Legea lui Planck

Legea lui Planck , formulată de Max Planck în 1900, afirmă că energia asociată cu radiația electromagnetică este transmisă în unități discrete sau cuante , identificate ulterior în fotoni .

Formulă

Legea lui Planck (curbele colorate) determină cu exactitate radiația corpului negru . Curba neagră este predicția teoriei clasice care provoacă așa-numita catastrofă ultravioletă .

Valoarea $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ a unei cuantice de energie depinde de frecvență $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ radiației conform formulei:

E=h\nu

{\ displaystyle E = h \ nu}

{\ displaystyle E = h \ nu}

unde h este constanta lui Planck .

Folosind unitățile sistemului internațional (SI), energia este măsurată în juli , frecvența în hertz și constanta lui Planck în juli secunde .

Legea lui Planck oferă, de asemenea, o formulă pentru distribuția statistică a energiei cuantice prin strălucirea spectrală a unui corp $B_{\nu }(\nu ,T)$ ${\ displaystyle B _ {\ nu} (\ nu, T)}$ ${\ displaystyle B _ {\ nu} (\ nu, T)}$ , care descrie energia emisă de radiații la diferite frecvențe. Această cantitate este măsura puterii emise pe unitatea de suprafață a corpului, pe unitatea de unghi solid pe unitate de frecvență. Spus $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ frecvența e $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ temperatura absolută , exprimată în unități de energie ^[1] :

B_{\nu }(\nu ,T)={\frac {2\ h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}

{\ displaystyle B _ {\ nu} (\ nu, T) = {\ frac {2 \ h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}}}

{\ displaystyle B _ {\ nu} (\ nu, T) = {\ frac {2 \ h \ nu ^ {3}} {c ^ {2}}} {\ frac {1} {e ^ {\ frac {h \ nu} {k _ {\ mathrm {B}} T}} - 1}}}

unde este $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ este constanta lui Planck e $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ este viteza luminii în vid.

Legea are o valoare maximă foarte specifică pentru care:

h\nu \approx 2.82k_{\mathrm {B} }T

{\ displaystyle h \ nu \ approx 2.82k _ {\ mathrm {B}} T}

{\ displaystyle h \ nu \ approx 2.82k _ {\ mathrm {B}} T}

Note istorice și consecințe

Planck a formulat legea pentru a rezolva problema radiației corpului negru , pentru care legile cunoscute, bazându-se pe presupunerea că o masă radiază aceeași cantitate de energie pe întregul spectru de frecvențe, putând crește frecvența până la infinit, a dus la inconsistență rezultatele, în clar dezacord cu datele experimentale (așa-numita catastrofă ultravioletă ). La acea vreme, nu exista o justificare teoretică pentru această alegere a discretizării, care pur și simplu a permis rezolvarea problemei într-un mod elementar și a reprodus exact datele experimentale, lăsând modelul neschimbat. Planck însuși era nedumerit. Atunci Albert Einstein, în 1905, a dat conceptului de „cuantă a luminii” un sens fizic, teorizând că radiația electromagnetică era cu adevărat alcătuită din pachete de energie (numite fotoni în 1926 de Gilbert Lewis ) și reușind astfel să explice fotoelectricul. efect . Conceptul a ceea ce a fost apoi extins la magnitudinea „energiei” într-un sens larg, permițând înțelegerea teoretică a funcționării atomului și devenind un element fundamental al mecanicii cuantice .

Derivare

Se poate arăta că relația dintre energie și frecvență poate fi derivată folosind relativitatea specială . Temperatura de mai jos este măsurată în jouli, astfel încât constanta lui Boltzmann să nu apară în ecuații.

Este prezentată derivarea clasică a legii, care se referă istoric la lumina conținută într-o cavitate, în echilibru termic cu pereții (adică cu energia radiației absorbite egală cu energia emisă), ca și cum ar fi un gaz . Particulele de material unic sunt înlocuite de câmpul electromagnetic oscilant al undelor (staționare) reflectate între pereți, considerate la toate frecvențele posibile (care într-o cavitate de lungime finită $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ Sunt $\nu _{n}={\frac {c}{\lambda _{n}}}=n{\frac {c}{2L}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {n} = {\ frac {c} {\ lambda _ {n}}} = n {\ frac {c} {2L}}}$ ${\ displaystyle \ nu _ {n} = {\ frac {c} {\ lambda _ {n}}} = n {\ frac {c} {2L}}}$ ). Distribuția energiilor cinetice ale particulelor într-un gaz în echilibru local la temperatură $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ presupune distribuția Boltzmann , conform căreia probabilitatea unei stări de energie $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ (într-un interval $d ȘI$ ${\ displaystyle dE}$ ${\ displaystyle dE}$ ) Și:

P(E)dE={\frac {e^{-{\frac {E}{T}}}}{\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}}\,dE

{\ displaystyle P (E) dE = {\ frac {e ^ {- {\ frac {E} {T}}}} {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E } {T}}} \, dE}} \, dE}

{\ displaystyle P (E) dE = {\ frac {e ^ {- {\ frac {E} {T}}}} {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E } {T}}} \, dE}} \, dE}

Aplicată radiației electromagnetice din interiorul cavității, această formulă oferă probabilitatea ca fiecare dintre undele staționare descrise mai sus să aibă un conținut de energie $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ ; numărul frecvențelor specifice, înmulțit cu direcțiile posibile de polarizare (două), corespunde gradelor de libertate termodinamice .

Valoarea medie a energiei stocate în cadrul fiecărei lungimi de undă este calculată în consecință:

\langle E\rangle ={\frac {\int _{0}^{\infty }Ee^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}{\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ infty} Ee ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE}}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ int _ {0} ^ {\ infty} Ee ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE}}}

Realizarea integralelor găsim: $\langle E\rangle =T$ ${\ displaystyle \ langle E \ rangle = T}$ ${\ displaystyle \ langle E \ rangle = T}$ , care este rezultatul clasic pentru energia medie conținută în două grade de libertate , valabilă pentru teoria cinetică a gazelor . Aplicat radiației dintr-o cavitate duce imediat, după cum se știe, la paradoxul numit catastrofă ultravioletă : deoarece gradele de libertate corespund frecvențelor posibile și nu s-au cunoscut motive pentru care acestea ar trebui să aibă o limită superioară, energia totală obținut prin adăugarea unui număr infinit de valori medii constante $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este infinit. Atributul ultraviolet se datorează faptului că frecvențele mai mari sunt responsabile pentru valoarea de scurgere.

Problema, prin simplitatea sa desconcertantă, a rămas deschisă mulți ani fără idei despre soluții posibile. Ieșirea a fost găsită de Planck și era un dispozitiv algebric simplu.

Pentru a ilustra, arătăm pe scurt pasajele vechii soluții de integrale:

{\frac {\int Ee^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}{\int e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}}={\frac {-{\frac {\partial }{\partial (1/T)}}\int e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}{\int e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE}}=-{\frac {\partial }{\partial (1/T)}}\ln \int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE=-{\frac {\partial }{\partial (1/T)}}\ln T=T

{\ displaystyle {\ frac {\ int Ee ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} } = {\ frac {- {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ ln \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE = - {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ ln T = T}

{\ displaystyle {\ frac {\ int Ee ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} } = {\ frac {- {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE} {\ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE}} = - {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ ln \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE = - {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ ln T = T}

Trucul folosit de Max Planck a fost pur și simplu înlocuirea integralei cu o însumare discretă:

\int e^{-{\frac {E}{T}}}\,dE\mapsto \sum e^{-{\frac {\varepsilon n}{T}}}

{\ displaystyle \ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE \ mapsto \ sum e ^ {- {\ frac {\ varepsilon n} {T}}}}

{\ displaystyle \ int e ^ {- {\ frac {E} {T}}} \, dE \ mapsto \ sum e ^ {- {\ frac {\ varepsilon n} {T}}}}

,

la care urmează $\sum _{0}^{\infty }e^{-{\frac {\varepsilon n}{T}}}={\frac {1}{1-e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {\ varepsilon n} {T}}} = {\ frac {1} {1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- {\ frac {\ varepsilon n} {T}}} = {\ frac {1} {1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}}}}$ (formula a fost utilizată pentru a adăuga termenii seriei geometrice: $\sum _{0}^{N}x^{n}={\frac {1-x^{N+1}}{1-x}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {0} ^ {N} x ^ {n} = {\ frac {1-x ^ {N + 1}} {1-x}}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {0} ^ {N} x ^ {n} = {\ frac {1-x ^ {N + 1}} {1-x}}}$ ). Cu aceasta calculul devine:

\langle E\rangle ={\frac {\partial }{\partial (1/T)}}\ln \left(1-e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}\right)={\frac {\varepsilon e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}{1-e^{-{\frac {\varepsilon }{T}}}}}={\frac {\varepsilon }{e^{\frac {\varepsilon }{T}}-1}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ ln \ left (1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}} \ dreapta) = {\ frac {\ varepsilon e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}} {1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}}} = {\ frac {\ varepsilon} {e ^ {\ frac {\ varepsilon} {T}} - 1}}}

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = {\ frac {\ partial} {\ partial (1 / T)}} \ ln \ left (1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}} \ dreapta) = {\ frac {\ varepsilon e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}} {1-e ^ {- {\ frac {\ varepsilon} {T}}}}} = {\ frac {\ varepsilon} {e ^ {\ frac {\ varepsilon} {T}} - 1}}}

La cantitatea constantă $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ a fost atribuită o valoare proporțională cu frecvența $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , $\varepsilon =h\nu$ ${\ displaystyle \ varepsilon = h \ nu}$ ${\ displaystyle \ varepsilon = h \ nu}$ .

În acest fel, valoarea energiei medii care aparține gradului de libertate nu mai este o constantă, ci scade odată cu creșterea frecvenței radiației care o conține, permițând să aibă o valoare finită a energiei totale.

Notă

^ multiplicând de exemplu kelvinii cu valoarea constantei Boltzmann în jouli / kelvin

Bibliografie

C. Mencuccini, V. Silvestrini, Physics II , Naples, Liguori Editore, 1998, pp. 645-648.

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 4174789-6

Portalul Electromagnetismului

Portal cuantic

[1] ultiplicând de exemplu kelvinii cu valoarea constantei Boltzmann în jouli / kelvin

[1]