Exponent al lui Lyapunov

În teoria sistemelor dinamice , un exponent Lyapunov al unui sistem dinamic (determinist) într-un punct din spațiul de fază oferă o măsură a modului în care semnificativ orbitele sistemului sunt dependente de datele inițiale, caracterizând prezența dinamicii haotice . Exponenții Lyapunov măsoară în special viteza medie de îndepărtare a două orbite infinit de apropiate pentru perioade suficient de lungi.

Un număr de exponenți Lyapunov egali cu dimensiunea spațiului sunt asociați cu un punct din spațiul de fază; dacă exponentul maxim Lyapunov este $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , și dacă distanța $\delta \mathbf {Z} _{0}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {Z} _ {0}}$ $\ delta {\ mathbf {Z}} _ {0}$ între orbite este destul de mic, apoi vectorul $\delta \mathbf {Z} _{0}$ ${\ displaystyle \ delta \ mathbf {Z} _ {0}}$ $\ delta {\ mathbf {Z}} _ {0}$ are o evoluție în timp (rata de separare a celor două orbite) decât în timp $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ mare este dat aproximativ de:

|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx Ce^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|

{\ displaystyle | \ delta \ mathbf {Z} (t) | \ approx Ce ^ {\ lambda t} | \ delta \ mathbf {Z} _ {0} |}

{\ displaystyle | \ delta \ mathbf {Z} (t) | \ approx Ce ^ {\ lambda t} | \ delta \ mathbf {Z} _ {0} |}

De sine $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este pozitiv, atunci sistemul are o dependență sensibilă de datele inițiale (exponențial) și, prin urmare, este un sistem haotic. Momentul în care un sistem devine haotic este dat de reciprocitatea lui $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , și se numește timp caracteristic sau timp Lyapunov al sistemului. Reprezintă limita de predictibilitate a sistemului.

Hărți unidimensionale

Este $I\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle I \ subset \ mathbb {R}}$ Și $T:I\rightarrow I$ ${\ displaystyle T: I \ rightarrow I}$ ${\ displaystyle T: I \ rightarrow I}$ o funcție diferențiată și ia în considerare sistemul dinamic discret dat de iterația hărții $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ . Se definește exponentul Lyapunov al punctului $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , adică a orbitei $\{x_{0},x_{1},...,x_{n},...\}$ ${\ displaystyle \ {x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {n}, ... \}}$ ${\ displaystyle \ {x_ {0}, x_ {1}, ..., x_ {n}, ... \}}$ , ca:

\lambda (x_{0}):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\log |T'(x_{k})|

{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}): = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ log | T '(x_ {k}) |}

{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}): = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} \ log | T '(x_ {k}) |}

sau echivalent ca:

\lambda (x_{0}):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\log \left|{\frac {d}{dx}}T^{n}(x_{0})\right|

{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}): = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log \ left | {\ frac {d} {dx}} T ^ {n} (x_ {0}) \ right |}

{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}): = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log \ left | {\ frac {d} {dx}} T ^ {n} (x_ {0}) \ right |}

acolo unde există limita.

Pentru a justifica această definiție, se poate observa în primul rând că derivatul lui $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ intr-un loc $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ dă rata la care puncte apropiate de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ s-au îndepărtat după o singură iterație: dacă distanța inițială dintre două puncte apropiate de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , după aplicare $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ aceasta devine $\delta |T^{\prime }(x_{0})|$ ${\ displaystyle \ delta | T ^ {\ prime} (x_ {0}) |}$ ${\ displaystyle \ delta | T ^ {\ prime} (x_ {0}) |}$ , adică $\delta e^{\log |T'(x_{0})|}$ ${\ displaystyle \ delta e ^ {\ log | T '(x_ {0}) |}}$ ${\ displaystyle \ delta e ^ {\ log | T '(x_ {0}) |}}$ . În plus, produsul $|T^{\prime }(x_{0})|\cdots |T^{\prime }(x_{n})|$ ${\ displaystyle | T ^ {\ prime} (x_ {0}) | \ cdots | T ^ {\ prime} (x_ {n}) |}$ ${\ displaystyle | T ^ {\ prime} (x_ {0}) | \ cdots | T ^ {\ prime} (x_ {n}) |}$ dă derivata iterației $T^{n}$ ${\ displaystyle T ^ {n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n}}$ în sens $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ , de la care avem viteza cu care se apropie punctele $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ s-au îndepărtat după aceea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iterații. Mai exact, dacă distanța inițială dintre două puncte apropiate de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ Și $\delta$ ${\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ , după aplicare $T^{n}$ ${\ displaystyle T ^ {n}}$ ${\ displaystyle T ^ {n}}$ aceasta devine $\delta |T^{\prime }(x_{1})|\cdots |T^{\prime }(x_{n})|$ ${\ displaystyle \ delta | T ^ {\ prime} (x_ {1}) | \ cdots | T ^ {\ prime} (x_ {n}) |}$ ${\ displaystyle \ delta | T ^ {\ prime} (x_ {1}) | \ cdots | T ^ {\ prime} (x_ {n}) |}$ , adică:

\delta e^{\log(|T'(x_{0})|\cdots |T'(x_{n})|)}=\delta e^{\log |T'(x_{0})|+...+\log |T'(x_{n})|}

{\ displaystyle \ delta e ^ {\ log (| T '(x_ {0}) | \ cdots | T' (x_ {n}) |)} = \ delta e ^ {\ log | T '(x_ {0 }) | + ... + \ log | T '(x_ {n}) |}}

{\ displaystyle \ delta e ^ {\ log (| T '(x_ {0}) | \ cdots | T' (x_ {n}) |)} = \ delta e ^ {\ log | T '(x_ {0 }) | + ... + \ log | T '(x_ {n}) |}}

care poate fi scris (ținând cont de discursul inițial și de faptul că timpul pe care îl luăm în considerare este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ) ca:

\delta e^{n{\frac {\log |T'(x_{0})|+...+\log |T'(x_{n})|}{n}}}

{\ displaystyle \ delta e ^ {n {\ frac {\ log | T '(x_ {0}) | + ... + \ log | T' (x_ {n}) |} {n}}}}

{\ displaystyle \ delta e ^ {n {\ frac {\ log | T '(x_ {0}) | + ... + \ log | T' (x_ {n}) |} {n}}}}

Din aceste observații se concluzionează că, dacă există limita $\lambda (x_{0})$ ${\ displaystyle \ lambda (x_ {0})}$ ${\ displaystyle \ lambda (x_ {0})}$ pentru cantitate:

{\frac {\log |T'(x_{0})|+...+\log |T'(x_{n})|}{n}}

{\ displaystyle {\ frac {\ log | T '(x_ {0}) | + ... + \ log | T' (x_ {n}) |} {n}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ log | T '(x_ {0}) | + ... + \ log | T' (x_ {n}) |} {n}}}

apoi pentru vremuri $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ foarte mare, distanța dintre două orbite aproape de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ a crescut cu un factor de multiplicare aproximativ egal cu $e^{\lambda (x_{0})n}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda (x_ {0}) n}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ lambda (x_ {0}) n}}$ .

Hărți multidimensionale

Pentru o hartă $f:\mathbb {R} ^{m}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {m} \ longrightarrow \ mathbb {R} ^ {m}}$ diferențiat și orbita sa poate fi definită $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ exponenții lui Lyapunov $\lambda _{1},...,\lambda _{m}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, ..., \ lambda _ {m}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, ..., \ lambda _ {m}}$ care măsoară viteza de separare de orbită în $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ direcții ortogonale astfel încât de-a lungul direcției $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -distanțele dintre punctele apropiate de orbită vor evolua pe măsură ce $\delta _{0}e^{\lambda _{i}n}$ ${\ displaystyle \ delta _ {0} e ^ {\ lambda _ {i} n}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {0} e ^ {\ lambda _ {i} n}}$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mare. Prima direcție va fi aceea în care această viteză este maximă, a doua va fi aleasă ca cea a vitezei maxime în setul de direcții ortogonale față de prima și așa mai departe. În direcții care sunt combinații liniare de două direcții asociate cu exponenți Lyapunov diferiți, viteza de separare este stabilită de cel mai mare exponent Lyapunov.

Se definește exponentul Lyapunov asociat cu un punct $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ și o direcție $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ca viteza medie de separare a unui punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aproape $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ astfel încât vectorul de îmbinare $x-x_{0}$ ${\ displaystyle x-x_ {0}}$ ${\ displaystyle x-x_ {0}}$ are direcția $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ . După $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iterații distanța dintre $F^{n}(x)$ ${\ displaystyle F ^ {n} (x)}$ ${\ displaystyle F ^ {n} (x)}$ Și $F^{n}(x_{0})$ ${\ displaystyle F ^ {n} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle F ^ {n} (x_ {0})}$ care a fost inițial $\left\|x-x_{0}\right\|$ ${\ displaystyle \ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}$ a devenit aprox $\left\|DF^{n}(x_{0})(x-x_{0})\right\|$ ${\ displaystyle \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) (x-x_ {0}) \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) (x-x_ {0}) \ right \ |}$ , rata medie de creștere pentru fiecare pas este dată de:

\left({\frac {\left\|DF^{n}(x_{0})(x-x_{0})\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left\|DF^{n}(x_{0})v\right\|^{\frac {1}{n}}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) (x-x_ {0}) \ right \ |} {\ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) v \ right \ | ^ {\ frac {1} {n} }}

{\ displaystyle \ left ({\ frac {\ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) (x-x_ {0}) \ right \ |} {\ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}} \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) v \ right \ | ^ {\ frac {1} {n} }}

unde este $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este vectorul unitar al direcției $(x-x_{0})$ ${\ displaystyle (x-x_ {0})}$ $(x-x_0)$ . Dacă luăm în considerare logaritmul:

L=\log \left\|DF^{n}(x_{0})v\right\|^{\frac {1}{n}}={\frac {1}{n}}\log \left\|DF^{n}(x_{0})v\right\|

{\ displaystyle L = \ log \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) v \ right \ | ^ {\ frac {1} {n}} = {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) v \ right \ |}

{\ displaystyle L = \ log \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) v \ right \ | ^ {\ frac {1} {n}} = {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0}) v \ right \ |}

se poate spune că sistemul a evoluat astfel încât distanța inițială $\delta _{0}$ ${\ displaystyle \ delta _ {0}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {0}}$ a devenit $\delta _{0}e^{nL}$ ${\ displaystyle \ delta _ {0} e ^ {nL}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {0} e ^ {nL}}$ . Cu toate acestea, media a fost făcută pe un număr finit de pași, dacă luăm în considerare întreaga traiectorie putem defini exponentul Ljapunov al $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ in directia $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ca rata medie de creștere exponențială după cum urmează:

\lambda (x_{0},v):=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left\|DF^{n}(x_{0})v\right\|

{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}, v): = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0 }) v \ right \ |}

{\ displaystyle \ lambda (x_ {0}, v): = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | DF ^ {n} (x_ {0 }) v \ right \ |}

Din această definiție deducem că dacă vectorul de legătură are direcția $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ apoi distanța $\left\|x-x_{0}\right\|$ ${\ displaystyle \ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}$ evoluează ca $Ce^{n\lambda (x_{0},v)}$ ${\ displaystyle Ce ^ {n \ lambda (x_ {0}, v)}}$ ${\ displaystyle Ce ^ {n \ lambda (x_ {0}, v)}}$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ mare.

Pentru a evalua valoarea valorii $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ poate varia dacă luăm în considerare direcții diferite, se arată că $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ poate presupune cel mult un număr de valori egal cu dimensiunea $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ a spațiului și că pentru aproape toate punctele spațiului își asumă aceeași valoare: valoarea maximă.

Exemplu

În cele ce urmează arătăm un caz în care aproximarea liniară a $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ rămâne mereu la fel. Luați în considerare sistemul dinamic discret dat de iterația hărții $F(x):=Ax$ ${\ displaystyle F (x): = Ax}$ ${\ displaystyle F (x): = Ax}$ cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ matrice $m\times m$ ${\ displaystyle m \ times m}$ $m \ times m$ echipat cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ valori proprii $0\leq \lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq ...\leq \lambda _{m}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq ... \ leq \ lambda _ {m}}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ lambda _ {1} \ leq \ lambda _ {2} \ leq ... \ leq \ lambda _ {m}}$ . La pasul n-o avem $F^{n}(x)-F^{n}(x_{0})\sim A^{n}(x-x_{0})$ ${\ displaystyle F ^ {n} (x) -F ^ {n} (x_ {0}) \ sim A ^ {n} (x-x_ {0})}$ ${\ displaystyle F ^ {n} (x) -F ^ {n} (x_ {0}) \ sim A ^ {n} (x-x_ {0})}$ , de aici și distanța de plecare $\delta _{0}=\left\|x-x_{0}\right\|$ ${\ displaystyle \ delta _ {0} = \ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ delta _ {0} = \ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}$ a devenit $\left\|A^{n}(x-x_{0})\right\|$ ${\ displaystyle \ left \ | A ^ {n} (x-x_ {0}) \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ left \ | A ^ {n} (x-x_ {0}) \ right \ |}$ . Dacă transportatorul $(x-x_{0})$ ${\ displaystyle (x-x_ {0})}$ $(x-x_0)$ se află în spațiul auto asociat cu $\lambda _{k}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$ $\ lambda _ {k}$ asa de:

\left\|A^{n}(x-x_{0})\right\|=|\lambda _{k}|^{n}\left\|x-x_{0}\right\|=\delta _{0}e^{n\log |\lambda _{k}|}

{\ displaystyle \ left \ | A ^ {n} (x-x_ {0}) \ right \ | = | \ lambda _ {k} | ^ {n} \ left \ | x-x_ {0} \ right \ | = \ delta _ {0} e ^ {n \ log | \ lambda _ {k} |}}

{\ displaystyle \ left \ | A ^ {n} (x-x_ {0}) \ right \ | = | \ lambda _ {k} | ^ {n} \ left \ | x-x_ {0} \ right \ | = \ delta _ {0} e ^ {n \ log | \ lambda _ {k} |}}

Dacă transportatorul $(x-x_{0})$ ${\ displaystyle (x-x_ {0})}$ $(x-x_0)$ are o componentă non-nulă în spațiul automat asociată cu $\lambda _{m}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {m}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {m}}$ (care este maximul valorilor proprii așa cum le-am numerotat), atunci acesta poate fi exprimat $(x-x_{0})$ ${\ displaystyle (x-x_ {0})}$ $(x-x_0)$ ca o combinație liniară :

x-x_{0}=a_{1}v_{1}+...+a_{m}v_{m}

{\ displaystyle x-x_ {0} = a_ {1} v_ {1} + ... + a_ {m} v_ {m}}

{\ displaystyle x-x_ {0} = a_ {1} v_ {1} + ... + a_ {m} v_ {m}}

cu

a_{m}\neq 0

{\ displaystyle a_ {m} \ neq 0}

{\ displaystyle a_ {m} \ neq 0}

unde este $v_{1},...,v_{m}$ ${\ displaystyle v_ {1}, ..., v_ {m}}$ ${\ displaystyle v_ {1}, ..., v_ {m}}$ este o bază ortonormală a vectorilor proprii (se presupune pentru simplitate că există o astfel de bază). Asa de:

A^{n}(x-x_{0})=\lambda _{1}^{n}a_{1}v_{1}+\lambda _{2}^{n}a_{2}v_{2}+...+\lambda _{m}^{n}a_{m}v_{m}=

{\ displaystyle A ^ {n} (x-x_ {0}) = \ lambda _ {1} ^ {n} a_ {1} v_ {1} + \ lambda _ {2} ^ {n} a_ {2} v_ {2} + ... + \ lambda _ {m} ^ {n} a_ {m} v_ {m} =}

{\ displaystyle A ^ {n} (x-x_ {0}) = \ lambda _ {1} ^ {n} a_ {1} v_ {1} + \ lambda _ {2} ^ {n} a_ {2} v_ {2} + ... + \ lambda _ {m} ^ {n} a_ {m} v_ {m} =}

=\lambda _{m}^{n}\left(\left({\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{m}}}\right)^{n}a_{1}v_{1}+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{m}}}\right)^{n}a_{2}v_{2}+...+\left({\frac {\lambda _{m-1}}{\lambda _{m}}}\right)^{n}a_{m-1}v_{m-1}+a_{m}v_{m}\right)

{\ displaystyle = \ lambda _ {m} ^ {n} \ left (\ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {m}}} \ right) ^ {n} a_ {1 } v_ {1} + \ left ({\ frac {\ lambda _ {2}} {\ lambda _ {m}}} \ right) ^ {n} a_ {2} v_ {2} + ... + \ left ({\ frac {\ lambda _ {m-1}} {\ lambda _ {m}}} \ right) ^ {n} a_ {m-1} v_ {m-1} + a_ {m} v_ { m} \ dreapta)}

{\ displaystyle = \ lambda _ {m} ^ {n} \ left (\ left ({\ frac {\ lambda _ {1}} {\ lambda _ {m}}} \ right) ^ {n} a_ {1 } v_ {1} + \ left ({\ frac {\ lambda _ {2}} {\ lambda _ {m}}} \ right) ^ {n} a_ {2} v_ {2} + ... + \ left ({\ frac {\ lambda _ {m-1}} {\ lambda _ {m}}} \ right) ^ {n} a_ {m-1} v_ {m-1} + a_ {m} v_ { m} \ dreapta)}

Pentru a vă face o idee despre factorul mediu de expansiune pentru fiecare pas, se poate calcula limita mediei geometrice:

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {\left\|A^{n}(x-x_{0})\right\|}{\left\|x-x_{0}\right\|}}\right)^{1\left/n\right.}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {\ left \ | A ^ {n} (x-x_ {0}) \ right \ |} {\ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}} \ right) ^ {1 \ left / n \ right.}}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left ({\ frac {\ left \ | A ^ {n} (x-x_ {0}) \ right \ |} {\ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}} \ right) ^ {1 \ left / n \ right.}}

care din calculele anterioare se dovedește a fi egală cu $\left|\lambda _{m}\right|$ ${\ displaystyle \ left | \ lambda _ {m} \ right |}$ ${\ displaystyle \ left | \ lambda _ {m} \ right |}$ . De aici și distanța $\left\|x-x_{0}\right\|$ ${\ displaystyle \ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}$ ${\ displaystyle \ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}$ va evolua mult timp ca $C|\lambda _{m}|^{n}=Ce^{n\log |\lambda _{m}|}$ ${\ displaystyle C | \ lambda _ {m} | ^ {n} = Ce ^ {n \ log | \ lambda _ {m} |}}$ ${\ displaystyle C | \ lambda _ {m} | ^ {n} = Ce ^ {n \ log | \ lambda _ {m} |}}$ . Aceasta înseamnă toate punctele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ aproape de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ pentru care vectorul de unire $(x-x_{0})$ ${\ displaystyle (x-x_ {0})}$ $(x-x_0)$ are o lungă componentă nulă $v_{m}$ ${\ displaystyle v_ {m}}$ $v_ {m}$ au o viteză medie asimptotică de separare (sau apropiere) de $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ determinat exclusiv de maximul valorilor proprii ale $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Calculul exponentului Lyapunov pe baza relațiilor stabilite mai sus prevede de fapt:

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left\|A^{n}{\frac {x-x_{0}}{\left\|x-x_{0}\right\|}}\right\|=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log \left\|A^{n}(x-x_{0})\right\|-{\frac {1}{n}}\log \left\|x-x_{0}\right\|=\log |\lambda _{m}|

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | A ^ {n} {\ frac {x-x_ {0}} {\ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}} \ right \ | = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | A ^ {n} (x -x_ {0}) \ right \ | - {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | x-x_ {0} \ right \ | = \ log | \ lambda _ {m} |}

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | A ^ {n} {\ frac {x-x_ {0}} {\ left \ | x-x_ {0} \ right \ |}} \ right \ | = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | A ^ {n} (x -x_ {0}) \ right \ | - {\ frac {1} {n}} \ log \ left \ | x-x_ {0} \ right \ | = \ log | \ lambda _ {m} |}

Cu un discurs analog se poate arăta că dacă vectorul de îmbinare $x-x_{0}$ ${\ displaystyle x-x_ {0}}$ ${\ displaystyle x-x_ {0}}$ este ortogonală la spațiul egal raportat la valoarea proprie maximă, dar are o componentă diferită de zero față de a doua cea mai mare valoare proprie $\lambda _{m-1}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {m-1}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {m-1}}$ atunci exponentul Lyapunov asociat cu această direcție este $\log |\lambda _{m-1}|$ ${\ displaystyle \ log | \ lambda _ {m-1} |}$ ${\ displaystyle \ log | \ lambda _ {m-1} |}$ . Mai general, exponentul lui Lyapunov în $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ de-a lungul direcției $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este dat de logaritmul celei mai mari valori proprii $\lambda _{k}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$ $\ lambda _ {k}$ asociat cu un vector propriu cu privire la care $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ nu este ortogonală.

Pentru a vizualiza intuitiv conceptul, putem considera o sferă infinitesimală în jurul punctului $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ a unei orbite: aceasta după fiecare iterație a hărții $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este deformat într-un elipsoid obținut ca imagine a sferei prin intermediul aplicației liniare date de matricea iacobiană $D(f^{n})(p)$ ${\ displaystyle D (f ^ {n}) (p)}$ ${\ displaystyle D (f ^ {n}) (p)}$ . Elipsoidul oferă informații despre comportamentul local al hărții, în special despre direcțiile în care se contractă sau extinde cel mai mult spațiul. Pot fi identificate axele principale ale acestui elipsoid care corespund direcțiilor de contracție sau expansiune. Cu toate acestea, la fiecare iterație transformarea liniară este diferită, la fel și vectorii proprii și valorile proprii și, prin urmare, axele și forma elipsoidului. Teorema lui Oseledec asigură că pentru aproape fiecare punct acțiunea transformărilor liniare dată de diferențiale $DF(x_{n})$ ${\ displaystyle DF (x_ {n})}$ ${\ displaystyle DF (x_ {n})}$ , calculat de-a lungul traiectoriei, în medie tinde asimptotic să fie echivalent cu acțiunea aceleiași matrice cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ valori proprii ale căror logaritmi dau exponenții Lyapunov și ai căror vectori proprii dau direcțiile de expansiune și contracție corespunzătoare axelor unui elipsoid „mediu”.

Bibliografie

( EN ) R. Temam, Sisteme dinamice dimensionale infinite în mecanică și fizică , Cambridge: Springer-Verlag, 1988.
( EN ) J. Kaplan și J. Yorke , Comportamentul haotic al ecuațiilor diferențiale multidimensionale , în HO Peitgen și HO Walther (eds), Ecuații funcționale diferențiale și Aproximarea punctelor fixe , New York, Springer, 1979, ISBN 3-540 -09518 -7 .
( EN ) Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G., Vattay G.; Haos: Institutul Niels Bohr clasic și cuantic , Copenhaga 2005.

Elemente conexe

linkuri externe

(EN) Efectele Perron ale inversiunilor semnelor exponentului Lyapunov (PDF) pe math.spbu.ru.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh91004822 · GND (DE) 4123668-3 · BNF (FR) cb125431035 (data)

Portalul de matematică

Portal mecanic