Relație constitutivă (mecanică)

În fizică , relațiile constitutive (numite și ecuații constitutive, legi constitutive sau legături constitutive ) sunt legi care descriu comportamentul tipic al unor materiale. Un exemplu este legea lui Stokes , care caracterizează un fluid vâscos .

Spre deosebire, de exemplu, ecuațiile de echilibru sunt comune tuturor materialelor. Legile lui Navier , de exemplu, apar din uniunea dintre ecuațiile de echilibru și două legi constitutive: legea lui Stokes și legea lui Fourier . Mai general, în fizică , ecuațiile constitutive sunt relații între mărimile fizice (adesea descrise de tensori ) care sunt specifice materialului sau substanței și nu derivă din echilibrele generale.

Caracteristici

Relațiile constitutive reprezintă un model teoretic care transpune caracteristicile fenomenologice ale comportamentului unui material în termeni matematici. În practică, relațiile constitutive definesc mai multe clase de materiale ideale care reprezintă un model de comportament pentru materialele reale. Mai exact, acestea sunt reprezentative pentru anumite comportamente ideale (elastice, plastice, vâscoase etc.) pe care diferitele materiale le pot urma în anumite circumstanțe.

Prima relație constitutivă ( Ut tensio, sic vis ) a fost descoperită de Hooke în secolul al XVII-lea și este cunoscută sub numele de legea lui Hooke . Se ocupă de cazul materialelor elastice liniare și este și astăzi, în formă generalizată, cel mai utilizat în rezolvarea problemelor de inginerie. Antonio Signorini a fost cel care a formalizat pentru prima dată, la începutul secolului al XX-lea , conceptul dreptului constitutiv ca o relație independentă de relațiile bugetare și specifică materialului particular al corpului. În sensul său modern, conceptul este legat de formalizarea dată de Walter Noll în 1954.

În mecanica continuumului, sunt posibile trei tipuri de relații constitutive:

constrângeri cinematice interne asupra posibilelor deformări pe care corpul le poate suferi (de exemplu, o constrângere de rigiditate sau incompresibilitate );
ipoteze despre forma stării de solicitare internă (de exemplu, axioma Cauchy sau presupunerea că solicitările sunt doar de tip hidrostatic);
relații generale de legătură între starea de stres și deformarea corpului.

Printre altele, relațiile constitutive sunt incluse în acesta din urmă

de materiale elastice și hiperelastice ,
a fluidelor Stokes și a fluidelor newtoniene
de materiale elastic-plastice
materiale vâscoase .

Continuum tridimensional cauchy

Teoria legăturilor constitutive

Același subiect în detaliu: Cauchy continuum .

Relațiile constitutive pot fi de tip fenomenologic sau derivă dintr-o abordare axiomatică generală care este încadrată în contextul teoriei legăturilor constitutive propusă de Noll. Acesta specifică restricțiile fundamentale pe care trebuie să le suporte legăturile pentru a fi semnificative fizic, adică în conformitate cu realitatea fizică a observațiilor experimentale. Teoria legăturilor constitutive reprezintă unul dintre cele mai complexe capitole din studiul mecanicii corpurilor continue.

Restricțiile fizice ale teoriei legăturilor constitutive sunt exprimate de Noll prin trei axiome importante:

axioma determinismului

Starea solicitării

\mathbf {T}

{\ displaystyle \ mathbf {T}}

{\ displaystyle \ mathbf {T}}

a unui punct P la momentul t este determinat de istoria trecută a mișcării

{\boldsymbol {\chi }}_{t}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ chi}} _ {t}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ chi}} _ {t}}

dintre toate punctele corpului până la momentul luat în considerare, adică

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\mathbb {T} \left({\boldsymbol {\chi }}_{t},\mathbf {X} ,t\right)

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left ({\ boldsymbol {\ chi}} _ {t}, \ mathbf {X}, t \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left ({\ boldsymbol {\ chi}} _ {t}, \ mathbf {X}, t \ right)}

axioma acțiunii locale: istoria mișcării punctelor plasate la o distanță finită de punctul P nu intervine în relația constitutivă a punctului P, adică starea de solicitare din punctul P este definită doar de istoria mișcării punctelor aparținând un cartier din P.

axioma obiectivității (sau indiferenței materiale): comportamentul unui material este independent de sistemul de referință particular (observatorul) în care este studiată mișcarea, adică ecuațiile constitutive sunt invariante în ceea ce privește rotațiile rigide ale sistemului.

Materiale simple

În special, materialele simple sunt acele materiale pentru care istoria mișcării punctelor din jurul P este reprezentată pur și simplu de istoria gradientului de mișcare $\mathbf {F} _{t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {t}}$ în P și pentru care, pe baza axiomei acțiunii locale, relațiile constitutive pot fi urmărite înapoi la forma

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\mathbb {T} \left(\mathbf {F} _{t},\mathbf {X} ,t\right)

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t}, \ mathbf {X}, t \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t}, \ mathbf {X}, t \ right)}

Clasa materialelor simple cuprinde aproape toate materialele de interes fizic și ingineresc. Se arată că, dată fiind descompunerea polară a gradientului de deformare $\mathbf {F} =\mathbf {R} \mathbf {U}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {R} \ mathbf {U}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ mathbf {R} \ mathbf {U}}$ , validitatea axiomei obiectivității duce la articularea legăturii constitutive a materialelor simple în forma redusă

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {R} (t)\;\mathbb {T} \left(\mathbf {U} _{t},\mathbf {X} \right)\;\mathbf {R} ^{t}(t)

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {R} (t) \; \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {U} _ {t}, \ mathbf {X } \ right) \; \ mathbf {R} ^ {t} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {R} (t) \; \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {U} _ {t}, \ mathbf {X } \ right) \; \ mathbf {R} ^ {t} (t)}

adică starea de solicitare depinde de istoricul trecut al tensorului de deformare corect $\mathbf {U} _{t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {U} _ {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {U} _ {t}}$ și valoarea actuală a tensorului de rotație $\mathbf {R} (t)$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} (t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {R} (t)}$ și nu poate depinde în mod explicit de parametrul de timp. Aceste reprezentări ale legăturii constitutive se referă întotdeauna la tensorul de stres Cauchy . O reprezentare redusă echivalentă a legăturilor constitutive ale materialelor simple în concordanță cu postulatele lui Noll este, de asemenea, următoarea

{\tilde {\mathbf {T} }}(\mathbf {X} ,t)={\tilde {\mathbb {T} }}\left(\mathbf {E} _{t},\mathbf {X} \right)

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} (\ mathbf {X}, t) = {\ tilde {\ mathbb {T}}} \ left (\ mathbf {E} _ {t}, \ mathbf {X} \ dreapta)}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} (\ mathbf {X}, t) = {\ tilde {\ mathbb {T}}} \ left (\ mathbf {E} _ {t}, \ mathbf {X} \ dreapta)}

în ceea ce privește tensorul II ^sau nominal al tensiunilor Piola-Kirchhoff ${\tilde {\mathbf {T} }}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}}}$ și istoria trecută a tensorului de tulpină verde $\mathbf {E} _{t}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {t}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {E} _ {t}}$ . Se spune, de asemenea, că un material este omogen dacă dependența explicită de poziție poate fi omisă în relațiile constitutive $\mathbf {X}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$ ${\ mathbf {X}}$ . În continuare, se va face trimitere numai la materiale simple și omogene.

Constrângeri cinematice interne

Constrângerile cinematice interne asupra posibilelor deformări ale corpului continuu sunt reprezentate de relații scalare (sau sisteme de relații scalare) în ceea ce privește descriptorii de deformare de tip

\beta \left(\mathbf {F} \right)=0

{\ displaystyle \ beta \ left (\ mathbf {F} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ beta \ left (\ mathbf {F} \ right) = 0}

sau în formele echivalente reduse

\beta \left(\mathbf {U} \right)=0\;\;\;\Leftrightarrow \;\;\;\beta \left(\mathbf {E} \right)=0

{\ displaystyle \ beta \ left (\ mathbf {U} \ right) = 0 \; \; \; \ Leftrightarrow \; \; \; \ beta \ left (\ mathbf {E} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ beta \ left (\ mathbf {U} \ right) = 0 \; \; \; \ Leftrightarrow \; \; \; \ beta \ left (\ mathbf {E} \ right) = 0}

În prezența constrângerilor interne, axioma determinismului pentru materiale simple este specificată spunând că:

starea de tensiune este determinată de istoria stării de deformare până la un tensor arbitrar a cărui putere este zero în toate mișcările compatibile cu constrângerea , adică

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {N} +\mathbb {T} \left(\mathbf {F} _{t}\right)\;\;,\;\;\mathbf {N} \cdot \mathbf {D} =0

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {N} + \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t} \ right) \; \ ;, \ ; \; \ mathbf {N} \ cdot \ mathbf {D} = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {N} + \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t} \ right) \; \ ;, \ ; \; \ mathbf {N} \ cdot \ mathbf {D} = 0}

unde este $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ este tensorul vitezei de deformare definit ca derivată în timp a tensorului de deformare corect în configurația curentă

\mathbf {D} =\left.{\tfrac {\partial }{\partial \tau }}\mathbf {U} (\tau )\right|_{\tau =t}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ left. {\ tfrac {\ partial} {\ partial \ tau}} \ mathbf {U} (\ tau) \ right | _ {\ tau = t}}

{\ displaystyle \ mathbf {D} = \ left. {\ tfrac {\ partial} {\ partial \ tau}} \ mathbf {U} (\ tau) \ right | _ {\ tau = t}}

Rata tensiunii $\mathbf {N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {N}}$ $\ mathbf {N}$ este nedeterminată la nivelul ecuației constitutive și valoarea acesteia trebuie să poată fi determinată prin principiile generale ale situațiilor financiare și condițiile de graniță impuse corpului.

Constrângerea de incompresibilitate

Constrângerea de incompresibilitate necesită ca volumul oricărei părți a corpului să rămână neschimbat în timpul mișcării (mișcare izocorică ). Se traduce prin relații

det(\mathbf {F} )=1

{\ displaystyle det (\ mathbf {F}) = 1}

{\ displaystyle det (\ mathbf {F}) = 1}

Același subiect în detaliu: Deformare .

În acest caz, se arată că starea de solicitare poate fi urmărită înapoi la formă

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=-p\,\mathbf {I} +\mathbb {T} \left(\mathbf {F} _{t}\right)\;\;,\;\;\mathbf {N} \cdot \mathbf {D} =0

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = - p \, \ mathbf {I} + \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t} \ right) \; \ ;, \; \; \ mathbf {N} \ cdot \ mathbf {D} = 0}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = - p \, \ mathbf {I} + \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t} \ right) \; \ ;, \; \; \ mathbf {N} \ cdot \ mathbf {D} = 0}

unde termenul hidrostatic $\mathbf {N} =p\,\mathbf {I}$ ${\ displaystyle \ mathbf {N} = p \, \ mathbf {I}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {N} = p \, \ mathbf {I}}$ este o funcție a unui scalar arbitrar $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ numită presiune nedeterminată sau presiune hidrostatică .

Grupul de izotropii

Proprietatea izotropiei reflectă simetriile în structura moleculară a materiei și duce la o reducere drastică sub forma legăturilor constitutive ale unui material. Este formalizat având în vedere aceeași particulă materială care, pornind de la două configurații inițiale diferite ${\mathcal {K}}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ({\ mathcal {B}})}$ Și ${\tilde {\mathcal {K}}}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {K}}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {K}}} ({\ mathcal {B}})}$ , este supus unei istorii identice de deformare. Dacă răspunsul produs, adică starea de tensiune trasată la momentul t, este identic, atunci se spune că particula este izotropă în ceea ce privește transformarea

{\tilde {\mathbf {X} }}={\tilde {\mathbf {X} }}({\mathbf {X} })

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {X}}} = {\ tilde {\ mathbf {X}}} ({\ mathbf {X}})}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {X}}} = {\ tilde {\ mathbf {X}}} ({\ mathbf {X}})}

trecând de la configurație ${\mathcal {K}}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ({\ mathcal {B}})}$ la configurație ${\tilde {\mathcal {K}}}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {K}}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {K}}} ({\ mathcal {B}})}$ . Cu alte cuvinte, în acest caz, particula materială din configurație ${\mathcal {K}}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ({\ mathcal {B}})}$ nu se distinge, în răspunsul său, de particula materială însăși după ce a fost deformată în configurație ${\tilde {\mathcal {K}}}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {K}}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {K}}} ({\ mathcal {B}})}$ . Această proprietate de simetrie este reprezentată pentru materiale simple prin validitatea relației

\mathbb {T} \left(\mathbf {F} _{t}\right)=\mathbb {T} \left(\mathbf {F} _{t}\,\mathbf {H} \right)

{\ displaystyle \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t} \ right) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t} \, \ mathbf {H} \ right )}}

{\ displaystyle \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t} \ right) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} _ {t} \, \ mathbf {H} \ right )}}

unde este $\mathbf {H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {H}}$ $\ mathbf {H}$ este gradientul transformării ${\tilde {\mathbf {X} }}({\mathbf {X} })$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {X}}} ({\ mathbf {X}})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {X}}} ({\ mathbf {X}})}$ . Probabilitatea fizică implică faptul că cele două configurații ${\mathcal {K}}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {K}} ({\ mathcal {B}})}$ Și ${\tilde {\mathcal {K}}}({\mathcal {B}})$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {K}}} ({\ mathcal {B}})}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathcal {K}}} ({\ mathcal {B}})}$ , pentru a fi izotropi, trebuie să aibă densitate de masă egală și, prin urmare, tensor de gradient unimodular, adică cu un determinant unitar în valoare absolută $|det(\mathbf {H} )|=1$ ${\ displaystyle | det (\ mathbf {H}) | = 1}$ ${\ displaystyle | det (\ mathbf {H}) | = 1}$ .

Izotropia este o proprietate legată de alegerea configurației de referință: vorbim de izotropia materialului în configurația dată. Configurația care are cel mai mare număr de transformări izotrope se numește configurație naturală . Posibile transformări izotrope (și deci unimodulare) sunt rotații, descrise de tensori ortogonali $\mathbf {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Q}}$ $\ mathbf {Q}$ cu determinant de unitate $det(\mathbf {Q} )=1$ ${\ displaystyle det (\ mathbf {Q}) = 1}$ ${\ displaystyle det (\ mathbf {Q}) = 1}$ .

Setul de tensori unimodulari care descriu transformările izotrope ale unui material într-o configurație dată are structura algebrică de grup în raport cu operația de compoziție a tensorului. Vorbim despre grupul de izotropii ale materialului în configurația dată. Setul de tensori ortogonali are și structura grupului. Vorbim de material izotrop dacă grupul de tensori ortogonali este un subgrup al grupului de izotropii.

Materiale solide și fluide

Noțiunea de izotropie (și a grupului de izotropii) permite să distingem într-un mod riguros matematic materialele simple din solide și fluide .

Un solid simplu este un material pentru care grupul de izotropii din configurația naturală este conținut în grupul de tensori ortogonali. Vorbim în special de solid cristalin dacă grupul de izotropii este strict conținut (este un subgrup) de tensori ortogonali, vorbim de solid izotrop dacă grupul de izotropii coincide cu grupul de tensori ortogonali: în primul caz, izotropia nu există pentru toate rotațiile posibile ale particulei, ci pentru un număr mic de ele; în al doilea caz, izotropia există pentru toate rotațiile posibile ale particulei. În concluzie, substanța reală denumită solid are configurații privilegiate față de care răspunsul material este diferit.

Noțiunea fizică de fluid este destul de vagă, dar interpretează ideea că fluidul nu își modifică răspunsul material după o deformare arbitrară care își păstrează densitatea, adică răspunsul este identic pornind de la orice configurație de referință. Pe baza noțiunii de grup de izotropii, această idee este reprezentată într-un mod riguros spunând că un fluid simplu este un material simplu pentru care grupul de izotropii din configurația naturală coincide cu setul de tensori unimodulari. Deoarece grupul de tensori ortogonali este cu siguranță un subgrup al grupului de tensori unimodulari, din definiția dată rezultă că un fluid simplu este cu siguranță izotrop.

Materiale elastice și hiperelastice

O clasă foarte importantă de materiale simple sunt materialele elastice , pentru care în fiecare punct al continuumului starea de tensiune în configurația actuală este determinată doar de starea de deformare a acestei configurații și nu de întreaga istorie trecută a deformării suferite. Prin urmare, pentru aceste materiale legătura constitutivă este atribuibilă formei

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\mathbb {T} \left(\mathbf {F} \right)

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {F} \ right)}

sau forme reduse

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {R} (t)\;\mathbb {T} \left(\mathbf {U} \right)\;\mathbf {R} ^{t}(t)

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {R} (t) \; \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {U} \ right) \; \ mathbf {R } ^ {t} (t)}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbf {R} (t) \; \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {U} \ right) \; \ mathbf {R } ^ {t} (t)}

{\tilde {\mathbf {T} }}(\mathbf {X} ,t)={\tilde {\mathbb {T} }}\left(\mathbf {E} \right)

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} (\ mathbf {X}, t) = {\ tilde {\ mathbb {T}}} \ left (\ mathbf {E} \ right)}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} (\ mathbf {X}, t) = {\ tilde {\ mathbb {T}}} \ left (\ mathbf {E} \ right)}

unde este $\left(\mathbf {F} ,\mathbf {U} ,\mathbf {E} \right)$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {F}, \ mathbf {U}, \ mathbf {E} \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {F}, \ mathbf {U}, \ mathbf {E} \ right)}$ sunt valorile referite la configurația actuală a tensorilor descriptorilor de deformare (gradientul de deformare, tensorul de deformare corect și tensorul verde). Această caracterizare a materialelor elastice este asociată cu proprietatea de reversibilitate a răspunsului material în ceea ce privește starea de solicitare, în sensul că, atunci când starea de deformare dispare, starea de solicitare revine la starea inițială (și invers, adică atunci când cauză de stres, materialul revine la configurația sa inițială geometrică): vorbim despre elasticitatea Cauchy .

O categorie particulară de materiale elastice sunt așa-numitele materiale hiperelastice , pentru care nu numai starea de stres și deformare este reversibilă, ci și activitatea de deformare, adică munca efectuată de sarcini externe pentru deformarea corpului: în acest caz vorbim de elasticitatea lui Green . Un material este dovedit a fi hiperelastic dacă puterea relativă a stării de solicitare

W({\mathcal {P}},t)=\int _{{\mathcal {K}}({\mathcal {P}})}\,{\tilde {\mathbf {T} }}\cdot ({\tfrac {d}{dt}}{\mathbf {E} })\,dV

{\ displaystyle W ({\ mathcal {P}}, t) = \ int _ {{\ mathcal {K}} ({\ mathcal {P}})} \, {\ tilde {\ mathbf {T}}} \ cdot ({\ tfrac {d} {dt}} {\ mathbf {E}}) \, dV}

{\ displaystyle W ({\ mathcal {P}}, t) = \ int _ {{\ mathcal {K}} ({\ mathcal {P}})} \, {\ tilde {\ mathbf {T}}} \ cdot ({\ tfrac {d} {dt}} {\ mathbf {E}}) \, dV}

este un diferențial exact , adică dacă există o funcționalitate a stării de deformare curente $\phi ({\mathbf {E} })$ ${\ displaystyle \ phi ({\ mathbf {E}})}$ ${\ displaystyle \ phi ({\ mathbf {E}})}$ astfel încât gradientul relativ este reprezentativ pentru starea de solicitare, adică se menține următoarea relație

{\tilde {\mathbf {T} }}={\frac {\partial \phi }{\partial {\mathbf {E} }}}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial {\ mathbf {E}}}}}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} = {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial {\ mathbf {E}}}}}

în ceea ce privește al doilea tensor Piola-Kirchhoff ${\tilde {\mathbf {T} }}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}}}$ ${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}}}$ și tensorul dual al deformării lui Green ${\mathbf {E} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {E}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {E}}}$ . Prin urmare, relația este valabilă pentru materialele hiperelastice

W({\mathcal {P}},t)={\tfrac {d}{dt}}\int _{{\mathcal {K}}({\mathcal {P}})}\,\phi ({\mathbf {E} })\,dV

{\ displaystyle W ({\ mathcal {P}}, t) = {\ tfrac {d} {dt}} \ int _ {{\ mathcal {K}} ({\ mathcal {P}})} \, \ phi ({\ mathbf {E}}) \, dV}

{\ displaystyle W ({\ mathcal {P}}, t) = {\ tfrac {d} {dt}} \ int _ {{\ mathcal {K}} ({\ mathcal {P}})} \, \ phi ({\ mathbf {E}}) \, dV}

adică puterea stării de solicitare este derivata în timp a unei mărimi

\Phi =\int _{{\mathcal {K}}({\mathcal {P}})}\,\phi ({\mathbf {E} })\,dV

{\ displaystyle \ Phi = \ int _ {{\ mathcal {K}} ({\ mathcal {P}})} \, \ phi ({\ mathbf {E}}) \, dV}

{\ displaystyle \ Phi = \ int _ {{\ mathcal {K}} ({\ mathcal {P}})} \, \ phi ({\ mathbf {E}}) \, dV}

respectiva energie de deformare , care este o măsură a energiei (adică a capacității de a efectua munca ) acumulată de corp ca o consecință a deformării suferite. Funcționalul $\phi ({\mathbf {E} })$ ${\ displaystyle \ phi ({\ mathbf {E}})}$ ${\ displaystyle \ phi ({\ mathbf {E}})}$ prin urmare, își asumă semnificația densității energiei de deformare pe unitate de volum. Într-un context termodinamic mai general, se arată că este strâns corelat cu măsurarea energiei interne într-un proces adiabatic și a energiei libere într-un proces izoterm .

Hiperelasticitate izotropă

Pentru materialele izotrope, energia de deformare trebuie să fie o funcție izotropă a ${\boldsymbol {E}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ . Aceasta implică faptul că energia de deformare trebuie să depindă numai de invarianții tensorului ${\boldsymbol {E}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$ care sunt astfel definite ( tr și det respectiv indică urmele și determinantul unui tensor)

{\begin{aligned}I_{\boldsymbol {C}}=I_{1}&={\mbox{tr}}\,{\mathbf {E} }\\II_{\boldsymbol {C}}=I_{2}&={\frac {1}{2}}\left(({\mbox{tr}}\,{\mathbf {E} })^{2}-{\mbox{tr}}\,({\mathbf {E} }^{2})\right)\\III_{\boldsymbol {C}}=I_{3}&={\mbox{det}}\,{\mathbf {E} }\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ boldsymbol {C}} = I_ {1} & = {\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {E}} \\ II _ {\ boldsymbol {C }} = I_ {2} & = {\ frac {1} {2}} \ left (({\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {E}}) ^ {2} - {\ mbox {tr }} \, ({\ mathbf {E}} ^ {2}) \ right) \\ III _ {\ boldsymbol {C}} = I_ {3} & = {\ mbox {det}} \, {\ mathbf {E}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} I _ {\ boldsymbol {C}} = I_ {1} & = {\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {E}} \\ II _ {\ boldsymbol {C }} = I_ {2} & = {\ frac {1} {2}} \ left (({\ mbox {tr}} \, {\ mathbf {E}}) ^ {2} - {\ mbox {tr }} \, ({\ mathbf {E}} ^ {2}) \ right) \\ III _ {\ boldsymbol {C}} = I_ {3} & = {\ mbox {det}} \, {\ mathbf {E}} \ end {align}}}

Cu alte cuvinte,

\phi ({\boldsymbol {E}})\equiv \phi (I_{1},I_{2},I_{3})

{\ displaystyle \ phi ({\ boldsymbol {E}}) \ equiv \ phi (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3})}

{\ displaystyle \ phi ({\ boldsymbol {E}}) \ equiv \ phi (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3})}

După regula lanțului ,

{\cfrac {\partial \psi }{\partial {\boldsymbol {E}}}}={\cfrac {\partial \psi }{\partial I_{1}}}~{\cfrac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {E}}}}+{\cfrac {\partial \psi }{\partial I_{2}}}~{\cfrac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {E}}}}+{\cfrac {\partial \psi }{\partial I_{3}}}~{\cfrac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {E}}}}=a_{0}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+a_{1}~{\boldsymbol {E}}+a_{2}~{\boldsymbol {E}}^{-1}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ psi} {\ partial {\ boldsymbol {E}}}} = {\ cfrac {\ partial \ psi} {\ partial I_ {1}}} ~ {\ cfrac {\ partial I_ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {E}}}} + {\ cfrac {\ partial \ psi} {\ partial I_ {2}}} ~ {\ cfrac {\ partial I_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {E}}}} + {\ cfrac {\ partial \ psi} {\ partial I_ {3}}} ~ {\ cfrac {\ partial I_ {3}} {\ partial {\ boldsymbol {E} }}} = a_ {0} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + a_ {1} ~ {\ boldsymbol {E}} + a_ {2} ~ {\ boldsymbol {E}} ^ {- 1 }}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ psi} {\ partial {\ boldsymbol {E}}}} = {\ cfrac {\ partial \ psi} {\ partial I_ {1}}} ~ {\ cfrac {\ partial I_ {1}} {\ partial {\ boldsymbol {E}}}} + {\ cfrac {\ partial \ psi} {\ partial I_ {2}}} ~ {\ cfrac {\ partial I_ {2}} {\ partial {\ boldsymbol {E}}}} + {\ cfrac {\ partial \ psi} {\ partial I_ {3}}} ~ {\ cfrac {\ partial I_ {3}} {\ partial {\ boldsymbol {E} }}} = a_ {0} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + a_ {1} ~ {\ boldsymbol {E}} + a_ {2} ~ {\ boldsymbol {E}} ^ {- 1 }}

și dovedind prin teorema Hamilton-Cayley că

{\boldsymbol {E}}^{-1}\equiv f({\boldsymbol {E}}^{2},{\boldsymbol {E}},{\boldsymbol {\mathit {1}}})

{\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {- 1} \ equiv f ({\ boldsymbol {E}} ^ {2}, {\ boldsymbol {E}}, {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} )}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {E}} ^ {- 1} \ equiv f ({\ boldsymbol {E}} ^ {2}, {\ boldsymbol {E}}, {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} )}}

poți scrie în sfârșit

{\cfrac {\partial \phi }{\partial {\boldsymbol {E}}}}=b_{0}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+b_{1}~{\boldsymbol {E}}+b_{2}~{\boldsymbol {E}}^{2}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ phi} {\ partial {\ boldsymbol {E}}}} = b_ {0} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + b_ {1} ~ {\ boldsymbol {E}} + b_ {2} ~ {\ boldsymbol {E}} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ cfrac {\ partial \ phi} {\ partial {\ boldsymbol {E}}}} = b_ {0} ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + b_ {1} ~ {\ boldsymbol {E}} + b_ {2} ~ {\ boldsymbol {E}} ^ {2}}

Prin urmare, relațiile constitutive pentru un material hiperelastic și izotrop pot fi reprezentate în general în formă

{\tilde {\mathbf {T} }}=b_{0}(I_{1},I_{2},I_{3})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+b_{1}(I_{1},I_{2},I_{3})~{\boldsymbol {E}}+b_{2}(I_{1},I_{2},I_{3})~{\boldsymbol {E}}^{2}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} = b_ {0} (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + b_ { 1} (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}) ~ {\ boldsymbol {E}} + b_ {2} (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}) ~ {\ boldsymbol {E}} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} = b_ {0} (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + b_ { 1} (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}) ~ {\ boldsymbol {E}} + b_ {2} (I_ {1}, I_ {2}, I_ {3}) ~ {\ boldsymbol {E}} ^ {2}}

Cea mai simplă relație constitutivă care satisface cerințele de hiperelasticitate și izotropie este cea liniară ( materiale S.Venant-Kirchhoff )

{\tilde {\mathbf {T} }}=\eta ~{\text{tr}}({\boldsymbol {E}})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~\mu ~{\boldsymbol {E}}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} = \ eta ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {E}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + 2 ~ \ mu ~ {\ boldsymbol {E}}}

{\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {T}}} = \ eta ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {E}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + 2 ~ \ mu ~ {\ boldsymbol {E}}}

unde este $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ sunt constante elastice ale materialului particular care urmează să fie determinate experimental. Cu toate acestea, o astfel de relație liniară este posibilă fizic numai pentru deformări mici.

Materiale elastice liniare (legea generalizată a lui Hooke)

Același subiect în detaliu: Legea lui Hooke și teoria elasticității .

O clasă particulară de materiale elastice, cu un puternic interes tehnic, sunt materialele liniar-elastice , care este reprezentată de o relație constitutivă liniară între tensorul de tensiune și deformare.

Cu toate acestea, experiența arată că legătura liniară este valabilă numai dacă deformările suferite de corp sunt mici, adică corespund ipotezei deformărilor infinitesimale ale teoriei micilor deplasări . În acest context, starea de deformare este descrisă de tensorul tensiunii infinitesimale (partea simetrică a gradientului câmpului de deplasare)

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\nabla }}{\mathbf {u} }+{\boldsymbol {\nabla }}{\mathbf {u} }^{t}\right)

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} {\ mathbf {u}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} { \ mathbf {u}} ^ {t} \ right)}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {2}} \ left ({\ boldsymbol {\ nabla}} {\ mathbf {u}} + {\ boldsymbol {\ nabla}} { \ mathbf {u}} ^ {t} \ right)}

Mai mult, în ipoteza micilor deplasări, este legitim să confundăm, în scopul scrierii relațiilor de echilibru , configurația inițială nedeformată cu configurația de curent deformată: tensorii nominali de tensiune și tensorul Cauchy coincid și este obișnuit să se utilizeze a simbolului ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$ ${{\ boldsymbol \ sigma}}$ pentru a indica tensorul tensiunilor.

Prin urmare, pentru un material elastic-liniar, relațiile constitutive sunt reprezentate de legea lui Hooke :

{\boldsymbol {\sigma }}=\mathbb {C} \,{\boldsymbol {\varepsilon }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ mathbb {C} \, {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

{{\ boldsymbol \ sigma}} = {\ mathbb {C}} \, {\ boldsymbol {\ varepsilon}}

unde este $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ mathbb {C}}$ Este un tensor de tensiunea de ordinul patru, elasticitatea menționată la 36 de coeficienți scalari independenți.

În cele din urmă, în cazul materialului elasto-liniar și izotrop, legătura constitutivă este readusă la reprezentare

{\boldsymbol {\sigma }}=\eta ~{\text{tr}}({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~\mu ~{\boldsymbol {\varepsilon }}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ eta ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + 2 ~ \ mu ~ {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = \ eta ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}} + 2 ~ \ mu ~ {\ boldsymbol {\ varepsilon}}}

în termeni de doar doi parametri scalari elastici $(\eta ,\mu )$ ${\ displaystyle (\ eta, \ mu)}$ ${\ displaystyle (\ eta, \ mu)}$ numite constante Lamé . În acest caz, este ușor să obțineți expresia inversă a legăturii constitutive:

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}\,{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\eta }{2\mu (3\eta +2\mu )}}~{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {2 \ mu}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ eta} {2 \ mu (3 \ eta +2 \ mu)}} ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {2 \ mu}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ eta} {2 \ mu (3 \ eta +2 \ mu)}} ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}}}

exprimat de obicei în forma care revine la Navier în modulul lui Young și modulul lui Poisson :

{\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1+\nu }{E}}\,{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}~{\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1+ \ nu} {E}} \, {\ boldsymbol {\ sigma}} - {\ frac {\ nu} {E}} ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) ~ {\ boldsymbol {\ mathit {1}}}}

{{\ boldsymbol \ varepsilon}} = {\ frac {1+ \ nu} {E}} \, {{\ boldsymbol \ sigma}} - {\ frac {\ nu} {E}} ~ {\ text {tr }} ({\ boldsymbol {\ sigma}}) ~ {\ boldsymbol {{\ mathit {1}}}}

Stokes și fluide newtoniene

Același subiect în detaliu: fluidele newtoniene .

Se arată că pentru fluide și numai pentru fluide este posibil să se reprezinte legătura constitutivă în formă

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\mathbb {T} \left(\mathbf {U} _{t},\rho \right)

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {U} _ {t}, \ rho \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {U} _ {t}, \ rho \ right)}

din punct de vedere cantitativ $\left(\mathbf {U} _{t},\rho \right)$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {U} _ {t}, \ rho \ right)}$ ${\ displaystyle \ left (\ mathbf {U} _ {t}, \ rho \ right)}$ consultați numai configurația curentă. Un model de fluid deosebit de simplu este cel al fluidelor Stokes , pentru care legătura constitutivă este particularizată în

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\mathbb {T} \left(\mathbf {D} ,\rho \right)

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {D}, \ rho \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = \ mathbb {T} \ left (\ mathbf {D}, \ rho \ right)}

adică, dependența de istoricul tensorului de deformare corect în configurația curentă este particularizată numai în cunoașterea tensorului de viteză de deformare $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ .

Aceste legături prezintă un interes tehnic considerabil, deoarece multe fluide reale, în condițiile de mișcare care afectează aplicațiile, pot fi descrise conform acestui model. Se arată că, pentru fluidele lui Stokes, legătura poate fi totuși reprezentată sub forma restricționată

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=-p(\rho )\,\mathbf {I} +\mathbf {T} _{d}\left(\mathbf {D} ,\rho \right)

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = - p (\ rho) \, \ mathbf {I} + \ mathbf {T} _ {d} \ left (\ mathbf {D}, \ rho \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {T} (\ mathbf {x}, t) = - p (\ rho) \, \ mathbf {I} + \ mathbf {T} _ {d} \ left (\ mathbf {D}, \ rho \ right)}

suma unui termen sferic legat de valoarea presiunii dinamice în funcție de densitatea singură și a unui termen $\mathbf {T} _{d}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {d}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T} _ {d}}$ respectiva parte vâscoasă sau disipativă a tensorului de solicitare, singura legată de tensorul de viteză de deformare.

Nell'ambito dei fluidi di Stokes, una classe di materiali particolarmente importante per le applicazioni tecniche sono i fluidi newtoniani , caratterizzati dal fatto che il tensore delle tensioni dipenda linearmente dal tensore velocità di deformazione. Si dimostra che, per la isotropia dei fluidi, i fluidi newtoniani hanno la seguente rappresentazione del legame costitutivo

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\left(-p(\rho )+\eta _{v}(\rho )\,tr(\mathbf {D} )\right)\,\mathbf {I} +2\mu _{v}(\rho )\,\mathbf {D}

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\left(-p(\rho )+\eta _{v}(\rho )\,tr(\mathbf {D} )\right)\,\mathbf {I} +2\mu _{v}(\rho )\,\mathbf {D}

\mathbf {T} (\mathbf {x} ,t)=\left(-p(\rho )+\eta _{v}(\rho )\,tr(\mathbf {D} )\right)\,\mathbf {I} +2\mu _{v}(\rho )\,\mathbf {D}

dove i due scalari $\left(\eta _{v},\mu _{v}\right)$ $\left(\eta _{v},\mu _{v}\right)$ $\left(\eta _{v},\mu _{v}\right)$ sono in generale funzione della densità $\rho$ $\rho$ $\rho$ (oltre che del punto, nel caso di materiali non omogenei) e prendono il nome di coefficienti di viscosità .

Una espressione alternativa del legame costitutivo per fluidi newtoniani è ottenibile decomponendo i due tensori $\left(\mathbf {T} ,\mathbf {D} \right)$ $\left(\mathbf {T} ,\mathbf {D} \right)$ $\left(\mathbf {T} ,\mathbf {D} \right)$ nella relativa parte sferica e deviatorica :

\mathbf {T} =-{\bar {p}}\,\mathbf {I} +\mathbf {T} _{D}\;\;,\;\;\mathbf {D} =tr(\mathbf {D} )\,\mathbf {I} +\mathbf {D} _{D}

\mathbf {T} =-{\bar {p}}\,\mathbf {I} +\mathbf {T} _{D}\;\;,\;\;\mathbf {D} =tr(\mathbf {D} )\,\mathbf {I} +\mathbf {D} _{D}

\mathbf {T} =-{\bar {p}}\,\mathbf {I} +\mathbf {T} _{D}\;\;,\;\;\mathbf {D} =tr(\mathbf {D} )\,\mathbf {I} +\mathbf {D} _{D}

Ne derivano le relazioni equivalenti

\pi ={\bar {p}}+K_{v}\,tr(\mathbf {D} )\;\;,\;\;\mathbf {T} _{D}=\mu _{v}\,\mathbf {D} _{D}

\pi ={\bar {p}}+K_{v}\,tr(\mathbf {D} )\;\;,\;\;\mathbf {T} _{D}=\mu _{v}\,\mathbf {D} _{D}

\pi ={\bar {p}}+K_{v}\,tr(\mathbf {D} )\;\;,\;\;\mathbf {T} _{D}=\mu _{v}\,\mathbf {D} _{D}

dove ${\bar {p}}=-{\tfrac {1}{3}}\,tr(\mathbf {T} )$ ${\bar {p}}=-{\tfrac {1}{3}}\,tr(\mathbf {T} )$ ${\bar {p}}=-{\tfrac {1}{3}}\,tr(\mathbf {T} )$ è la pressione media e $K_{v}=\eta _{v}+{\tfrac {2}{3}}\mu _{v}$ $K_{v}=\eta _{v}+{\tfrac {2}{3}}\mu _{v}$ $K_{v}=\eta _{v}+{\tfrac {2}{3}}\mu _{v}$ è il coefficiente di viscosità volumetrica del fluido.

In particolare da tale ultima relazione risulta che la pressione dinamica $\pi$ $\pi$ $\pi$ coincide con la pressione media ${\bar {p}}$ ${\bar {p}}$ ${\bar {p}}$ sia nella condizione $K_{v}=0$ $K_{v}=0$ $K_{v}=0$ , ben verificata nel caso di gas rarefatti , sia nella condizione $tr(\mathbf {D} )=0$ $tr(\mathbf {D} )=0$ $tr(\mathbf {D} )=0$ . Quest'ultima condizione è soddisfatta nello stato di quiete o nel caso di moti isocorici , cioè che non comportino variazione di volume. Tale condizione è pertanto verificata nel caso di fluidi incompressibili, per i quali la pressione media rappresenta anche il valore della pressione indeterminata, legata al vincolo cinematico di incomprimibilità.

Il modello di fluido newtoniano fornisce un'adeguata descrizione del comportamento di molti fluidi reali, come per esempio l'acqua, nelle condizioni di moto laminare , ma conduce a risultati discordi dalla realtà nel caso di moto turbolento .

Fluidi elastici e fluidi perfetti

I fluidi elastici sono fluidi caratterizzati da

sforzo di tipo sferico $\mathbf {T} =-p\,\mathbf {I}$ $\mathbf {T} =-p\,\mathbf {I}$ $\mathbf {T} =-p\,\mathbf {I}$ ( legge di Pascal )
pressione funzione della sola densità $p(\rho )$ $p(\rho )$ $p(\rho )$

Essi sono pertanto una particolare classe dei fluidi inviscidi, cioè per i quali sono nulli i coefficienti di viscosità $\left(\eta _{v},\mu _{v}\right)$ $\left(\eta _{v},\mu _{v}\right)$ $\left(\eta _{v},\mu _{v}\right)$ . In particolare un fluido elastico ed incompressibile è detto fluido perfetto o ideale .

Altri legami costitutivi

Materiali elasto-plastici

Lo stesso argomento in dettaglio: Teoria della plasticità .

Materiali visco-elastici
Materiali visco-plastici
Materiali fragili e softening

Bibliografia

W. Noll, On the Continuity of the Solid and Fluid States , Ph. D. thesis, Indiana University, 1954.
C. Truesdell, W. Noll, The Non-Linear Field Theories of Mechanics, in Encyclopedia of Physics (S. Flugge editor), vol. III/3, Springer-Verlag, New York, 1965. ISBN 3-540-03313-0
C. Truesdell, A First Course in Rational Continuum Mechanics , Academic Press, New York, 1977. ISBN 0-12-701301-6
ME Gurtin, An Introduction to Continuum Mechanics , Academic Press, New York, 1981. ISBN 0-12-309750-9
L. Ascione, A. Grimaldi, Elementi di Meccanica dei Continui , Liguori Editore, Napoli, 1989. ISBN 88-207-1829-4

Voci correlate

Portale Ingegneria

Portale Matematica

Portale Meccanica

V · D · M Meccanica classica e meccanica del continuo
Grandezze intensive	Densità · Velocità macroscopica · Campo medio · Tensione interna · Temperatura · Deformazione · Densità termica
Grandezze estensive	Massa · Portata · Quantità di moto · Forza esterna · Energia interna · Calore · Dissipazione · Lavoro termodinamico
Bilanci	Conservazione della massa · Bilancio della quantità di moto · Bilancio di energia interna
Approssimazioni	Equazioni di Eulero · Equazioni di Navier-Stokes · Equazioni di Burnett
Leggi	Legge di Pascal · Legge di Newton · Legge di Fourier · Legge di Stokes · Legge di Hooke
Meccanica dei solidi	Solido · Teoria dell'elasticità · Teoria della plasticità · Reologia · Viscoelasticità
Meccanica dei fluidi	Fluido · Fluidostatica · Fluidodinamica · Viscosità · Fluido newtoniano · Fluido non newtoniano