Teorema virială

În mecanica clasică , teorema virială este o propoziție care leagă media în timp a energiei cinetice și a energiei potențiale a unui sistem stabil de particule N și care are implicații importante în diferite ramuri ale fizicii .

Prima formulare a teoremei se datorează lui Rudolf Clausius , în 1870 . Numele virial derivă din latina vis care înseamnă putere sau energie .

Teorema

Teorema virială afirmă că într-un sistem de N particule care se mișcă într-o regiune limitată a spațiului, a cărei energie cinetică totală este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ , raportul merită

2\left\langle T\right\rangle =-\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle

{\ displaystyle 2 \ left \ langle T \ right \ rangle = - \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left \ langle \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k } \ right \ rangle}

{\ displaystyle 2 \ left \ langle T \ right \ rangle = - \ sum _ {k = 1} ^ {N} \ left \ langle \ mathbf {F} _ {k} \ cdot \ mathbf {r} _ {k } \ right \ rangle}

unde parantezele indică media în timp și $\mathbf {F} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {k}}$ reprezintă forța care acționează asupra k-a particulă, situată în poziție $\mathbf {r} _{k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {k}}$ .

Dacă energia potențială a sistemului este o funcție omogenă a gradului n al coordonatelor, adică a formei

U(r)=\alpha r^{n}\

{\ displaystyle U (r) = \ alpha r ^ {n} \}

{\ displaystyle U (r) = \ alpha r ^ {n} \}

care este proporțională cu o putere n a distanței medii r dintre particule, atunci teorema ia forma

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle

{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle U \ rangle}

{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle U \ rangle}

unde energia potențială totală medie $\left\langle U\right\rangle$ ${\ displaystyle \ left \ langle U \ right \ rangle}$ ${\ displaystyle \ left \ langle U \ right \ rangle}$ este suma energiei potențiale dintre fiecare pereche de particule.

În cazul particular al unui potențial gravitațional , proporțional cu reciprocitatea distanței, avem acest lucru

2\langle T\rangle =-\langle U\rangle

{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = - \ langle U \ rangle}

{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = - \ langle U \ rangle}

unde U este energia potențială gravitațională .

Demonstrație

Pentru a demonstra teorema, luați în considerare un sistem de mase $m_{i}$ ${\ displaystyle m_ {i}}$ $pe mine$ fiecare indicat printr-o rază vectorială $\mathbf {r} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {i}}$ $\ mathbf {r} _i$ referindu-se la o anumită origine. Este $\mathbf {F} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {i}}$ forța care acționează asupra primei mase. Indicând cu $\mathbf {p} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p} _ {i}}$ impulsul masei i, atunci

\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}={\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}\sum _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i}^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ mathbf {p} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {d} {dt}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} ^ {2}}

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ mathbf {p} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} = {\ frac {1} {2}} {\ frac {d} {dt}} \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {r} _ {i} ^ {2}}

Ultima sumă, care este notată cu $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ , este egal cu jumătate din urma tensorului de inerție , care corespunde momentului de inerție pentru o problemă bidimensională, în raport cu originea sistemului de masă. Derivând această expresie obținem:

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=\sum _{i}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {p} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}+2T

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} I} {dt ^ {2}}} = \ sum _ {i} {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} + \ sum _ {i} \ mathbf {p} _ {i} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} = \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} + \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf { v} _ {i} = \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} + 2T}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} I} {dt ^ {2}}} = \ sum _ {i} {\ dot {\ mathbf {p}}} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} + \ sum _ {i} \ mathbf {p} _ {i} \ cdot {\ dot {\ mathbf {r}}} _ {i} = \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} + \ sum _ {i} m_ {i} \ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ mathbf { v} _ {i} = \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} + 2T}

Unde a fost folosită relația clasică $\mathbf {\dot {p}} _{i}=\mathbf {F} _{i}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} _ {i} = \ mathbf {F} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} _ {i} = \ mathbf {F} _ {i}}$ . Indicat cu $\mathbf {F} _{ij}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {ij}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} _ {ij}}$ forța exercitată de masa a i-a pe masa a j-a și luând în considerare natura gravitațională a forțelor

\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \sum _{j\neq i}\mathbf {F} _{ij}=\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\cdot \sum _{j\neq i}Gm_{i}m_{j}{\frac {\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}}{r_{ij}^{3}}}=\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}}[\mathbf {r} _{i}\cdot (\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})+\mathbf {r} _{j}\cdot (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})]=

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot \ sum _ {j \ neq i} \ mathbf {F} _ {ij} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot \ sum _ {j \ neq i} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i}} {r_ {ij} ^ {3}}} = \ sum _ {j> i} {\ frac {Gm_ { i} m_ {j}} {r_ {ij} ^ {3}}} [\ mathbf {r} _ {i} \ cdot (\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i} ) + \ mathbf {r} _ {j} \ cdot (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j})] =}

{\ displaystyle \ sum _ {i} \ mathbf {F} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot \ sum _ {j \ neq i} \ mathbf {F} _ {ij} = \ sum _ {i} \ mathbf {r} _ {i} \ cdot \ sum _ {j \ neq i} Gm_ {i} m_ {j} {\ frac {\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i}} {r_ {ij} ^ {3}}} = \ sum _ {j> i} {\ frac {Gm_ { i} m_ {j}} {r_ {ij} ^ {3}}} [\ mathbf {r} _ {i} \ cdot (\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf {r} _ {i} ) + \ mathbf {r} _ {j} \ cdot (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j})] =}

=\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j})=-\sum _{j>i}{\frac {Gm_{i}m_{j}}{r_{ij}}}

{\ displaystyle = \ sum _ {j> i} {\ frac {Gm_ {i} m_ {j}} {r_ {ij} ^ {3}}} (\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf { r} _ {i}) (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j}) = - \ sum _ {j> i} {\ frac {Gm_ {i} m_ {j} } {r_ {ij}}}}

{\ displaystyle = \ sum _ {j> i} {\ frac {Gm_ {i} m_ {j}} {r_ {ij} ^ {3}}} (\ mathbf {r} _ {j} - \ mathbf { r} _ {i}) (\ mathbf {r} _ {i} - \ mathbf {r} _ {j}) = - \ sum _ {j> i} {\ frac {Gm_ {i} m_ {j} } {r_ {ij}}}}

Ultima expresie este deci pur și simplu U, energia potențială gravitațională totală a sistemului de masă.

Prin urmare, am ajuns la următoarea expresie:

{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}I}{dt^{2}}}=2T+U

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} I} {dt ^ {2}}} = 2T + U}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {d ^ {2} I} {dt ^ {2}}} = 2T + U}

iar teorema se obține prin urmare prin medierea ambilor membri. Având în vedere ipoteza limitării mișcărilor, media primului membru este zero, de fapt valoarea medie a oricărei funcții a timpului $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ este definit ca

{\bar {f}}=\lim \limits _{T\to +\infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}{f\left(t\right)}dt

{\ displaystyle {\ bar {f}} = \ lim \ limits _ {T \ to + \ infty} {1 \ over T} \ int _ {0} ^ {T} {f \ left (t \ right)} dt}

{\ displaystyle {\ bar {f}} = \ lim \ limits _ {T \ to + \ infty} {1 \ over T} \ int _ {0} ^ {T} {f \ left (t \ right)} dt}

De sine $f(t)$ ${\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ este un derivat în raport cu timpul $f\left(t\right)={{dF\left(t\right)} \over {dt}}$ ${\ displaystyle f \ left (t \ right) = {{dF \ left (t \ right)} \ over {dt}}}$ ${\ displaystyle f \ left (t \ right) = {{dF \ left (t \ right)} \ over {dt}}}$ a unei funcții limitate $F(t)$ ${\ displaystyle F (t)}$ $F (t)$ se dovedește

{\bar {f}}=\lim \limits _{T\to +\infty }{1 \over T}\int _{0}^{T}{{dF\left(t\right)} \over {dt}}dt=\lim \limits _{T\to +\infty }{{F\left(T\right)-F\left(0\right)} \over T}=0

{\ displaystyle {\ bar {f}} = \ lim \ limits _ {T \ to + \ infty} {1 \ over T} \ int _ {0} ^ {T} {{dF \ left (t \ right) } \ over {dt}} dt = \ lim \ limits _ {T \ to + \ infty} {{F \ left (T \ right) -F \ left (0 \ right)} \ over T} = 0}

{\ displaystyle {\ bar {f}} = \ lim \ limits _ {T \ to + \ infty} {1 \ over T} \ int _ {0} ^ {T} {{dF \ left (t \ right) } \ over {dt}} dt = \ lim \ limits _ {T \ to + \ infty} {{F \ left (T \ right) -F \ left (0 \ right)} \ over T} = 0}

Dovadă pentru energie dependentă de gradul coordonatelor

Deoarece energia cinetică $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este o funcție pătratică a vitezei, pe care o avem, prin teorema lui Euler asupra funcțiilor omogene

\sum \limits _{i}{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{i}}}\cdot \mathbf {v} _{i}=2T

{\ displaystyle \ sum \ limits _ {i} {\ frac {\ partial T} {\ partial \ mathbf {v} _ {i}}} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = 2T}

{\ displaystyle \ sum \ limits _ {i} {\ frac {\ partial T} {\ partial \ mathbf {v} _ {i}}} \ cdot \ mathbf {v} _ {i} = 2T}

dacă acum introducem impulsurile

{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {v} _{i}}}=\mathbf {p} _{i}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial \ mathbf {v} _ {i}}} = \ mathbf {p} _ {i}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial T} {\ partial \ mathbf {v} _ {i}}} = \ mathbf {p} _ {i}}

și derivatele respective cu privire la timp conform ecuațiilor lui Newton

\mathbf {\dot {p}} _{i}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} _ {i} = - {\ frac {\ partial U} {\ partial \ mathbf {r} _ {i}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ dot {p}} _ {i} = - {\ frac {\ partial U} {\ partial \ mathbf {r} _ {i}}}}

primesti

2T=\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot }\mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)-\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot \mathbf {\dot {p}} _{i}={\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)+\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}

{\ displaystyle 2T = \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {p} _ {i} \ cdot} \ mathbf {v} _ {i} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({ \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {p} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}}} \ right) - \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {r} _ {i}} \ cdot \ mathbf {\ dot {p}} _ {i} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {p} _ { i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}}} \ right) + \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {r} _ {i}} \ cdot {\ frac {\ partial U} {\ parțial \ mathbf {r} _ {i}}}}

{\ displaystyle 2T = \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {p} _ {i} \ cdot} \ mathbf {v} _ {i} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({ \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {p} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}}} \ right) - \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {r} _ {i}} \ cdot \ mathbf {\ dot {p}} _ {i} = {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {p} _ { i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}}} \ right) + \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {r} _ {i}} \ cdot {\ frac {\ partial U} {\ parțial \ mathbf {r} _ {i}}}}

în virtutea teoremei lui Euler privind funcțiile omogene rezultă

nU=\sum \limits _{i}{\mathbf {r} _{i}}\cdot {\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} _{i}}}

{\ displaystyle nU = \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {r} _ {i}} \ cdot {\ frac {\ partial U} {\ partial \ mathbf {r} _ {i}}}}

{\ displaystyle nU = \ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {r} _ {i}} \ cdot {\ frac {\ partial U} {\ partial \ mathbf {r} _ {i}}}}

în timp ce pentru ipoteza limitării mișcărilor valoarea medie în raport cu timpul termenului

{\frac {d}{dt}}\left({\sum \limits _{i}{\mathbf {p} _{i}\cdot \mathbf {r} _{i}}}\right)

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {p} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}}} \ right )}}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left ({\ sum \ limits _ {i} {\ mathbf {p} _ {i} \ cdot \ mathbf {r} _ {i}}} \ right )}}

este nul. Din aceasta rezultă afirmația

2\langle T\rangle =n\langle U\rangle

{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle U \ rangle}

{\ displaystyle 2 \ langle T \ rangle = n \ langle U \ rangle}

decât în cazul gravitațional, în care $n=-1$ ${\ displaystyle n = -1}$ ${\ displaystyle n = -1}$ , se reduce la declarația specială.

Teorema virială în mecanica cuantică

Tot în Mecanica cuantică există o variantă a teoremei viriale clasice.

Sunând cu $|E\rangle$ ${\ displaystyle | E \ rangle}$ ${\ displaystyle | E \ rangle}$ o eigenstate referitoare la valoare proprie $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ a hamiltonianului

H=T(\mathbf {p} )+U(\mathbf {q} )

{\ displaystyle H = T (\ mathbf {p}) + U (\ mathbf {q})}

{\ displaystyle H = T (\ mathbf {p}) + U (\ mathbf {q})}

unde energia cinetică $T(\mathbf {p} )$ ${\ displaystyle T (\ mathbf {p})}$ ${\ displaystyle T (\ mathbf {p})}$ este întotdeauna o funcție a pătratelor impulsurilor și a energiei potențiale $U(\mathbf {q} )$ ${\ displaystyle U (\ mathbf {q})}$ ${\ displaystyle U (\ mathbf {q})}$ este încă o funcție omogenă a gradului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ coordonate $\mathbf {q}$ ${\ displaystyle \ mathbf {q}}$ $\ mathbf q$ , avem:

2\langle E|T|E\rangle =n\langle E|U|E\rangle

{\ displaystyle 2 \ langle E | T | E \ rangle = n \ langle E | U | E \ rangle}

{\ displaystyle 2 \ langle E | T | E \ rangle = n \ langle E | U | E \ rangle}

Demonstrație

În această demonstrație, pentru comoditatea scrierii, vom folosi convenția conform căreia, atunci când există doi indici repetați, este implicată o însumare pe indici înșiși, de exemplu:

q_{i}p_{i}\equiv \sum \limits _{i}{q_{i}p_{i}}

{\ displaystyle q_ {i} p_ {i} \ equiv \ sum \ limits _ {i} {q_ {i} p_ {i}}}

{\ displaystyle q_ {i} p_ {i} \ equiv \ sum \ limits _ {i} {q_ {i} p_ {i}}}

Pentru dovadă este util să se demonstreze preliminar următoarea egalitate:

\langle E|[{q}_{i}{p}_{i},H]|E\rangle =0

{\ displaystyle \ langle E | [{q} _ {i} {p} _ {i}, H] | E \ rangle = 0}

{\ displaystyle \ langle E | [{q} _ {i} {p} _ {i}, H] | E \ rangle = 0}

.

Într-adevăr, amintindu-mi asta $\langle E|H=E\langle E|$ ${\ displaystyle \ langle E | H = E \ langle E |}$ ${\ displaystyle \ langle E | H = E \ langle E |}$ , se aplică următoarele: