală Difeomorfism · Clasa C a unei funcții · Ecuația diferențială · problema Cauchy