Niveluri de energie degenerate

În mecanica cuantică se spune că un nivel de energie este degenerat dacă corespunde a două sau mai multe stări diferite măsurabile ale unui sistem cuantic. În mod similar, două sau mai multe stări diferite ale aceluiași sistem mecanic cuantic se spune că sunt degenerate dacă o măsurare a energiei lor returnează aceeași valoare. Numărul de stări diferite care corespund aceluiași nivel de energie se numește gradul de degenerare a nivelului. Este reprezentat matematic de un hamiltonian al sistemului având mai mult de un stat propriu liniar independent căruia îi sunt asociate aceleași valori proprii energetice. În mecanica clasică, fenomenul poate fi explicat în termeni de diferite traiectorii posibile asociate cu aceeași energie.

Degenerarea joacă un rol fundamental în mecanica cuantică statistică . Pentru un sistem de N particule în trei dimensiuni, mai multe funcții de undă sau stări de energie pot corespunde unui singur nivel de energie. Astfel de stări degenerate de energie egală au aceeași probabilitate de a fi umplute. Numărul acestor stări dă gradul de degenerare a unui anumit nivel de energie.

Considerații matematice

Posibilele stări ale unui sistem mecanic cuantic pot fi tratate matematic ca vectori abstracte într-un spațiu Hilbert complex, separabil , în timp ce observabilele pot fi reprezentate de operatori hermitieni care acționează asupra vectorilor de stare. Componentele acestor vectori și elementele matricei unui operator pot fi determinate prin alegerea unei baze adecvate în spațiul de stare . De sine $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este o matrice $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ × $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ , $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ un vector diferit de zero și λ un scalar astfel încât $AX=\lambda X$ ${\ displaystyle AX = \ lambda X}$ ${\ displaystyle AX = \ lambda X}$ , atunci se spune că λ este o valoare proprie a lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și vectorul $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ se numește vectorul propriu al $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ asociat cu λ. Împreună cu vectorul nul, mulțimea tuturor vectorilor proprii asociați cu o valoare dată de λ formează un subspatiu al $\mathbb {C} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$ , care se numește spațiul egal al lui λ. Se spune că o valoare proprie λ asociată cu doi sau mai mulți vectori proprii diferiți și liniari independenți este degenerată (dacă apare, de exemplu, $AX_{1}=\lambda X_{1}$ ${\ displaystyle AX_ {1} = \ lambda X_ {1}}$ ${\ displaystyle AX_ {1} = \ lambda X_ {1}}$ Și $AX_{2}=\lambda X_{2}$ ${\ displaystyle AX_ {2} = \ lambda X_ {2}}$ ${\ displaystyle AX_ {2} = \ lambda X_ {2}}$ cu $X_{1}$ ${\ displaystyle X_ {1}}$ $X_ {1}$ Și $X_{2}$ ${\ displaystyle X_ {2}}$ $X_ {2}$ vectori liniar independenți). Mărimea spațiului auto asociat cu o valoare proprie dată se numește gradul de degenerare și poate fi finită sau infinită. Se spune că o valoare proprie nu este degenerată dacă subspaiul său este unidimensional. Valorile proprii ale matricilor reprezentând observabile fizice și statele proprii asociate cu aceste valori proprii sunt stările care pot fi găsite în urma unei măsurări ^[1] . Valorile energetice care pot fi găsite după măsurători pentru un sistem cuantic sunt date de valorile proprii ale operatorului hamiltonian, în timp ce statele proprii asociate sunt singurele stări energetice în care sistemul poate fi găsit.

Se spune că o valoare energetică este degenerată dacă sunt asociate cel puțin două stări de energie liniar independente. Mai mult, fiecare combinație liniară de două sau mai multe stări proprii degenerate este, de asemenea, o stare proprie a operatorului hamiltonian și aceeași valoare proprie de energie este asociată cu acesta.

Efectul degenerării asupra măsurătorilor de energie

În absența degenerării, dacă se măsoară valoarea energetică a unui sistem cuantic, se presupune că starea sistemului asociat acestuia este cunoscută, deoarece o singură valoare proprie corespunde unui stat propriu. Cu toate acestea, dacă hamiltonianul $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ are o valoare proprie degenerată $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ cu grad de degenerare $g_{n}$ ${\ displaystyle g_ {n}}$ $g_ {n}$ , stările proprii asociate cu acesta formează un subspatiu vectorial al dimensiunii $g_{n}$ ${\ displaystyle g_ {n}}$ $g_ {n}$ . În acest caz, mai multe stări finale pot fi asociate cu același rezultat $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ , și toate acestea sunt combinații liniare ale vectorilor proprii ortonormali gn $|E_{n,i}\rangle$ ${\ displaystyle | E_ {n, i} \ rangle}$ ${\ displaystyle | E_ {n, i} \ rangle}$ .

În acest caz, probabilitatea ca valoarea măsurată a energiei pentru un sistem în stare $|\psi \rangle$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$ returnează valoarea $E_{n}$ ${\ displaystyle E_ {n}}$ $E_ {n}$ este dat de suma probabilităților de a găsi sistemul în fiecare dintre stări pe această bază, de exemplu:

$P(E_{n})=\sum _{i=1}^{g_{n}}|\langle E_{n,i}|\psi \rangle |^{2}$ ${\ displaystyle P (E_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {g_ {n}} | \ langle E_ {n, i} | \ psi \ rangle | ^ {2}}$ ${\ displaystyle P (E_ {n}) = \ sum _ {i = 1} ^ {g_ {n}} | \ langle E_ {n, i} | \ psi \ rangle | ^ {2}}$

Notă

^ Cohen-Tannoudji 1977 , p. 132 .

Bibliografie

C. Cohen-Tannoudji , B. Diu și F. Laloe,Mecanica cuantică , Wiley, 1977, ISBN 978-0-471-16433-3 .
Paul Dirac, Principiile mecanicii cuantice , Bollati Boringhieri, 1971.
Albert Messiah, Mécanique quantique, volumul 1 , Dunod, 1966.

Portalul chimiei

Portal cuantic

[1] Cohen-Tannoudji 1977 , p. 132 .

[1]