Aproximare Chapman-Enskog

Aproximarea lui Chapman este cel mai utilizat sistem pentru a aproxima ecuațiile de echilibru și conduce în cele mai simple forme progresiv de la ecuațiile Euler , la ecuațiile Navier-Stokes , la ecuațiile Burnett .

Istorie

Chapman și Enskog în 1917 ^[1] au fost primii care au dezvoltat o procedură sistematică pentru a deriva din ecuațiile de echilibru formele tradiționale propuse din secolul al XVII-lea până atunci pentru fluide și pentru continuități în general, care până atunci aveau o bază predominant empirică ^[2]. . Deși de atunci au fost propuse diverse alte scheme pentru a genera aproximări direct din ecuațiile de transport (cum ar fi metoda lui Grad , expansiunea polinomială a lui Legendre , funcțiile de distribuție bimodală), metoda lui Chapman și a lui Enskog rămâne cea mai utilizată schemă.

Formulare

Aproximarea constă în înlocuirea densității de fază în ecuațiile de echilibru cu o serie trunchiată de Maclaurin la nivelul dorit de aproximare în viteză :

$n=\sum _{i=0}^{N}a^{i}n^{(i)}$ ${\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} a ^ {i} n ^ {(i)}}$ ${\ displaystyle n = \ sum _ {i = 0} ^ {N} a ^ {i} n ^ {(i)}}$

Impunând ca o constrângere că primul termen ( distribuția Maxwell-Boltzmann ) poartă invarianții coliziționali:

f({\bar {v}})={\begin{cases}1\\{\bar {v}}\\{\frac {1}{2}}|{\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle |^{2}\end{cases}}

{\ displaystyle f ({\ bar {v}}) = {\ begin {cases} 1 \\ {\ bar {v}} \\ {\ frac {1} {2}} | {\ bar {v}} - \ langle {\ bar {v}} \ rangle | ^ {2} \ end {cases}}}

{\ displaystyle f ({\ bar {v}}) = {\ begin {cases} 1 \\ {\ bar {v}} \\ {\ frac {1} {2}} | {\ bar {v}} - \ langle {\ bar {v}} \ rangle | ^ {2} \ end {cases}}}

în densitățile de curent corespunzătoare:

j={\begin{cases}\rho \\\rho \langle {\bar {v}}\rangle \\\rho \varsigma _{V}T\end{cases}}

{\ displaystyle j = {\ begin {cases} \ rho \\\ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle \\\ rho \ varsigma _ {V} T \ end {cases}}}

{\ displaystyle j = {\ begin {cases} \ rho \\\ rho \ langle {\ bar {v}} \ rangle \\\ rho \ varsigma _ {V} T \ end {cases}}}

și anume că:

$\int n^{(0)}f({\bar {v}})\operatorname {d} p=j$ ${\ displaystyle \ int n ^ {(0)} f ({\ bar {v}}) \ operatorname {d} p = j}$ ${\ displaystyle \ int n ^ {(0)} f ({\ bar {v}}) \ operatorname {d} p = j}$

în timp ce următorii termeni trebuie să aibă momente nule:

$\int n^{(i)}f({\bar {v}})\operatorname {d} p=0\quad \forall i\neq 0$ ${\ displaystyle \ int n ^ {(i)} f ({\ bar {v}}) \ operatorname {d} p = 0 \ quad \ forall i \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ int n ^ {(i)} f ({\ bar {v}}) \ operatorname {d} p = 0 \ quad \ forall i \ neq 0}$

Apoi, tensiunea și densitatea termică devin o dezvoltare în serie de același tip:

$\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\bar {\bar {\sigma }}}=\sum _{i=0}^{N}a^{i}{\bar {\bar {\sigma }}}^{(i)}\\\\\displaystyle {\bar {q}}=\sum _{i=0}^{N}a^{i}{\bar {q}}^{(i)}\end{array}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} \ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} = \ sum _ {i = 0} ^ {N} a ^ {i} {\ bar {\ bar {\ sigma}}} ^ {(i)} \\\\\ displaystyle {\ bar {q}} = \ sum _ {i = 0} ^ {N} a ^ {i} {\ bar {q}} ^ {(i)} \ end {array}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} \ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} = \ sum _ {i = 0} ^ {N} a ^ {i} {\ bar {\ bar {\ sigma}}} ^ {(i)} \\\\\ displaystyle {\ bar {q}} = \ sum _ {i = 0} ^ {N} a ^ {i} {\ bar {q}} ^ {(i)} \ end {array}} \ right.}$

unde este:

$\left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\bar {\bar {\sigma }}}^{(i)}=\int n^{(i)}({\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle )\otimes ({\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle )\operatorname {d} p\\\\\displaystyle {\bar {q}}^{(i)}={\frac {1}{2}}\int n^{(i)}({\bar {v}}-\langle {\bar {v}}\rangle )^{3}\operatorname {d} p\end{array}}\right.$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} \ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} ^ {(i)} = \ int n ^ {(i)} ({\ bar {v}} - \ langle {\ bar {v}} \ rangle) \ otimes ({\ bar {v}} - \ langle {\ bar {v}} \ rangle) \ operatorname {d} p \\\\ \ displaystyle {\ bar {q}} ^ {(i)} = {\ frac {1} {2}} \ int n ^ {(i)} ({\ bar {v}} - \ langle {\ bar { v}} \ rangle) ^ {3} \ operatorname {d} p \ end {array}} \ right.}$ ${\ displaystyle \ left \ {{\ begin {array} {l} \ displaystyle {\ bar {\ bar {\ sigma}}} ^ {(i)} = \ int n ^ {(i)} ({\ bar {v}} - \ langle {\ bar {v}} \ rangle) \ otimes ({\ bar {v}} - \ langle {\ bar {v}} \ rangle) \ operatorname {d} p \\\\ \ displaystyle {\ bar {q}} ^ {(i)} = {\ frac {1} {2}} \ int n ^ {(i)} ({\ bar {v}} - \ langle {\ bar { v}} \ rangle) ^ {3} \ operatorname {d} p \ end {array}} \ right.}$

Prin urmare, este suficient să se dezvolte o schemă coerentă pentru a calcula termenii expansiunii densității de fază.

Notă

^ Chapman, Phil. Trans. Roy. Soc. A216, 279 (1916); 217, 118 (1917)
^ Duderstadt și colab. , pp. 257.

Bibliografie

( EN ) Sydney Chapman, TG Cowling, Teoria matematică a gazelor neuniforme , ed. A III-a, Cambridge, Cambridge University Press, 1991, ISBN 978-0-521-40844-8 . Capitolul 7:
(EN) James J. Duderstadt, William R. Martin, Transport theory, New York, Wiley-Interscience Publications, 1979, ISBN 978-0-471-04492-5 . Capitolul 4: Derivarea descrierii continuumului din ecuațiile de transport
( EN ) Dieter A. Wolf-Gladrow, Lattice-Gas Cellular Automata și Lattice Boltzmann Models: An Introduction , New York, Springer, 2000, ISBN 978-3-540-66973-9 . Capitolul 4: Câteva mecanici statistice
( EN ) Raymond Brun, Introducere în dinamica gazelor reactive , Oxford, Oxford University Press, 2000, ISBN 978-0-19-955268-9 . Capitolul 3: Regimuri de aproape echilibru: gaze pure
( EN ) AV Bobylev, Instabilități în expansiunea Chapman-Enskog și ecuații hiperbolice Burnett , în Journal of Statistical Physics , vol. 124, nr. 2-4, 1992, pp. 371-399, DOI : 10.1007 / s10955-005-8087-6 .
( EN ) A. Puglisi, O abordare numerică a cineticii gazelor granulare antrenate și răcite ( PDF ), 2001, pp. 46-49. Capitolul 2.3.6: Închiderea Chapman-Enskog

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Daniele Puglisi, O abordare numerică a cineticii gazelor granulare antrenate și răcite, cap. 2.3.6: Închiderea Chapman-Enskog , pe denali.phys.uniroma1.it .

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Chapman, Phil. Trans. Roy. Soc. A216, 279 (1916); 217, 118 (1917)

[D57-2] Duderstadt și colab. , pp. 257.

[1]

[2].

V · D · M Mecanica clasică și mecanica mediilor continue
Cantități intensive	Densitate · Viteza macroscopică · Media câmpului · intern de tensiune · Temperatura · Deformarea · Densitate termică
Cantități mari	Massa · Capacitate · impuls · forță externă · energie internă · căldură · Disipare · munca termodinamic
Bilanțe contabile	Conservarea masei · echilibru de impuls · balanța energiei interne
Aproximări	Ecuații ale lui Euler · ecuații Navier-Stokes · Ecuațiile Burnett
Citit	Legea lui Pascal · Legea lui Newton · Legea Fourier · Stokes Legea · Legea lui Hooke
Mecanica solidelor	Solid · Teoria elasticității · Teoria Plasticitate · reologie · viscoelasticity
Mecanica fluidelor	Fluid · Statica fluidelor · Fluid · Vâscozitate · newtonian fluid · Fluid non-newtonian