Legea Newton-Stokes

În fizică , în special în dinamica fluidelor , legea lui Stokes este relația constitutivă care descrie mișcarea de alunecare a celor mai simple fluide: cele care au vâscozitate constantă. Corpurile pentru care se aplică legea lui Stokes se numesc, în general, fluide newtoniene .

Mai general, legea lui Stokes descrie transportul impulsului printr-un flux continuu cu vâscozitate constantă. De exemplu, poate descrie și fluirea solidelor metalice la temperatură înaltă.

Afirmație

Reprezentarea mișcării laminare a unui fluid newtonian.

Luat un fluid în echilibru și perfect imobil în raport cu un plan fix și i se aplică o forță de forfecare ${\boldsymbol {\tau }}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ tau}}}$ , de exemplu de-a lungul unei direcții x, se observă că fluidul se mișcă de parcă ar fi format din straturi unice, numite lamine , care alunecă una peste alta. Datorită frecării vâscoase, lamele nu se mișcă toate la aceeași viteză, de fapt variază de-a lungul lui. Prin urmare, avem viteza maximă pentru lamina cea mai îndepărtată de plan și scade liniar până când este anulată pentru lamina în contact cu avionul. Așa că primim:

\tau _{yx}\propto {\frac {\Delta v_{x}}{\Delta y}}

{\ displaystyle \ tau _ {yx} \ propto {\ frac {\ Delta v_ {x}} {\ Delta y}}}

{\ displaystyle \ tau _ {yx} \ propto {\ frac {\ Delta v_ {x}} {\ Delta y}}}

Constanta de proporționalitate care leagă tensiunea de forfecare de variația vitezei de-a lungul componentei y se numește vâscozitate și este indicată de $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ . Făcând grosimea foilor individuale să tindă la 0, se obține următoarea ecuație: ^[1]

\tau _{yx}=-\mu {\frac {\partial }{\partial y}}v_{x}

{\ displaystyle \ tau _ {yx} = - \ mu {\ frac {\ partial} {\ partial y}} v_ {x}}

{\ displaystyle \ tau _ {yx} = - \ mu {\ frac {\ partial} {\ partial y}} v_ {x}}

Generalizând relația, obținem o ecuație tensorială care descrie mișcarea laminară a unui fluid cu vâscozitate constantă în toate direcțiile spațiale:

{\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}=-\mu \nabla \mathbf {v}

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} = - \ mu \ nabla \ mathbf {v}}

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} = - \ mu \ nabla \ mathbf {v}}

unde este $\mathbf {v} =\{v_{x},\ v_{y},\ v_{z}\}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ {v_ {x}, \ v_ {y}, \ v_ {z} \}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ {v_ {x}, \ v_ {y}, \ v_ {z} \}}$ . O formulare alternativă a legii Newton-Stokes poate fi obținută recurgând la difuzivitatea cinematică $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ :

{\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}=-{\frac {\mu }{\bar {\rho }}}\nabla ({\bar {\rho }}\mathbf {v} )=-\nu \nabla ({\bar {\rho }}\mathbf {v} )

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} = - {\ frac {\ mu} {\ bar {\ rho}}} \ nabla ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}) = - \ nu \ nabla ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v})}

{\ displaystyle {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau}}}} = - {\ frac {\ mu} {\ bar {\ rho}}} \ nabla ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}) = - \ nu \ nabla ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v})}

unde este ${\bar {\rho }}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ rho}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ rho}}}$ este densitatea fluidului. Pornind de la această ultimă ecuație este posibil să se descrie modul în care produsul dintre densitate și viteză variază în funcție de timp prin următoarea ecuație:

{\frac {\partial }{\partial t}}({\bar {\rho }}\mathbf {v} )=-\nabla \cdot {\underline {\underline {\boldsymbol {\tau }}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}) = - \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau} }}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} ({\ bar {\ rho}} \ mathbf {v}) = - \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {\ boldsymbol {\ tau} }}}}

care reprezintă, de fapt, o formă simplificată a ecuației echilibrului impulsului , în care este prezentă doar componenta difuzivă a fluxului net.

Ecuația căldurii

În analiza matematică , ecuația diferențială parțială care are aceeași formă ca ultima relație se numește ecuația căldurii :

{\frac {\partial u}{\partial t}}-a\nabla ^{2}u=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ nabla ^ {2} u = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ nabla ^ {2} u = 0}

în special, este o ecuație diferențială parțială eliptică neliniară .

Notă

^ Fenomene de transport ( PDF ), pe treccani.it .

Bibliografie

Pasăre, Stewart și Lightfoot, Fenomene de transport , Milano, Editura Ambrosiana.
P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voices, Physics - Volumul I (ediția a doua) , Napoli, EdiSES, 2010, ISBN 88-7959-137-1 .

Elemente conexe

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[1] Fenomene de transport ( PDF ), pe treccani.it .

[1]