Statistici Bose-Einstein

Statistica Bose-Einstein , numită și distribuția Bose-Einstein sau abreviată la statisticile BE , determină distribuția statistică referitoare la stările energetice la echilibrul termic al unui sistem de bosoni , presupunând că sunt identice și nu se pot distinge între ele. ^[1] Introdus în 1920 de Satyendra Nath Bose pentru fotoni și extins la atomi de Albert Einstein în 1924, reprezintă, împreună cu statisticile Fermi-Dirac pentru fermioni , actualizarea cuantică a statisticilor clasice Maxwell-Boltzmann .

Este aproximată prin statistica Maxwell-Boltzmann în cazul în care sunt implicate temperaturi ridicate și densități relativ mici. Deoarece densitatea de ocupare a stărilor depinde de temperatură, atunci când aceasta este foarte mare, majoritatea sistemelor se încadrează în limitele clasice, adică diferențele dintre fermioni și bosoni sunt neglijabile, cu excepția cazului în care au o densitate foarte mare, cum ar fi un exemplu la o pitică albă stea. Tratamentul cuantic al particulelor se aplică atunci când distanța dintre particule se apropie de lungimea lor de undă termică de Broglie , adică atunci când funcțiile de undă asociate particulelor se întâlnesc în zone în care acestea nu au valori neglijabile, dar nu sunt suprapuse. ^[2]

Bosonii, care nu respectă principiul excluziunii Pauli , pot ocupa un număr nelimitat din aceeași stare energetică în același timp și la temperaturi scăzute tind să se grupeze în același nivel de energie scăzută formând un condensat Bose-Einstein . ^[3] Statistica Bose-Einstein este deosebit de utilă în studiul gazelor și constituie, cu statisticile Fermi-Dirac, baza teoriei semiconductoarelor și electronice . ^[4]

fundal

La începutul anilor 1920, Satyendra Nath Bose a devenit interesat de teoria lui Einstein conform căreia în undele electromagnetice, energia este distribuită în aglomerări discrete, numite ulterior fotoni . Bose a dorit să derive din considerații statistice formula radiației corpului negru , obținută de Planck prin intermediul unei conjecturi pe bază empirică. De fapt, în 1900 își obținuse formula cu un fel de „manipulare” a expresiilor pentru a le adapta la datele experimentale.

Douăzeci de ani mai târziu, Bose, folosind particulele imaginate de Einstein pentru a explica efectul fotoelectric , a reușit să obțină formula radiației, dezvoltând sistematic o statistică pentru particule mai masive fără constrângerea conservării numărului de particule. Bose a derivat legea lui Planck referitoare la radiații propunând diferite stări pentru fotoni. În loc de independența statistică a particulelor, Bose a considerat particulele ca și cum ar fi în interiorul celulelor și a descris independența statistică a spațiului de fază al acelor celule. Astfel de sisteme admit două stări de polarizare și o funcție de undă total simetrică este asociată cu acestea.

Bose obținuse un rezultat important prin identificarea unei legi statistice capabile să explice comportamentul fotonilor. Cu toate acestea, la început nu a putut să-și publice lucrarea, deoarece nicio revistă europeană nu a vrut să accepte articolul său din cauza incapacității de a-l înțelege. Bose și-a trimis apoi scrierile lui Einstein, care a înțeles importanța lor și și-a folosit influența pentru a le publica.

Descriere

Distributia

Distribuția Bose-Einstein este descrisă prin expresia: ^[5] ^[6]

n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}

{\ displaystyle n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {e ^ {(\ varepsilon _ {i} - \ mu) / kT} -1}}}

n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {e ^ {{(\ varepsilon _ {i} - \ mu) / kT}} - 1}}

cu $\varepsilon _{i}>\mu$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}> \ mu}$ $\ varepsilon _ {i}> \ mu$ si unde:

$n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ este numărul mediu de particule în starea i ,
$g_{i}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ exprimă degenerarea stării i ,
$\varepsilon _{i}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$ $\ varepsilon _ {i}$ este energia statului j- - lea,
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este potențialul chimic ,
$k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este constanta lui Boltzmann ,
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura absolută .

Acest lucru se reduce la statistica Maxwell-Boltzmann pentru energii $\varepsilon _{i}-\mu \gg kT$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} - \ mu \ gg kT}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i} - \ mu \ gg kT}$ . ^[7]

O derivare a distribuției Bose-Einstein

Să presupunem că avem un număr dat de niveluri de energie, marcate de index $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , fiecare având energie $\varepsilon _{i}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {i}}$ și conținând un total de $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ particule. De asemenea, presupunem că fiecare nivel conține $g_{i}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ sub-niveluri distincte, dar toate cu aceeași energie și distinse între ele. De exemplu, două particule ar putea avea momente diferite și, prin urmare, pot fi distinse, dar ar putea avea aceeași energie. Valoarea $g_{i}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ la nivelul j- - lea este numit degenerare a acestui nivel de energie. Orice număr de bosoni poate ocupa același subnivel.

Este $w(n,g)$ ${\ displaystyle w (n, g)}$ ${\ displaystyle w (n, g)}$ numărul de modalități de distribuire $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particule între $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ subnivelele unui anumit nivel de energie. Există o singură modalitate de a distribui fișierul $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particule într-un singur sub-nivel, deci $w(n,1)=1$ ${\ displaystyle w (n, 1) = 1}$ ${\ displaystyle w (n, 1) = 1}$ . Este ușor de înțeles că există în schimb $n+1$ ${\ displaystyle n + 1}$ $n + 1$ modalități de distribuire $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particule în două subnivele, așa că vom scrie:

w(n,2)={\frac {(n+1)!}{n!1!}}

{\ displaystyle w (n, 2) = {\ frac {(n + 1)!} {n! 1!}}}

w (n, 2) = {\ frac {(n + 1)!} {n! 1!}}

.

Cu un raționament simplu, se poate stabili că numărul de modalități de distribuire $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ particulele din trei subnivele este $w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+...+w(0,2)$ ${\ displaystyle w (n, 3) = w (n, 2) + w (n-1,2) + ... + w (0,2)}$ ${\ displaystyle w (n, 3) = w (n, 2) + w (n-1,2) + ... + w (0,2)}$ , de la care:

w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(n-k+1)!}{(n-k)!1!}}={\frac {(n+2)!}{n!2!}}

{\ displaystyle w (n, 3) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} w (nk, 2) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {(n-k + 1) !} {(Nk)! 1!}} = {\ Frac {(n + 2)!} {N! 2!}}}

w (n, 3) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} w (nk, 2) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ frac {(n-k +1 )!} {(Nk)! 1!}} = {\ Frac {(n + 2)!} {N! 2!}}

Aici am folosit următoarea proprietate în ceea ce privește coeficienții binomiali :

\sum _{k=0}^{n}{\frac {(k+a)!}{k!a!}}={\frac {(n+a+1)!}{n!(a+1)!}}.

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ frac {(k + a)!} {k! a!}} = {\ frac {(n + a + 1)!} {n! (a + 1)!}}.}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ frac {(k + a)!} {k! a!}} = {\ frac {(n + a + 1)!} {n! ( a + 1)!}}.

Iterând această procedură, se poate demonstra că $w(n,g)$ ${\ displaystyle w (n, g)}$ ${\ displaystyle w (n, g)}$ este dat de:

w(n,g)={\frac {(n+g-1)!}{n!(g-1)!}}.

{\ displaystyle w (n, g) = {\ frac {(n + g-1)!} {n! (g-1)!}}.}

w (n, g) = {\ frac {(n + g-1)!} {n! (g-1)!}}.

Generalizând, numărul de modalități de distribuire $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_ {i}$ particule din $g_{i}$ ${\ displaystyle g_ {i}}$ $g_ {i}$ subnivele, precum $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ , este produsul modurilor în care fiecare nivel de energie poate fi ocupat:

W=\prod _{i}w(n_{i},g_{i})=\prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i}-1)!}{n_{i}!(g_{i}-1)!}}\approx \prod _{i}{\frac {(n_{i}+g_{i})!}{n_{i}!(g_{i})!}}

{\ displaystyle W = \ prod _ {i} w (n_ {i}, g_ {i}) = \ prod _ {i} {\ frac {(n_ {i} + g_ {i} -1)!} { n_ {i}! (g_ {i} -1)!}} \ approx \ prod _ {i} {\ frac {(n_ {i} + g_ {i})!} {n_ {i}! (g_ { })!}}}

W = \ prod _ {i} w (n_ {i}, g_ {i}) = \ prod _ {i} {\ frac {(n_ {i} + g_ {i} -1)!} {N_ {i }! (g_ {i} -1)!}} \ approx \ prod _ {i} {\ frac {(n_ {i} + g_ {i})!} {n_ {i}! (g_ {i}) !}}

În aproximarea anterioară se presupune că $g_{i}\gg 1$ ${\ displaystyle g_ {i} \ gg 1}$ ${\ displaystyle g_ {i} \ gg 1}$ . Urmând aceeași procedură utilizată pentru obținerea statisticii Maxwell-Boltzmann , un set de $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ care maximizează funcția $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ , sub constrângerea că sistemul este un tot microcanonic , care este constituit dintr-un număr fix de particule și are o energie fixă. Maximul de funcții $W$ ${\ displaystyle W}$ $W$ Și $\ln(W)$ ${\ displaystyle \ ln (W)}$ $\ ln (W)$ apar în corespondență cu valoarea $N_{i}$ ${\ displaystyle N_ {i}}$ $N_ {i}$ . De fapt, maximizăm funcția scrisă mai jos, deoarece această cerere echivalentă este matematic mai ușor de explicat. Folosind metoda multiplicatorului Lagrange , construim funcția:

f(n_{i})=\ln(W)+\alpha \left(N-\sum n_{i}\right)+\beta \left(E-\sum n_{i}\varepsilon _{i}\right)

{\ displaystyle f (n_ {i}) = \ ln (W) + \ alpha \ left (N- \ sum n_ {i} \ right) + \ beta \ left (E- \ sum n_ {i} \ varepsilon _ {i} \ dreapta)}

f (n_ {i}) = \ ln (W) + \ alpha \ left (N- \ sum n_ {i} \ right) + \ beta \ left (E- \ sum n_ {i} \ varepsilon _ {i} \ dreapta)

Ținând cont de aproximare $g_{i}\gg 1$ ${\ displaystyle g_ {i} \ gg 1}$ ${\ displaystyle g_ {i} \ gg 1}$ , a aproximării Stirling pentru factoriale, $\left(\ln(x!)\approx x\ln(x)-x\right)$ ${\ displaystyle \ left (\ ln (x!) \ approx x \ ln (x) -x \ right)}$ $\ left (\ ln (x!) \ approx x \ ln (x) -x \ right)$ , derivând cu privire la $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ , echivalând cu zero și rezolvând pentru $n_{i}$ ${\ displaystyle n_ {i}}$ $n_i$ , noi obținem:

n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\alpha +\beta \varepsilon _{i}}-1}}

{\ displaystyle n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {e ^ {\ alpha + \ beta \ varepsilon _ {i}} - 1}}}

n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {e ^ {{alpha + \ beta \ varepsilon _ {i}}} - 1}}

.

Se poate arăta, pentru considerații termodinamice, că: ^[8] ^[9]

$\beta ={\frac {1}{kT}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {kT}}}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {kT}}}$ ,

unde este:

$k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este constanta lui Boltzmann
$T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este temperatura absolută a sistemului,

in timp ce $\alpha =-{\frac {\mu }{kT}}$ ${\ displaystyle \ alpha = - {\ frac {\ mu} {kT}}}$ ${\ displaystyle \ alpha = - {\ frac {\ mu} {kT}}}$ , unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este potențialul chimic .

În concluzie, obținem:

n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}-1}}

{\ displaystyle n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {e ^ {(\ varepsilon _ {i} - \ mu) / kT} -1}}}

n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {e ^ {{(\ varepsilon _ {i} - \ mu) / kT}} - 1}}

Uneori, această formulă este scrisă și sub forma:

n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{\varepsilon _{i}/kT}/z-1}}

{\ displaystyle n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {e ^ {\ varepsilon _ {i} / kT} / z-1}}}

n_ {i} = {\ frac {g_ {i}} {e ^ {{\ varepsilon _ {i} / kT}} / z-1}}

unde este $z=\exp(\mu /kT)$ ${\ displaystyle z = \ exp (\ mu / kT)}$ $z = \ exp (\ mu / kT)$ se numește fugacitate sau probabilitatea de a adăuga particule în sistem.

Notă

^ Egidio Landi Degl'Innocenti, Spectroscopie atomică și procese radiative , Springer, 2009, ISBN 978-88-470-1158-8 . p.297
^ Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.111
^ Franco Bassani, Umberto M. Grassano, Solid state physics , Bollati Boringhieri , 2000, ISBN 978-88-339-5620-6 . p. 524
^ Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p. 210
^ Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.128
^ Simone Franchetti, Anedio Ranfagni, Daniela Mugnai, Elements of the structure of matter , Zanichelli, ISBN 88-08-06252-X . p.296
^ Simone Franchetti, Anedio Ranfagni, Daniela Mugnai, Elements of the structure of matter , Zanichelli, ISBN 88-08-06252-X . p. 42
^ Egidio Landi Degl'Innocenti, Spectroscopie atomică și procese radiative , Springer, 2009, ISBN 978-88-470-1158-8 . p. 273
^ Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p. 106

Bibliografie

Kerson Huang, Mecanica statistică , Zanichelli, 1997, cap. 8, ISBN 978-88-08-09152-9 .
Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 .
Egidio Landi Degl'Innocenti, Atomic Spectroscopy and Radiative Processes , Springer, 2009, ISBN 978-88-470-1158-8 .
Simone Franchetti, Anedio Ranfagni, Daniela Mugnai, Elemente ale structurii materiei , Zanichelli, ISBN 88-08-06252-X .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Statistici de Bose-Einstein , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Controlul autorității	Tezaur BNCF 24854 · GND (DE) 4146391-2

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

[1] Egidio Landi Degl'Innocenti, Spectroscopie atomică și procese radiative , Springer, 2009, ISBN 978-88-470-1158-8 . p.297

[2] Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.111

[3] Franco Bassani, Umberto M. Grassano, Solid state physics , Bollati Boringhieri , 2000, ISBN 978-88-339-5620-6 . p. 524

[4] Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p. 210

[5] Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p.128

[6] Simone Franchetti, Anedio Ranfagni, Daniela Mugnai, Elements of the structure of matter , Zanichelli, ISBN 88-08-06252-X . p.296

[7] Simone Franchetti, Anedio Ranfagni, Daniela Mugnai, Elements of the structure of matter , Zanichelli, ISBN 88-08-06252-X . p. 42

[8] Egidio Landi Degl'Innocenti, Spectroscopie atomică și procese radiative , Springer, 2009, ISBN 978-88-470-1158-8 . p. 273

[9] Nicola Manini, Introducere în fizica materiei , Springer, 2014, ISBN 978-3-319-14381-1 . p. 106

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]