Unghi solid

În geometrie, un unghi solid este o extensie a conceptului de unghi plan la spațiul tridimensional. Este definit ca fiecare dintre cele două regiuni în care spațiul este împărțit de suprafața formată de razele care își au originea în același punct (numit vârful unghiului solid) și care trece prin punctele unei simple curbe închise desenate pe o suprafață care nu conține vârful. Unitatea de măsură a unghiului solid este steradianul .

Un caz special de unghi solid este unghiul poliedric (sau pur și simplu unghiul ) care se obține atunci când curba este un poligon. Un unghi poate fi numit un unghi cvadric atunci când admite că fețele sale sunt tangente la un cvadru de rotație, așa cum este cazul unghiului triedric.

Măsurarea unghiului solid

Unghiul solid W subtins într-o sferă de rază R.

Măsura unghiului solid la steradieni $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este definit ca $A/R^{2}$ ${\ displaystyle A / R ^ {2}}$ $A / R ^ {2}$ , unde este $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este aria porțiunii de rază a suprafeței sferice $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ vedere sub colț $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ . Această definiție este independentă de valoarea particulară a razei alese și este o extensie a spațiului tridimensional al definiției măsurii unui unghi plan $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ în radiani precum $s/r$ ${\ displaystyle s / r}$ $s / r$ , unde este $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ este lungimea arcului unei circumferințe de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ subtended de $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ . Unghiul solid subtins de o suprafață generică față de un punct P este deci echivalent cu cel subtins de proiecția aceleiași suprafețe pe o sferă de orice rază centrată în P.

Din definiția de mai sus rezultă că unghiul solid subtins de întreaga suprafață sferică măsoară $4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$ . Pentru a obține măsura în grade pătrate, înmulțiți valoarea steradiană cu $(180/\pi )^{2}$ ${\ displaystyle (180 / \ pi) ^ {2}}$ ${\ displaystyle (180 / \ pi) ^ {2}}$ , asta este pentru $\approx 3282,8$ ${\ displaystyle \ approx 3282.8}$ ${\ displaystyle \ approx 3282.8}$ . Deci întreaga sferă are aproximativ 41253 grade pătrate.

Exemple

În cazul unui con de deschidere $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , măsura unghiului solid $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ față de vârf este egal cu:

\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).

{\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi \ left (1- \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right).}

{\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi \ left (1- \ cos {\ frac {\ alpha} {2}} \ right).}

Caz particular este unghiul solid subtins de o jumătate de sferă, adică de un unghi egal cu $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Formula devine:

\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\pi }{2}}\right)=2\pi (1-0)=2\pi ,

{\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi \ left (1- \ cos {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = 2 \ pi (1-0) = 2 \ pi,}

{\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi \ left (1- \ cos {\ frac {\ pi} {2}} \ right) = 2 \ pi (1-0) = 2 \ pi,}

care este egal cu jumătate din $4\pi$ ${\ displaystyle 4 \ pi}$ $4 \ pi$ care este întregul unghi solid.

O formulă simplă pentru calcularea măsurii unghiului solid subtins al unui triunghi de vârfuri ${\mathbf {R} }_{1}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {1}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {1}}$ , ${\mathbf {R} }_{2}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {2}}$ Și ${\mathbf {R} }_{3}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {3}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {3}}$ și văzut de la origine, a fost formulat de Oosterom și Strackee:

\tan \left({\frac {\Omega }{2}}\right)={\frac {|{\mathbf {R} }_{1}\cdot ({\mathbf {R} }_{2}\times {\mathbf {R} }_{3})|}{R_{1}R_{2}R_{3}+({\mathbf {R} }_{1}\cdot {\mathbf {R} }_{2})R_{3}+({\mathbf {R} }_{2}\cdot {\mathbf {R} }_{3})R_{1}+({\mathbf {R} }_{3}\cdot {\mathbf {R} }_{1})R_{2}}},

{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ Omega} {2}} \ right) = {\ frac {| {\ mathbf {R}} _ {1} \ cdot ({\ mathbf {R}} _ {2} \ times {\ mathbf {R}} _ {3}) |} {R_ {1} R_ {2} R_ {3} + ({\ mathbf {R}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {R}} _ {2}) R_ {3} + ({\ mathbf {R}} _ {2} \ cdot {\ mathbf {R}} _ {3}) R_ {1} + ({\ mathbf { R}} _ {3} \ cdot {\ mathbf {R}} _ {1}) R_ {2}}},}

{\ displaystyle \ tan \ left ({\ frac {\ Omega} {2}} \ right) = {\ frac {| {\ mathbf {R}} _ {1} \ cdot ({\ mathbf {R}} _ {2} \ times {\ mathbf {R}} _ {3}) |} {R_ {1} R_ {2} R_ {3} + ({\ mathbf {R}} _ {1} \ cdot {\ mathbf {R}} _ {2}) R_ {3} + ({\ mathbf {R}} _ {2} \ cdot {\ mathbf {R}} _ {3}) R_ {1} + ({\ mathbf { R}} _ {3} \ cdot {\ mathbf {R}} _ {1}) R_ {2}}},}

unde este:

{\mathbf {R} }_{i}

{\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {i}}

este reprezentarea vectorială a punctului

the

{\ displaystyle i}

the

;

R_{i}

{\ displaystyle R_ {i}}

Re

denotă distanța până la punct

the

{\ displaystyle i}

the

de la origine (norma euclideană a

{\mathbf {R} }_{i}

{\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {i}}

);

{\mathbf {R} }_{i}\cdot {\mathbf {R} }_{j}

{\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {i} \ cdot {\ mathbf {R}} _ {j}}

{\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {i} \ cdot {\ mathbf {R}} _ {j}}

denotă produsul punct;

{\mathbf {R} }_{i}\times {\mathbf {R} }_{j}

{\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {i} \ times {\ mathbf {R}} _ {j}}

{\ displaystyle {\ mathbf {R}} _ {i} \ times {\ mathbf {R}} _ {j}}

denotă produsul vector ;

|\cdot |

{\ displaystyle | \ cdot |}

| \ cdot |

denotă valoarea absolută .

$\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este, de asemenea, aria triunghiului care se află într-o sferă centrată la origine și a razei unitare, având ca laturi segmentele de intersecție ale sferei cu planurile care trec prin origine și două vârfuri.

Semnul numărătorului (înainte de evaluarea modulului) indică dacă fața interioară a triunghiului este vizibilă de la origine ( $+$ ${\ displaystyle +}$ $+$ ) sau fața exterioară ( $-$ ${\ displaystyle -}$ $-$ ). Orientarea triunghiului este definită de orientarea vârfurilor sale (în sensul acelor de ceasornic sau invers).