Ecuațiile Navier-Stokes

Simularea numerică a debitelor de aer dacă a creat de-a lungul corpului de " auto : ecuațiile Navier-Stokes descrie analitic aceste fluxuri

In dinamica fluidelor ecuațiile Navier-Stokes sunt un sistem de trei echilibru ecuații ( ecuații diferențiale parțiale ) ale mecanicii mediilor continue , care descrie un liniar vâscos fluid ; în masa lor legea lui Stokes (în balanța cinematică) și legea lui Fourier (în balanța energetică) sunt introduse ca legi constitutive ale materialului. Ecuațiile sunt numite după Claude-Louis Navier si George Stokes .

Aceste ecuații corespund Chapman e aproximare primul grad al ecuațiilor de echilibru . În mod corespunzător, ecuațiile de echilibru Euler constituie prima și cea mai importantă aproximarea (ele corespund aproximarea zero grade de expansiune), în timp ce ecuațiile Burnett constituie cea de a doua aproximarea în dezvoltarea asimptotică , care ia în considerare efectele de ordinul al doilea. Soluția analitică a ecuațiilor în cazul general reprezintă una dintre problemele nerezolvate moderne matematică (așa-numitele 7 probleme mileniului ), pentru care Premiul Clay a fost stabilit. Soluții analitice particulare sunt obținute în cazuri simplificate, în timp ce soluțiile aproximative sunt de obicei obținute prin recurgerea la metodele de analiză numerică , precum și utilizarea în comun a calculatorului .

Modelul matematic

Cea mai mare eficiență predictivă a acestor ecuații în comparație cu cele ale lui Euler este plătită în termeni de soluție de dificultate. De fapt, în cazul general implică cinci ecuații diferențiale diferențiale parțiale și 20 de variabile. Echilibrul dintre ecuații și necunoscutelor are loc cu definirea proprietăților fluidului considerat, de orice forțe de câmp implicate și cu considerații matematice. Mai mult decât atât, datorită non- lor liniaritate , ecuațiile Navier-Stokes aproape niciodată nu admite o soluție analitică (adică o soluție exactă), dar exclusiv numeric (o soluție aproximat cu o metodă numerică ).

Ecuațiile Navier-Stokes sunt capabili să descrie complet orice flux de fluid, chiar turbulente . În special pentru o curgere turbulentă, adică acolo unde traiectoriile particulelor de curgere nu mai este constantă în timp sunt, o numeric de calcul abordare este în general numită simulare numerică directă (DNS). Datorită faptului că resursele de calcul necesare pentru GROW lor de rezoluție cu numărul Reynolds (aproape cu Re³) și că acest număr poate avea valori de ordinul a 10 ⁶ -10 ^9, această abordare rămâne imposibil punct de vedere tehnic. Ca o alternativă la simularea numerică este posibil să se adopte sisteme mai puțin oneroase , cum ar fi formularea LES sau ecuațiile medii .

Ecuațiile sunt completate de condițiile limită și condițiile inițiale (condițiile impuse la începutul temporal al fenomenului de studiat). Ele pot fi de asemenea integrate prin ecuația de stare a gazelor ideale și prin ecuațiile de conservare ale speciilor gazoase individuale în cazul unui amestec gazos.

Soluția ecuațiilor dă câmpului vitezei fluidului. Din aceasta va fi posibil să se urmărească toate celelalte mărimi ce caracterizează fluxul.

Ipoteza modelului

Modelul matematic care permite analiza dinamicii deformabile continuități se bazează pe următoarele caracteristici:

fluid continuu;
chimic omogen și fluid nereactive;
gratuit de fluid de sarcini electrice .

Ipoteza continuă a fluidului

Natura discontinuă a materiei este neglijată, în acest fel, va fi posibil să se facă un volum de fluid tinde la zero, fără ca acest lucru să poată să rămână fără materie.

Un parametru fundamental care caracterizează mediul din punctul de vedere al continuității este numărul Knudsen , definit ca raportul dintre calea medie liberă a unei particule constituent al fluidului și o lungime caracteristică a fluxului:

\mathrm {Kn} ={\frac {l}{L}}

{\ Displaystyle \ mathrm {Kn} = {\ frac {l} {L}}}

{\ Mathrm {Kn}} = {\ frac {l} {L}}

Dacă numărul Knudsen este mult mai puțin decât una, atunci este posibil să se ia în considerare continuă a fluidului. În caz contrar , va fi necesar pentru a studia comportamentul gazului numai pe bază statistică, prin intermediul teoriei cinetice a gazelor , care analizează statistic distribuția vitezelor moleculare și de aici derivă toate proprietățile gazului.

Ipoteză de vedere chimic omogenă și nereactivi fluid

Perturbărilor datorate fluxului neomogenitate și reacțiile chimice vor fi neglijate. Acest lucru nu va fi în întregime posibil pentru fluxurile de reactant , cum ar fi cele din interiorul unei camere de ardere , de exemplu.

Ipoteză de lipsit de fluid de sarcini electrice

Perturbărilor datorate câmpului electromagnetic vor fi neglijate. Interacțiunea fluxurilor cu câmpuri electromagnetice este studiată prin magnetofluidodynamics .

deducere empirică

Ecuațiile Navier-Stokes sunt formalizarea matematică a trei principii fizice la care fluidele răspunde, setează starea deformabil continuă:

Principiul de conservare a masei ( ecuația continuității );
al doilea principiu al dinamicii ( echilibru de impuls );
prima lege a termodinamicii ( conservarea energiei ).

Din acest motiv , ele sunt , de asemenea , adesea menționată ca ecuațiile de echilibru .

În următoarele paragrafe , vom indica întotdeauna vectorul de viteză al fluidului cu notația ${\vec {u}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}}}$ ${\ vec u}$ , În timp ce p și ρ , respectiv , va indica presiunea statică și densitatea fluidului în sine. Simbolul ${\vec {a}}$ ${\ Displaystyle {\ vec {a}}}$ ${\ Vec a}$ va reprezenta vectorul câmpului accelerațiilor .

Descrierile mișcării materialului și extern

Fiecare variabilă de stat locală este dependentă, în general, de poziția sa în spațiu și timp. Poziția unei particule de fluid depinde apoi de timpul și viteza de curgere.

De fapt, acesta este de obicei folosit pentru a descrie mișcarea temporar unui fluid , în special , prin cele două puncte de vedere, corespunzătoare celor două tipuri diferite de derivat .

Cea mai sintetică descriere este descrierea materialului (sau Lagrangiene), care urmează traiectoria fiecărei particule de fluid, care implică derivatul obișnuit în raport cu timpul de locale variabilele de stare (densitate, debit viteză, temperatură).

Punctul Eulerian de vedere, pe de altă parte, observă variațiile proprietăților fizice pentru orice poziție spațială (x, y, z), și utilizează derivate parțiale . De coordonatele spațiale , prin urmare , (împreună cu variabila timp) vor fi variabile independente. Variabilele dependente sunt, prin urmare, o funcție a celor spațiale și temporale. De exemplu, pentru viteza:

{\vec {u}}={\vec {u}}(x;y;z;t).

{\ Displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {u}} (x, y, z, t).}

{\ Vec u} = {\ vec u} (x, y, z, t).

Reynolds teoremă de transport

Același subiect în detaliu: Reynolds de transport teorema și teorema divergență .

Pentru comoditatea discuției raportăm teorema de transport Reynolds , care, pentru o proprietate:

A=A(x;y;z;t)

{\ Displaystyle A = A (x; y; z; t)}

A = A (x; y; z; t)

conținute într - un volum V arbitrar, care se mișcă cu fluid, și are o suprafață S (pentru care un vector poate fi asociat cu o intensitate corespunzătoare valorii numerice a suprafeței, și în direcția normală la suprafață), este indicată ca :

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}A\,dV=\int _{V(t)}{\frac {\partial A}{\partial t}}\,dV+\int _{S(t)}A{\vec {u}}\cdot \,d{\vec {S}}.

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} A \, dV = \ int _ {V (t)} {\ frac {\ A parțial} {\ t parțial}} \, dV + \ int _ {S (t)} A {\ vec {u}} \ cdot \, d {\ vec {S}}.}

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} A \, dV = \ int _ {V (t)} {\ frac {\ A parțial} {\ t parțial}} \, dV + \ int _ {S (t)} A {\ vec {u}} \ cdot \, d {\ vec {S}}.}

Reamintind teorema divergență , este de asemenea posibil să se exprime cel anterior ca:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}A\,dV=\int _{V(t)}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(A{\vec {u}}\right)\right)\,dV

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} A \, dV = \ int _ {V (t)} \ stânga ({\ frac {\ A parțial} {\ parțial t}} + \ nabla \ cdot \

din

stânga (A {\ vec {u}} \ dreapta) \ dreapta) \, dV}

{\ Frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} A \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ stânga ({\ frac {\ A parțial} {\ t parțial}} + \ nabla \ cdot \ din stânga (A {\ vec u} \ dreapta) \ dreapta) \, dV

și amintindu-ne că:

\nabla \cdot \left(A{\vec {u}}\right)=\left({\vec {u}}\cdot \nabla \right)A+A\nabla \cdot {\vec {u}}

{\ Displaystyle \ nabla \ cdot \

din

stânga (A {\ vec {u}} \ dreapta) = \ stânga ({\ vec {u}} \ cdot \ nabla \ dreapta) A + A \ nabla \ cdot {\ vec { u}}}

\ Nabla \ cdot \ din stânga (A {\ vec u} \ dreapta) = \ stânga ({\ vec u} \ cdot \ nabla \ dreapta) A + A \ nabla \ cdot {\ vec u}

precum definiția derivare , este posibil să se exprime teorema într - o formă foarte utilă:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}A\,dV=\int _{V(t)}\left({\frac {DA}{Dt}}+A\nabla \cdot {\vec {u}}\right)\,dV.

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} A \, dV = \ int _ {V (t)} \ stânga ({\ frac {DA} {Dt}} + A \ nabla \ cdot {\ vec {u}} \ dreapta) \, dV.}

{\ Frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} A \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ stânga ({\ frac {DA} {Dt}} + A \ nabla \ cdot {\ vec u} \ dreapta) \, dV.

Ecuația de continuitate

Același subiect în detaliu: Legea conservării masei (fizică) .

Punct de vedere lagrangian

Principiul conservării masei, în cazul de mișcare a unui fluid, poate fi exprimată din punct de vedere al Lagrangiana afirmând că:

„Masa conținută într-un volum (deformabilă), care se mișcă cu resturi de fluid timp, fără modificări.“

În acest caz, prin urmare, în termeni matematici:

{\frac {dm}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}\rho \,dV=0\,.

{\ Displaystyle {\ frac {dm} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} \ rho \, dV = 0 \,.}

{\ Frac {dm} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho \, dV = 0 \,.

Aplicând teorema de transport Reynolds la densitate ρ (masă pe unitatea de volum), obținem ecuația de continuitate în formă de divergență:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec {u}}\right)=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + \ nabla \ cdot \ stânga (\ rho {\ vec {u}} \ dreapta) = 0}

{\ Frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + \ nabla \ cdot \ stânga (\ rho {\ vec u} \ dreapta) = 0

care pot fi de asemenea raportate în formă orientativă:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho u_{i}\right)}{\partial x_{i}}}=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + {\ frac {\ parțial \ stânga (\ rho u_ {i} \ dreapta)} {\ X_ parțial {i}}} = 0}

{\ Frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + {\ frac {\ parțial \ stânga (\ rho u_ {i} \ dreapta)} {\ X_ parțial {i}}} = 0

care poate fi, de asemenea, raportate în formă extinsă:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial \left(\rho u\right)}{\partial x}}+{\frac {\partial \left(\rho v\right)}{\partial y}}+{\frac {\partial \left(\rho w\right)}{\partial z}}=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + {\ frac {\ parțial \ stânga (\ rho u \ dreapta)} {\ parțial x}} + {\ frac {\ parțial \ stânga (\ rho v \ dreapta)} {\ y parțial}} + {\ frac {\ parțial \ stânga (\ rho w \ dreapta)} {\ z parțial}} = 0}

{\ Frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + {\ frac {\ parțial \ stânga (\ rho u \ dreapta)} {\ x parțial}} + {\ frac {\ parțial \ stânga (\ rho v \ dreapta)} {\ y parțial}} + {\ frac {\ parțial \ stânga (\ rho w \ dreapta)} {\ parțial z}} = 0

sau în ceea ce privește derivatul totală:

{\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot {\vec {u}}=0\,.

{\ Displaystyle {\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec {u}} = 0 \,.}

{\ Frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec u} = 0 \,.

Punct de vedere eulerian

Același principiu de conservare, din punctul de vedere al Eulerian, poate fi exprimată după cum urmează:

„Modificarea masei conținută într - un volum fix este egal cu diferența dintre masa asumările și masa outgoing curge (opusă fluxului net).“

Un generic flux de masă per unitate de suprafață, care trece printr - o pereche de fețe P și Q unui volum, este considerat ca produs al fluidului de densitate care p, vitezei componentei într - o direcție perpendiculară pe fața examinată și aria feței în sine.

Având în vedere ipoteza unui element infinitezimal putem aproxima valoarea fluxului în punctul central al fiecărei fețe cu valoarea medie și se calculează valoarea fluxului pe o față pornind de la valoarea asumată pe fața anterioară printr - o serie Taylor trunchiate la prima expansiune de studii:

\Phi _{P_{x}}=\rho u\,dydz\qquad \Phi _{Q_{x}}=\rho u\,dydz+{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\,dxdydz

{\ Displaystyle \ Phi _ {P_ {x}} = \ rho u \, dydz \ prototipurilor \ Phi _ {qjndex {x}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ parțial \ rho u} {\ parțial x}} \, DXDYDZ}

\ Phi _ {{P_ {x}}} = \ rho u \, dydz \ prototipurilor \ Phi _ {{qjndex {x}}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ parțial \ rho u} { \ x parțial}} \, DXDYDZ

unde P și Q _x _x indică fețele normale (adică perpendicular ) la direcția x. În urma declarației de principiu, și anume calculul diferenței fluxurilor, obținem:

\Phi _{x}=\Phi _{Q_{x}}-\Phi _{P_{x}}=\rho u\,dydz+{\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\,dxdydz-\rho u\,dydz={\frac {\partial \rho u}{\partial x}}\,dxdydz

{\ Displaystyle \ Phi _ {x} = \ Phi _ {qjndex {x}} - \ Phi _ {P_ {x}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ parțial \ rho u} {\ parțial x}} \, dxdydz- \ rho u \, dydz = {\ frac {\ parțial \ rho u} {\ x parțial}} \, DXDYDZ}

\ Phi _ {x} = \ Phi _ {{qjndex {x}}} - \ Phi _ {{P_ {x}}} = \ rho u \, dydz + {\ frac {\ parțial \ rho u} {\ x parțial}} \, dxdydz- \ rho u \, dydz = {\ frac {\ parțial \ rho u} {\ x parțial}} \, DXDYDZ

Extinderea raționamentul la alte direcții spațiale obținem că fluxul net va fi egal cu:

\Phi =\left({\frac {\partial \rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial \rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial \rho w}{\partial z}}\right)\,dxdydz=\left[\nabla \cdot \left(\rho {\vec {u}}\right)\right]\,dxdydz.

{\ Displaystyle \ Phi = \ stânga ({\ frac {\ parțial \ rho u} {\ x parțial}} + {\ frac {\ parțial \ rho v} {\ parțial y}} + {\ frac {\ parțial \ rho w} {\ z parțial}} \ dreapta) \, DXDYDZ = \ stânga [\ nabla \ cdot \ stânga (\ rho {\ vec {u}} \ dreapta) \ right] \, DXDYDZ.}

\ Phi = \ stânga ({\ frac {\ parțial \ rho u} {\ x parțial}} + {\ frac {\ parțial \ rho v} {\ parțial y}} + {\ frac {\ parțial \ rho w} {\ z parțial}} \ dreapta) \, DXDYDZ = \ stânga [\ nabla \ cdot \ stânga (\ rho {\ vec u} \ dreapta) \ right] \, DXDYDZ.

Acum pune schimbarea masei în timp egală cu opusul fluxului net:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\,dxdydz=-\left[\nabla \cdot \left(\rho {\vec {u}}\right)\right]\,dxdydz

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} \, DXDYDZ = - \ stânga [\ nabla \ cdot \ stânga (\ rho {\ vec {u}} \ dreapta) \ right] \, DXDYDZ}

{\ Frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} \, DXDYDZ = - \ stânga [\ nabla \ cdot \ stânga (\ rho {\ vec u} \ dreapta) \ right] \, DXDYDZ

și în final, prin unitatea de volum:

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho {\vec {u}}\right)=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + \ nabla \ cdot \ stânga (\ rho {\ vec {u}} \ dreapta) = 0}

{\ Frac {\ parțial \ rho} {\ t parțial}} + \ nabla \ cdot \ stânga (\ rho {\ vec u} \ dreapta) = 0

Re obținerea expresiei prezentată anterior.

Ecuația Balanța de impuls

Același subiect în detaliu: Legea conservării impulsului .

Punct de vedere lagrangian

Conservarea impulsului (definit ca produsul de ori masa vitezei sau, pe unitatea de volum, ori densitatea vitezei) se exprimă afirmând că:

„Variația temporală a impulsului coincide sistemului cu rezultanta forțelor externe a sistemului“

și matematic:

{\frac {d{\vec {Q}}}{dt}}={\vec {F}}_{e}

{\ Displaystyle {\ frac {d {\ vec {Q}}} {dt}} = {\ vec {F}} _ {e}}

{\ Frac {d {\ vec Q}} {dt}} = {\ vec F} _ {e}

în cazul în care, de fapt, cu F _și este indicată suma forțelor externe, de masă (cum ar fi forța de gravitație ) și suprafața (cum ar fi forțele vâscoase).

Introducerea acestei diferențieri în forțe și o formulare integrală:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}\rho {\vec {u}}\,dV=\int _{V(t)}\rho {\vec {F}}_{V}\,dV+\int _{S(t)}{\vec {F}}_{S}\,dS

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} \ rho {\ vec {u}} \, dV = \ int _ {V (t)} \ rho {\ vec { F}} _ {V} \, dV + \ int _ {S (t)} {\ vec {F}} _ {S} \, dS}

{\ Frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec u} \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec F} _ {V} \, dV + \ int _ {{S (t)}} {\ vec F} _ {S} \, dS

Primul membru poate fi transformat într-o formă mai convenabilă prin intermediul teoremei de transport Reynolds:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}\rho {\vec {u}}\,dV=\int _{V(t)}\left({\frac {D\rho {\vec {u}}}{Dt}}+\rho {\vec {u}}\left(\nabla \cdot {\vec {u}}\right)\right)\,dV

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} \ rho {\ vec {u}} \, dV = \ int _ {V (t)} \ stânga ({\ frac {D \ rho {\ vec {u}}} {Dt}} + \ rho {\ vec {u}} \ stânga (\ nabla \ cdot {\ vec {u}} \ dreapta) \ dreapta) \, dV}

{\ Frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec u} \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ stânga ({\ frac { D \ rho {\ vec u}} {Dt}} + \ rho {\ vec u} \ stânga (\ nabla \ cdot {\ vec u} \ dreapta) \ dreapta) \, dV

care poate fi redus sub forma:

{\frac {d}{dt}}\int _{V(t)}\rho {\vec {u}}\,dV=\int _{V(t)}\rho {\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}\,dV+\int _{V(t)}{\vec {u}}\left({\frac {D\rho }{Dt}}+\rho \nabla \cdot {\vec {u}}\right)\,dV

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V (t)} \ rho {\ vec {u}} \, dV = \ int _ {V (t)} \ rho {\ frac { D {\ vec {u}}} {Dt}} \, dV + \ int _ {V (t)} {\ vec {u}} \ stânga ({\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec {u}} \ dreapta) \, dV}

{\ Frac {d} {dt}} \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ vec u} \, dV = \ int _ {{V (t)}} \ rho {\ frac {D {\ vec u}} {Dt}} \, dV + \ int _ {{V (t)}} {\ vec u} \ stânga ({\ frac {D \ rho} {Dt}} + \ rho \ nabla \ cdot {\ vec u} \ dreapta) \, dV

unde, prin urmare, zero, ultimele coincide integral cu ecuația de continuitate și este.

Dacă aplicăm teorema divergență la ultima integrală a ecuației impuls, va fi posibil să-l scrie ca parte integrantă volum. Ecuația apoi se transformă după cum urmează:

\int _{V(t)}\left(\rho {\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}-\rho {\vec {F}}_{V}-\nabla \cdot {\underline {\underline {T}}}\right)\,dV=0

{\ Displaystyle \ int _ {V (t)} \ stânga (\ rho {\ frac {D {\ vec {u}}} {Dt}} - \ rho {\ vec {F}} _ {V} - \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {T}}} \ dreapta) \, dV = 0}

\ Int _ {{V (t)}} \ stânga (\ rho {\ frac {D {\ vec u}} {Dt}} - \ rho {\ vec F} _ {V} - \ nabla \ cdot \ underline {\ underline T} \ dreapta) \, dV = 0

în cazul în care T cu dublă subliniere indică tensorul de stres . Având în vedere că egalitatea anterioară trebuie să dețină pentru orice volum arbitrar de integrare, integrandul trebuie să fie zero:

\rho {\frac {D{\vec {u}}}{Dt}}=\rho {\vec {F}}_{V}+\nabla \cdot {\underline {\underline {T}}}

{\ Displaystyle \ rho {\ frac {D {\ vec {u}}} {Dt}} = \ rho {\ vec {F}} _ {V} + \ nabla \ cdot {\ underline {\ underline {T} }}}

\ Rho {\ frac {D {\ vec u}} {Dt}} = \ rho {\ vec F} _ {V} + \ nabla \ cdot \ underline {\ underline T}

care exprimă ecuația impulsului (pe unitate de volum ).

Punct de vedere eulerian

Al doilea principiu al dinamicii exprimă conservarea momentului și, pentru un element al fluidului, se poate afirma, după cum urmează:

„Variația, în timp, a impulsului fluidului conținut în τ volum de control, a adăugat la fluxul net al impulsului prin sigma de suprafață, este egal cu rezultanta forțelor exterioare care acționează asupra fluidului conținut în volumul în sine.“

Deci, cu formularea integrală:

{\frac {d}{dt}}\int _{V}\rho {\vec {u}}\,dV+\oint _{S}\left(\rho {\vec {u}}\right){\vec {u}}\cdot {\hat {n}}\,dS=\int _{V}{\vec {F}}_{V}\,dV+\oint _{S}{\underline {\underline {T}}}\,dS

{\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ rho {\ vec {u}} \, dV + \ oint _ {S} \ stânga (\ rho {\ vec {u}} \ dreapta) {\ vec {u}} \ cdot {\ hat {n}} \, dS = \ int _ {V} {\ vec {F}} _ {V} \, dV + \ oint _ {S} {\ underline {\ underline {T}}} \, dS}

{\ Frac {d} {dt}} \ int _ {V} \ rho {\ vec u} \, dV + \ oint _ {S} \ stânga (\ rho {\ vec u} \ dreapta) {\ vec u } \ cdot {\ hat n} \, dS = \ int _ {V} {\ vec F} _ {V} \, dV + \ oint _ {S} \ subliniere {\ subliniere T} \, dS

unde volumul (cum ar fi suprafața S că înglobează) nu este o funcție de timp.

Tensorul tensiune pentru un fluid

Același subiect în detaliu: relația constitutivă (mecanică) și tensiunea internă .

care acționează forța generică pe o suprafață (orientată).

Stresul tensor sau stres tensorul este un tri-dimensional al doilea grad tensor , caracterizat prin nouă componente T _ik care reprezintă cele trei componente ale tensiunilor în cele trei direcții spațiale ale unui anumit sistem de referință cartezian . În formă matematică:

{\underline {\underline {T}}}={\begin{Bmatrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\\\end{Bmatrix}}.

{\ Displaystyle {\ underline {\ underline {T}}} = {\ begin {Bmatrix} T_ {11} & T_ {12} & T_ {13} \\ T_ {21} & T_ {22} & T_ {23 } \\ T_ {31} & T_ {32} & T_ {33} \\\ end {Bmatrix}}.}

\ Underline {\ underline T} = {\ begin {Bmatrix} T _ {{11}} & T _ {{12}} & T _ {{13}} \\ T _ {{21}} & T _ { {22}} & T _ {{23}} \\ T _ {{31}} & T _ {{32}} & T _ {{33}} \\\ end {Bmatrix}}.

Dacă luăm în considerare o suprafață de generic, orientat în conformitate cu n vectoror ca în figură, iar rezultanta forțelor elementare pe care moleculele de fluid în imediata apropiere a exercita o fata pozitiva pe cei din apropierea fata negativa, avem ca stresul în raport cu suprafața de S și versorul n este:

{\vec {T}}_{n}={\frac {{\vec {F}}_{n}}{S}}

{\ Displaystyle {\ vec {T}} _ {n} = {\ frac {{\ vec {F}} _ {n}} {S}}}

{\ Vec T} _ {n} = {\ frac {{\ vec F} _ {n}} {S}}

Subscriptului n indică faptul că forța depinde de mărimea și orientarea suprafeței, în timp ce efortul depinde singur de orientare.

În cazul static, adică a unui fluid în repaus, spre deosebire de mecanica solidelor, singura forță va fi pur normal și stresul rezultat va fi numit de presiune . Într-un fluid în mișcare, pe de altă parte, frecarea dintre straturile adiacente se deplasează cu viteze diferite vor da naștere rezultat forțe oblice.

Spre deosebire de solide elastice, pentru care tensiunile depind în mod esențial de deformarea efectivă a particulelor, pentru fluide tensiunile depind de rata de deformare.

De fluid non-micropolare

Dacă lichidul este non - micropolare , adică, cu un tensor simetric de stres, atunci T _ik = T _ki, astfel încât cele nouă componente sunt reduse la șase cantități independente. Acest lucru se datorează faptului că momentele mecanice care acționează pe fețele unui anumit volum (de exemplu, sub forma unui paralelipiped dreptunghiular ), în raport cu o anumită axă (de exemplu z), care trece prin centrul volumului , sunt:

\left|{\vec {M}}_{z}\right|=T'_{12}\,bc\,{\frac {a}{2}}-T''_{12}\,bc\left(-{\frac {a}{2}}\right)+T'_{21}\,ac\left(-{\frac {b}{2}}\right)-T''_{21}\,ac\,{\frac {b}{2}}

{\ Displaystyle \

din

stânga | {\ vec {M}} _ {z} \ dreapta | = T '_ {12} \, bc \, {\ frac {a} {2}} - T' „_ {12} \, bc \ stânga (- {\ frac {a} {2}} \ dreapta) + T '_ {21} \, ac \ stânga (- {\ frac {b} {2}} \ dreapta) -T' „_ {21} \, ac \ {\ frac {b} {2}}}

{\ Displaystyle \ din stânga | {\ vec {M}} _ {z} \ dreapta | = T '_ {12} \, bc \, {\ frac {a} {2}} - T' „_ {12} \, bc \ stânga (- {\ frac {a} {2}} \ dreapta) + T '_ {21} \, ac \ stânga (- {\ frac {b} {2}} \ dreapta) -T' „_ {21} \, ac \ {\ frac {b} {2}}}

în timp ecuația momentului mecanic al unei mișcări în jurul unui centru de greutate al unui paralelipiped este:

\left|{\vec {M}}_{z}\right|=I_{z}\,\omega _{z}=\rho \,abc\,{\frac {a^{2}+b^{2}}{12}}\,\omega _{z}

{\ Displaystyle \

din

stânga | {\ vec {M}} _ {z} \ dreapta | = I_ {z} \, \ omega _ {z} = \ rho \, abc \, {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {12}} \, \ omega _ {z}}

\ Din stânga | {\ vec M} _ {z} \ dreapta | = I_ {z} \, \ omega _ {z} = \ rho \, abc \, {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2 }} {12}} \, \ omega _ {z}

unde _z indică momentul de inerție în jurul axei z și cu ω _z viteza unghiulară . Prin echivalarea expresiile anterioare, obținem:

\rho \,{\frac {a^{2}+b^{2}}{12}}\,\omega _{z}={\frac {T'_{12}+T''_{12}}{2}}-{\frac {T'_{21}+T''_{21}}{2}}.

{\ Displaystyle \ rho \ {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {12}} \, \ omega _ {z} = {\ frac {T '_ {12} + T' ' _ {12}} {2}} - {\ frac {T. '_ {21} + T' „_ {21}} {2}}}

\ Rho \ {\ frac {a ^ {2} + b ^ {2}} {12}} \, \ omega _ {z} = {\ frac {T '_ {{12}} + T' „_ {{12}}} {2}} - {\ frac {T '_ {{21}} + T' „_ {{21}}} {2}}.

Deoarece volumul tinde spre 0, lungimile a, b și c va tinde la 0, în timp ce tensiunile de pe fețele opuse vor tinde să o valoare comună. Prin urmare, rămâne:

T_{12}-T_{21}=0

{\ T_ displaystyle {12} -T_ {21} = 0}

T _ {{12}} - T _ {{21}} = 0

care se aplică și celorlalte axe.

Relațiile dintre tensiunile și ratele de solicitare: fluide newtoniene izotrope

Același subiect în detaliu: de fluid newtonian .

Un fluid este definit ca Newtoniene când sa vâscozitate nu variază cu viteză și, din acest motiv, relația matematică care leagă tensorului de stres la componentele tensorului coeficientul de tensiune este liniară .

Din dorința de a găsi relațiile care subliniază link-ul și ratele de deformare, analizăm cazurile cele mai simple și apoi se adaugă efectele lor (datorită liniaritatea problemei), obținând cazul general.

Cel mai simplu caz al tuturor va fi cazul static: după cum sa observat deja, tensiunile vor fi pur și simplu normală, în timp ce tensorul rata de deformare (pe care le vom indica prin ${\underline {\underline {\varepsilon }}}$ ${\ Displaystyle {\ underline {\ underline {\ varepsilon}}}}$ $\ Underline {\ underline \ varepsilon}$ ) Este nul ipotetic. În termeni matematici:

{\begin{cases}T_{ik}=-p\qquad &\mathrm {per\ } i=k\\T_{ik}=0\qquad &\mathrm {per\ } i\neq k.\\\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} T_ {ik} = - p \ prototipurilor & \ mathrm {pentru \} i = k \\ T_ {ik} = 0 \ prototipurilor & \ mathrm {pentru \} i \ neq k. \\\ end {cazuri}}}

{\ Begin {cazuri} T _ {{ik}} = - p \ prototipurilor & {\ mathrm {pentru \}} i = k \\ T _ {{ik}} = 0 \ prototipurilor & {\ mathrm {pentru \ }} i \ neq k. \\\ end {cazuri}}

Să considerăm acum un flux în mișcare, în cazul în care cu toate acestea, pentru un anumit sistem de referință cartezian , tensiunile sunt pur normale pe suprafața unui element de formă parellelepiped (sistem de referință al axelor principale de deformare). De exemplu, să presupunem că este:

{\begin{cases}T_{ik}=0\qquad &\mathrm {per\ } i\neq k\\T_{11}>T_{22}=T_{33}\,.\\\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} T_ {ik} = 0 \ prototipurilor & \ mathrm {pentru \} i \ neq k \\ T_ {11}> T_ {22} = {T_ 33} \ ,. \\\ end {cazuri}}}

{\ Begin {cazuri} T _ {{ik}} = 0 \ prototipurilor & {\ mathrm {pentru \}} i \ neq k \\ T _ {{11}}> T _ {{22}} = T _ {{33}} \ ,. \\\ end {cazuri}}

Efectele sistemului stresului anterior asupra unui fluid sunt diferite în cazul izotrop fluid (cum ar fi apa și aerul ) sau anizotrope fluid (cum ar fi de sânge , ale căror molecule dau proprietăți diferite fluide în direcții diferite). Experiență fizică arată că fluidele care afectează aerodinamica si hidrodinamica sunt newtoniene si izotrope fluide , numite altfel fluide Stokesian . Prin urmare , vom analiza un fluid izotrop, în cazul în care acesta trebuie să fie ε ₁₂ = 0:

{\begin{cases}\varepsilon _{ik}=0\qquad &\mathrm {per\ } i\neq k\\\varepsilon _{11}>0\\\varepsilon _{22}=\varepsilon _{33}<\varepsilon _{11}\,.\\\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} \ varepsilon _ {ik} = 0 \ prototipurilor & \ mathrm {pentru \} i \ neq k \\\ varepsilon _ {11}> 0 \\\ varepsilon _ {22} = \ varepsilon _ {33} <\ varepsilon _ {11} \ end {\\\ ,. cazuri}}}

{\ Begin {cazuri} \ varepsilon _ {{ik}} = 0 \ prototipurilor & {\ mathrm {pentru \}} i \ neq k \\\ varepsilon _ {{11}}> 0 \\\ varepsilon _ {{ 22}} = \ varepsilon _ {{33}} <\ varepsilon _ {{11}} \ ,. \\\ end {cazuri}}

În cele din urmă, în cazul mai general rămâne să fie luate în considerare, și anume în cazul în care toate componentele eforturile vor fi diferite de zero:

T_{ik}\neq 0\quad \forall i;k\qquad \Rightarrow \qquad \varepsilon _{ik}\neq 0\quad \forall i;k.

{\ T_ displaystyle {ik} \ neq 0 \ quad \ forall i; k \ prototipurilor \ rightarrow \ prototipurilor \ varepsilon _ {ik} \ neq 0 \ quad \ forall i; k.}

T _ {{ik}} \ neq 0 \ quad \ forall i; k \ prototipurilor \ rightarrow \ prototipurilor \ varepsilon _ {{ik}} \ neq 0 \ quad \ forall i; k.

Fiecare componentă a tensorului stres va fi o anumită funcție, liniară pentru fluide newtoniene, a componentelor tensorului ratei tulpinii. Prin dezvoltarea acestei funcții în serie Taylor (arestat la primul grad , datorită proprietății sale linearitate), obținem:

T_{ik}=f_{0}+f_{1}(\varepsilon _{mn}).

{\ Displaystyle T_ {ik} = f_ {0} + f_ {1} (\ varepsilon _ {mn}).}

T _ {{ik}} = f_ {0} + f_ {1} (\ varepsilon _ {{mil}}).

Rămâne acum să obțină aceste funcții liniare: care se ocupă cu problema într-un anumit sistem de referință, cum ar fi cel al axelor principale de deformare, avem:

{\begin{cases}T_{11}=f_{0}+a_{1}\varepsilon _{11}+b_{1}\varepsilon _{22}+b_{1}\varepsilon _{33}\\T_{22}=f_{0}+a_{2}\varepsilon _{22}+b_{2}\varepsilon _{11}+b_{2}\varepsilon _{33}\\T_{33}=f_{0}+a_{3}\varepsilon _{33}+b_{3}\varepsilon _{11}+b_{3}\varepsilon _{22}.\\\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} T_ {11} = f_ {0} + a_ {1} \ varepsilon _ {11} + B_ {1} \ varepsilon _ {22} + B_ {1} \ varepsilon _ {33 } \\ T_ {22} = f_ {0} + a_ {2} \ varepsilon _ {22} + B_ {2} \ varepsilon _ {11} + B_ {2} \ varepsilon _ {33} \\ T_ {33 } = f_ {0} + a_ {3} \ varepsilon _ {33} + B_ {3} \ varepsilon _ {11} + B_ {3} \ varepsilon _ {22}. \\\ end {cazuri}}}

{\ Begin {cazuri} T _ {{11}} = f_ {0} + a_ {1} \ varepsilon _ {{11}} + B_ {1} \ varepsilon _ {{22}} + B_ {1} \ varepsilon _ {{33}} \\ T _ {{22}} = f_ {0} + a_ {2} \ varepsilon _ {{22}} + B_ {2} \ varepsilon _ {{11}} + B_ { 2} \ varepsilon _ {{33}} \\ T _ {{33}} = f_ {0} + a_ {3} \ varepsilon _ {{33}} + B_ {3} \ varepsilon _ {{11}} + B_ {3} \ varepsilon _ {{22}}. \\\ end {cazuri}}

În primul caz analizat, prin urmare, acesta va fi:

f_{0}=-p.\

{\ Displaystyle f_ {0} = - p \.}

f_ {0} = -. p \

Datorită faptului că studiem un fluid Stokesian, există , de asemenea , echivalența completă a comportamentului între cele trei direcții principale de deformare x _1, x _2, x ₃ și , prin urmare:

{\begin{cases}a_{1}=a_{2}=a_{3}=a\\b_{1}=b_{2}=b_{3}=b\\\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} a_ {1} = a_ {2} = a_ {3} = a \\ B_ {1} = B_ {2} = B_ {3} = b \\\ end {cazuri} }}

{\ Begin {cazuri} a_ {1} = a_ {2} = a_ {3} = a \\ B_ {1} = B_ {2} = B_ {3} = b \\\ end {cazuri}}

și, prin urmare, sistemul inițial poate fi scris ca:

{\begin{cases}T_{11}=f_{0}+(a-b)\varepsilon _{11}+b\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}\\T_{22}=f_{0}+(a-b)\varepsilon _{22}+b\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}\\T_{33}=f_{0}+(a-b)\varepsilon _{33}+b\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}.\\\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} T_ {11} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {11} + b \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {ii} \\ T_ {22} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {22} + b \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {ii} \\ T_ {33} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {33} + b \ sum _ {i = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {ii}. \\\ end {cazuri}}}

{\ Begin {cazuri} T _ {{11}} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {{11}} + b \ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ { {ii}} \\ T _ {{22}} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {{22}} + b \ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ { {ii}} \\ T _ {{33}} = f_ {0} + (ab) \ varepsilon _ {{33}} + b \ sum _ {{i = 1}} ^ {3} \ varepsilon _ { {ii}}. \\\ end {cazuri}}

Infine, tenendo conto che

\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}=\nabla \cdot {\vec {u}}

\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ii}=\nabla \cdot {\vec {u}}

\sum _{{i=1}}^{3}\varepsilon _{{ii}}=\nabla \cdot {\vec u}

e ponendo per comodità

{\begin{cases}a-b=2\mu \\b=\lambda \\\end{cases}}

{\begin{cases}ab=2\mu \\b=\lambda \\\end{cases}}

{\begin{cases}a-b=2\mu \\b=\lambda \\\end{cases}}

si ottiene:

{\begin{cases}T_{11}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{11}\\T_{22}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{22}\\T_{33}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{33}\\\end{cases}}

{\begin{cases}T_{11}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{11}\\T_{22}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{22}\\T_{33}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{33}\\\end{cases}}

{\begin{cases}T_{{11}}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+2\mu \,\varepsilon _{{11}}\\T_{{22}}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+2\mu \,\varepsilon _{{22}}\\T_{{33}}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+2\mu \,\varepsilon _{{33}}\\\end{cases}}

dove il secondo termine al secondo membro descrive l'effetto della viscosità dovuto alla variazione di volume di una particella di fluido.

Non resta ora che generalizzare il sistema di equazioni precedente al caso di una terna di riferimento qualsiasi:

{\begin{cases}T_{kk}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{kk}\\T_{ik}=2\mu \,\varepsilon _{ik}\qquad i\neq k.\\\end{cases}}

{\begin{cases}T_{kk}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+2\mu \,\varepsilon _{kk}\\T_{ik}=2\mu \,\varepsilon _{ik}\qquad i\neq k.\\\end{cases}}

{\begin{cases}T_{{kk}}=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+2\mu \,\varepsilon _{{kk}}\\T_{{ik}}=2\mu \,\varepsilon _{{ik}}\qquad i\neq k.\\\end{cases}}

La prima equazione del sistema precedente evidenzia il fatto che, nel caso generale, i tre sforzi normali sono differenti tra loro. La loro media è:

{\begin{aligned}{\frac {T_{11}+T_{22}+T_{33}}{3}}&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+{\frac {2}{3}}\;\mu \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)=\\&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+{\frac {2}{3}}\;\mu \nabla \cdot {\vec {u}}\\&=-p+\mu '\nabla \cdot {\vec {u}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {T_{11}+T_{22}+T_{33}}{3}}&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+{\frac {2}{3}}\;\mu \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\right)=\\&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec {u}}+{\frac {2}{3}}\;\mu \nabla \cdot {\vec {u}}\\&=-p+\mu '\nabla \cdot {\vec {u}}\end{aligned}}

{\begin{aligned}{\frac {T_{{11}}+T_{{22}}+T_{{33}}}{3}}&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+{\frac {2}{3}}\;\mu \left(\varepsilon _{{11}}+\varepsilon _{{22}}+\varepsilon _{{33}}\right)=\\&=-p+\lambda \nabla \cdot {\vec u}+{\frac {2}{3}}\;\mu \nabla \cdot {\vec u}\\&=-p+\mu '\nabla \cdot {\vec u}\end{aligned}}

dove con μ' si è indicata la viscosità di volume (o in terminologia anglosassone bulk viscosity ), la quale descrive la differenza tra lo sforzo normale medio e la pressione di un fluido, dovuta alla viscosità. Il valore della viscosità di volume in genere è trascurabile per i gas, in particolare per quelli monoatomici.

Conservazione dell'energia

Lo stesso argomento in dettaglio: Legge di conservazione dell'energia .

Il primo principio della termodinamica, ovvero il principio di conservazione dell'energia può essere espresso dicendo che la variazione nell'unità di tempo dell'energia totale del fluido contenuto nel volume di controllo sommata al flusso netto di energia totale attraverso le facce del volume di controllo uguaglia la somma della potenza delle forze agenti sull'elemento di fluido e del flusso netto di energia termica trasmessa all'elemento di fluido per conduzione.

Come si nota in questa formulazione viene trascurata l'energia trasmessa all'elemento per irraggiamento. Formalizzando matematicamente questo principio si sfrutterà il concetto di energia totale per unità di massa $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ che è uno scalare definito come:

E=e+{\frac {1}{2}}V^{2}

E=e+{\frac {1}{2}}V^{2}

E=e+{\frac {1}{2}}V^{2}

cioè la somma tra l'energia interna delle molecole e l'energia meccanica degli elementini di fluido.

Nell'enunciato si parla di flusso netto di energia totale: come per la quantità di moto si indicherà questo flusso come il prodotto tra il flusso di massa e l'energia totale per unità di massa trasportata in ogni direzione:

\Phi _{E}={\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}

\Phi _{E}={\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}

\Phi _{E}={\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}

La potenza degli sforzi agenti sull'elementino di fluido considerato comprende sia la potenza sviluppata dagli sforzi viscosi del tensore $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ sia gli sforzi associati alla pressione .

Ricorrendo alla definizione di potenza come prodotto di una forza per una velocità , si potrà scrivere:

P_{S}={\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)}{\partial z}}

P_{S}={\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)}{\partial z}}

P_{S}={\frac {\partial (S_{{xx}}u+S_{{yx}}v+S_{{zx}}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{{xy}}u+S_{{yy}}v+S_{{zy}}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{{xz}}u+S_{{yz}}v+S_{{zz}}w)}{\partial z}}

per quanto riguarda gli sforzi viscosi , mentre per la pressione sarà:

P_{p}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)

P_{p}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)

P_{p}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)

La potenza delle forze di campo si definisce come:

P_{c}=\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w

P_{c}=\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w

P_{c}=\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w

Per quanto riguarda la potenza termica trasmessa per conduzione attraverso le facce dell'elementino è necessaria la definizione di un vettore ${\vec {q}}=[q_{x},q_{y},q_{z}]^{T}$ ${\vec {q}}=[q_{x},q_{y},q_{z}]^{T}$ ${\vec q}=[q_{x},q_{y},q_{z}]^{T}$ flusso termico. Sarà possibile scrivere:

-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

L'equazione completa che formalizza il primo principio della termodinamica per i fluidi in movimento sarà quindi:

{\frac {\partial \rho E}{\partial t}}+{\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)+

{\frac {\partial \rho E}{\partial t}}+{\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)+

{\frac {\partial \rho E}{\partial t}}+{\frac {\partial E\rho u}{\partial x}}+{\frac {\partial E\rho v}{\partial y}}+{\frac {\partial E\rho w}{\partial z}}=-\left({\frac {\partial pu}{\partial x}}+{\frac {\partial pv}{\partial y}}+{\frac {\partial pw}{\partial z}}\right)+

+{\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)}{\partial z}}+

+{\frac {\partial (S_{xx}u+S_{yx}v+S_{zx}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{xy}u+S_{yy}v+S_{zy}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{xz}u+S_{yz}v+S_{zz}w)}{\partial z}}+

+{\frac {\partial (S_{{xx}}u+S_{{yx}}v+S_{{zx}}w)}{\partial x}}+{\frac {\partial (S_{{xy}}u+S_{{yy}}v+S_{{zy}}w)}{\partial y}}+{\frac {\partial (S_{{xz}}u+S_{{yz}}v+S_{{zz}}w)}{\partial z}}+

+\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

+\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

+\rho a_{x}u+\rho a_{y}v+\rho a_{z}w-\left({\frac {\partial q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial q_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial q_{z}}{\partial z}}\right)

Osservazioni e chiusura del problema

Le 3 equazioni (due equazioni scalari ed un'equazione vettoriale) appena derivate sono insufficienti, da sole, alla chiusura del problema della determinazione del campo di moto del fluido . Infatti le equazioni contengono 20 incognite:

densità
vettore velocità (3 incognite)
pressione
tensore degli sforzi viscosi $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ (9 incognite)
vettore accelerazione di campo (3 incognite)
energia interna $e$ ${\displaystyle e}$ $e$
vettore flusso termico ${\vec {q}}$ ${\vec {q}}$ ${\vec q}$ , sempre riconducibile a una funzione di un coefficiente di conducibilità termica e della temperatura (2 incognite).

Queste equazioni sono del tutto generali e per la loro applicazione è necessaria una sorta di specializzazione delle stesse alla situazione di lavoro.

Per la chiusura del problema è quindi necessario definire le proprietà termofisiche del fluido in esame (che permettono di definire la conducibilità termica , la densità , l'energia interna e una o più equazioni di stato in grado di determinare anche temperatura e pressione ) e il campo di forze in cui si muove (determinando il vettore di accelerazioni di campo ). Inoltre si osserva che il tensore degli sforzi viscosi $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ è simmetrico, con la conseguenza che le incognite effettivamente contenute sono 6 e non 9 e sono determinabili sperimentalmente o teoricamente specificando il tipo di fluido. Saranno successivamente necessarie le condizioni iniziali e le condizioni al contorno, trattandosi di equazioni differenziali ( problema di Cauchy o problema di Neumann ).

Le equazioni in forma adimensionale

Le equazioni scritte nei paragrafi precedenti sono in forma dimensionale, nel senso che ogni termine possiede dimensioni fisiche della grandezza considerata:

$\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{3}\,s}}\right]\qquad }$ $\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{3}\,s}}\right]\qquad }$ ${\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{3}\,s}}\right]\qquad }}$ nella prima equazione;
$\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{2}\,s^{2}}}\right]\qquad }$ $\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{2}\,s^{2}}}\right]\qquad }$ ${\mathrm {\left[{\frac {kg}{m^{2}\,s^{2}}}\right]\qquad }}$ nelle tre equazioni della quantità di moto;
$\mathrm {\left[{\frac {kg}{m\,s^{3}}}\right]\qquad }$ $\mathrm {\left[{\frac {kg}{m\,s^{3}}}\right]\qquad }$ ${\mathrm {\left[{\frac {kg}{m\,s^{3}}}\right]\qquad }}$ nell'ultima equazione.

Di conseguenza, volendo confrontare tra loro i numerosi coefficienti per sapere quali di essi sia il più preponderante nei vari casi in esame, bisognerebbe calcolare il valore di ogni singolo termine. Un metodo pratico per ovviare a questa necessità è quello di dividere ogni coefficiente per una certa grandezza omogenea di riferimento, in tal modo i coefficienti risulteranno adimensionali . Queste grandezze di riferimento saranno scelte in base alle condizioni al contorno ed alle condizioni iniziali del particolare problema fluidodinamico che si vuole esaminare. Qui sono indicate con il pedice 0 ( zero ):

\rho ^{*}={\frac {\rho }{\rho _{0}}}\qquad {u_{i}}^{*}={\frac {u_{i}}{U_{0}}}\qquad p^{*}={\frac {p}{p_{0}}}\qquad t^{*}={\frac {t}{t_{0}}}\qquad x^{*}={\frac {x_{i}}{L_{0}}}\qquad T^{*}={\frac {T}{T_{0}}}

\rho ^{*}={\frac {\rho }{\rho _{0}}}\qquad {u_{i}}^{*}={\frac {u_{i}}{U_{0}}}\qquad p^{*}={\frac {p}{p_{0}}}\qquad t^{*}={\frac {t}{t_{0}}}\qquad x^{*}={\frac {x_{i}}{L_{0}}}\qquad T^{*}={\frac {T}{T_{0}}}

\rho ^{*}={\frac {\rho }{\rho _{0}}}\qquad {u_{i}}^{*}={\frac {u_{i}}{U_{0}}}\qquad p^{*}={\frac {p}{p_{0}}}\qquad t^{*}={\frac {t}{t_{0}}}\qquad x^{*}={\frac {x_{i}}{L_{0}}}\qquad T^{*}={\frac {T}{T_{0}}}

L'equazione di conservazione della massa

L'equazione di conservazione della massa scritta nella forma:

{\frac {D\rho }{Dt}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho +\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0

{\frac {D\rho }{Dt}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho +\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0

{\frac {D\rho }{Dt}}+\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }})\rho +\rho {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {u}}=0

può essere resa adimensionale esprimendola nella forma:

\mathrm {St} \;{\frac {\partial \rho ^{*}}{\partial t^{*}}}+({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*})\rho ^{*}+\rho ^{*}{\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}=0

\mathrm {St} \;{\frac {\partial \rho ^{*}}{\partial t^{*}}}+({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*})\rho ^{*}+\rho ^{*}{\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}=0

{\mathrm {St}}\;{\frac {\partial \rho ^{*}}{\partial t^{*}}}+({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*})\rho ^{*}+\rho ^{*}{\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}=0

dove con il simbolo St si è indicato il gruppo adimensionale, detto numero di Strouhal :

$\mathrm {St} ={\frac {L_{0}}{U_{0}\;t_{0}}}$ $\mathrm {St} ={\frac {L_{0}}{U_{0}\;t_{0}}}$ ${\mathrm {St}}={\frac {L_{0}}{U_{0}\;t_{0}}}$ .

Le equazioni di conservazione della quantità di moto

Le equazioni di conservazione della quantità di moto possono essere adimensionalizzate nella forma:

\mathrm {St} \left(\rho ^{*}{\frac {\partial {\vec {u}}^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right){\vec {u}}^{*}=-{\frac {1}{\mathrm {Ru} }}{\vec {\nabla }}^{*}p^{*}-{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\rho ^{*}{\vec {k}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}{\nabla ^{*}}^{2}{\vec {u}}^{*}+{\frac {1}{3\,\mathrm {Re} }}{\vec {\nabla }}^{*}\left({\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}\right)

\mathrm {St} \left(\rho ^{*}{\frac {\partial {\vec {u}}^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right){\vec {u}}^{*}=-{\frac {1}{\mathrm {Ru} }}{\vec {\nabla }}^{*}p^{*}-{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\rho ^{*}{\vec {k}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}{\nabla ^{*}}^{2}{\vec {u}}^{*}+{\frac {1}{3\,\mathrm {Re} }}{\vec {\nabla }}^{*}\left({\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}\right)

{\mathrm {St}}\left(\rho ^{*}{\frac {\partial {\vec {u}}^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right){\vec {u}}^{*}=-{\frac {1}{{\mathrm {Ru}}}}{\vec {\nabla }}^{*}p^{*}-{\frac {1}{{\mathrm {Fr}}^{2}}}\rho ^{*}{\vec k}+{\frac {1}{{\mathrm {Re}}}}{\nabla ^{*}}^{2}{\vec {u}}^{*}+{\frac {1}{3\,{\mathrm {Re}}}}{\vec {\nabla }}^{*}\left({\vec {\nabla }}^{*}\cdot {\vec {u}}^{*}\right)

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

$\mathrm {Re} ={\frac {U_{0}\,L_{0}}{\nu }}={\frac {\rho _{0}\,U_{0}\,L_{0}}{\mu }}$ $\mathrm {Re} ={\frac {U_{0}\,L_{0}}{\nu }}={\frac {\rho _{0}\,U_{0}\,L_{0}}{\mu }}$ ${\mathrm {Re}}={\frac {U_{0}\,L_{0}}{\nu }}={\frac {\rho _{0}\,U_{0}\,L_{0}}{\mu }}$ numero di Reynolds ;
$\mathrm {Fr} ={\sqrt {\frac {U_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}}$ $\mathrm {Fr} ={\sqrt {\frac {U_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}}$ ${\mathrm {Fr}}={\sqrt {{\frac {U_{0}^{2}}{g\,L_{0}}}}}$ numero di Froude ;
$\mathrm {Ru} ={\frac {\rho _{0}\,U_{0}^{2}}{p_{0}}}$ $\mathrm {Ru} ={\frac {\rho _{0}\,U_{0}^{2}}{p_{0}}}$ ${\mathrm {Ru}}={\frac {\rho _{0}\,U_{0}^{2}}{p_{0}}}$ numero di Ruark , inverso del numero di Eulero .

Nel caso in cui la viscosità dinamica $\mu$ $\mu$ $\mu$ non sia costante, si troverà un valore di riferimento $\mu _{0}$ $\mu _{0}$ $\mu _{0}$ e si utilizzerà all'interno dell'equazione il valore adimensionale $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ $\mu ^{*}$ .

L'equazione di conservazione dell'energia termica

L'equazione di conservazione dell'energia termica, dato che quella dell'energia meccanica condurrebbe a gruppi adimensionali già visti per le equazioni della quantità di moto, viene espressa in funzione di termini adimensionali:

\mathrm {St} \left(\rho ^{*}{\frac {\partial T^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)T^{*}=\mathrm {St} \,{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Ru} }}\,{\frac {\partial p^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Ru} }}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)p^{*}+{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Re} }}\Phi ^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Pr} \,\mathrm {Re} }}{\nabla ^{*}}^{2}T^{*}+{\frac {\mathrm {Nu} }{\mathrm {Pr} \,\mathrm {Re} }}\rho ^{*}{\dot {q}}^{*}

\mathrm {St} \left(\rho ^{*}{\frac {\partial T^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)T^{*}=\mathrm {St} \,{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Ru} }}\,{\frac {\partial p^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Ru} }}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)p^{*}+{\frac {\mathrm {Ec} }{\mathrm {Re} }}\Phi ^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Pr} \,\mathrm {Re} }}{\nabla ^{*}}^{2}T^{*}+{\frac {\mathrm {Nu} }{\mathrm {Pr} \,\mathrm {Re} }}\rho ^{*}{\dot {q}}^{*}

{\mathrm {St}}\left(\rho ^{*}{\frac {\partial T^{*}}{\partial t^{*}}}\right)+\rho ^{*}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)T^{*}={\mathrm {St}}\,{\frac {{\mathrm {Ec}}}{{\mathrm {Ru}}}}\,{\frac {\partial p^{*}}{\partial t^{*}}}+{\frac {{\mathrm {Ec}}}{{\mathrm {Ru}}}}\left({\vec {u}}^{*}\cdot {\vec {\nabla }}^{*}\right)p^{*}+{\frac {{\mathrm {Ec}}}{{\mathrm {Re}}}}\Phi ^{*}+{\frac {1}{{\mathrm {Pr}}\,{\mathrm {Re}}}}{\nabla ^{*}}^{2}T^{*}+{\frac {{\mathrm {Nu}}}{{\mathrm {Pr}}\,{\mathrm {Re}}}}\rho ^{*}{\dot {q}}^{*}

dove i simboli indicano i seguenti gruppi adimensionali:

$\mathrm {Ec} ={\frac {U_{0}^{2}}{c_{p}\,T_{0}}}$ $\mathrm {Ec} ={\frac {U_{0}^{2}}{c_{p}\,T_{0}}}$ $\mathrm{Ec} = \frac{U_0^2}{c_p \, T_0}$ numero di Eckert ;
$\mathrm {Pr} ={\frac {\mu \,c_{p}}{K}}={\frac {\nu }{\alpha }}$ $\mathrm {Pr} ={\frac {\mu \,c_{p}}{K}}={\frac {\nu }{\alpha }}$ $\mathrm{Pr} = \frac{\mu \, c_p}{K} = \frac{\nu}{\alpha}$ numero di Prandtl , dove con ${\alpha }={\frac {K}{\rho \,c_{p}}}$ ${\alpha }={\frac {K}{\rho \,c_{p}}}$ ${\alpha} = \frac{K}{\rho \, c_p}$ si è indicato il coefficiente di diffusività termica ;
$\mathrm {Nu} =-{\frac {\lambda \,L_{0}}{K}}$ $\mathrm {Nu} =-{\frac {\lambda \,L_{0}}{K}}$ ${\mathrm {Nu}}=-{\frac {\lambda \,L_{0}}{K}}$ numero di Nusselt , dove con $\lambda$ $\lambda$ $\lambda$ si è indicato il coefficiente di scambio termico .

Equazioni di Eulero

Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Eulero .

Relazioni di salto

Discontinuità di contatto

Onda d'urto

Lo stesso argomento in dettaglio: Onda d'urto (fluidodinamica) .

Bibliografia

( EN ) R. Byron Bird, Warren E. Stewart; Edwin N. Lightfoot, Transport Phenomena , 2ª ed., New York, Wiley, 2005, ISBN 0-470-11539-4 .
Quartapelle, Auteri, Fluidodinamica incomprimibile.
Quartapelle, Auteri, Fluidodinamica comprimibile.

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Equazioni di Navier-Stokes , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 20867 · LCCN ( EN ) sh85090420 · GND ( DE ) 4041456-5 · BNF ( FR ) cb11932601z (data) · BNE ( ES ) XX4812802 (data)

Portale Aviazione

Portale Fisica

Portale Ingegneria

V · D · M Meccanica classica e meccanica del continuo
Grandezze intensive	Densità · Velocità macroscopica · Campo medio · Tensione interna · Temperatura · Deformazione · Densità termica
Grandezze estensive	Massa · Portata · Quantità di moto · Forza esterna · Energia interna · Calore · Dissipazione · Lavoro termodinamico
Bilanci	Conservazione della massa · Bilancio della quantità di moto · Bilancio di energia interna
Approssimazioni	Equazioni di Eulero · Equazioni di Navier-Stokes · Equazioni di Burnett
Leggi	Legge di Pascal · Legge di Newton · Legge di Fourier · Legge di Stokes · Legge di Hooke
Meccanica dei solidi	Solido · Teoria dell'elasticità · Teoria della plasticità · Reologia · Viscoelasticità
Meccanica dei fluidi	Fluido · Fluidostatica · Fluidodinamica · Viscosità · Fluido newtoniano · Fluido non newtoniano