Teorema lui Taylor-Proudman

În dinamica fluidelor , teorema Taylor - Proudman afirmă că atunci când un fluid este în rotație lentă și constantă în jurul unei axe, viteza fluidului va fi uniformă de-a lungul oricărei linii paralele cu axa de rotație. Mai mult, pentru ca fenomenul să se producă, fluxul trebuie să fie non-vâscos și trebuie să fie caracterizat printr-o valoare a numărului Rossby mai mică decât unitatea.

Teorema

Teorema lui Taylor-Proudman poate fi exprimată în formă vectorială ca:

({\mathbf {\Omega } }\cdot \nabla ){\mathbf {u} }={\mathbf {0} }.

{\ displaystyle ({\ mathbf {\ Omega}} \ cdot \ nabla) {\ mathbf {u}} = {\ mathbf {0}}.}

{\ displaystyle ({\ mathbf {\ Omega}} \ cdot \ nabla) {\ mathbf {u}} = {\ mathbf {0}}.}

unde este ${\mathbf {u} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {u}}}$ ${\ mathbf u}$ este vectorul vitezei și d ${\mathbf {\Omega } }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}$ vectorul vitezei unghiulare .

Forma vectorială a teoremei este mai ușor de înțeles dacă extindem produsul scalar :

\Omega _{x}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial x}}+\Omega _{y}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial y}}+\Omega _{z}{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial z}}=0

{\ displaystyle \ Omega _ {x} {\ frac {\ partial {\ mathbf {u}}} {\ partial x}} + \ Omega _ {y} {\ frac {\ partial {\ mathbf {u}}} {\ partial y}} + \ Omega _ {z} {\ frac {\ partial {\ mathbf {u}}} {\ partial z}} = 0}

{\ displaystyle \ Omega _ {x} {\ frac {\ partial {\ mathbf {u}}} {\ partial x}} + \ Omega _ {y} {\ frac {\ partial {\ mathbf {u}}} {\ partial y}} + \ Omega _ {z} {\ frac {\ partial {\ mathbf {u}}} {\ partial z}} = 0}

Prin urmare, să ne plasăm într-un sistem de referință în care direcția vitezei unghiulare coincide cu axa z:

{\mathbf {\Omega } }=\Omega _{z}{\mathbf {\hat {k}} }

{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}} = \ Omega _ {z} {\ mathbf {\ hat {k}}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}} = \ Omega _ {z} {\ mathbf {\ hat {k}}}}

În consecință, componentele $\Omega _{x}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {x}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {x}}$ Și $\Omega _{y}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {y}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {y}}$ sunt nule. Prin urmare, ecuația se reduce la următoarea expresie:

{\frac {\partial {\mathbf {u} }}{\partial z}}=0,

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {u}}} {\ partial z}} = 0,}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {u}}} {\ partial z}} = 0,}

.

Prin urmare, consecința este că toate cele trei componente ale vectorului de viteză sunt uniforme de-a lungul unei linii paralele cu axa de rotație z sau în mod echivalent nu depind de abscisa z. Este ca și cum fluidul se mișcă de-a lungul coloanelor paralele cu axa de rotație. ^[1] Aceste coloane pot fi de fapt afișate. Luați un recipient și fixați un corp pe fund, la o anumită distanță de centru. Umpleți recipientul cu apă și puneți-l în rotație lentă. Prin creșterea vitezei de rotație, se generează o perturbare în corespondență cu obstacolul care se propagă vertical, paralel cu axa de rotație. ^[2] ^[3]

Derivare

Dacă specializăm ecuațiile Navier-Stokes la cazul unui flux staționar și non-vâscos supus acțiunii forței Coriolis , obținem:

({\mathbf {u} }\cdot \nabla ){\mathbf {u} }=-2{\mathbf {\Omega } }\times {\mathbf {u} }-{\frac {\nabla p}{\rho }}

{\ displaystyle ({\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla) {\ mathbf {u}} = - 2 {\ mathbf {\ Omega}} \ times {\ mathbf {u}} - {\ frac {\ nabla p} {\ rho}}}

{\ displaystyle ({\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla) {\ mathbf {u}} = - 2 {\ mathbf {\ Omega}} \ times {\ mathbf {u}} - {\ frac {\ nabla p} {\ rho}}}

unde este ${\mathbf {u} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {u}}}$ ${\ mathbf u}$ este vectorul vitezei fluidului, $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ este densitatea , $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ presiune și ${\mathbf {\Omega } }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {\ Omega}}}$ vectorul vitezei unghiulare . Dacă presupunem că termenul convectiv este neglijabil în ceea ce privește contribuția accelerației Coriolis (presupunere rezonabilă dacă numărul Rossby este mai mic de 1) și că fluidul este incompresibil (densitatea este constantă), atunci ecuația devine:

2{\mathbf {\Omega } }\times {\mathbf {u} }=-{\frac {\nabla p}{\rho }}

{\ displaystyle 2 {\ mathbf {\ Omega}} \ times {\ mathbf {u}} = - {\ frac {\ nabla p} {\ rho}}}

{\ displaystyle 2 {\ mathbf {\ Omega}} \ times {\ mathbf {u}} = - {\ frac {\ nabla p} {\ rho}}}

Dacă calculăm rotorul expresiei anterioare, derivăm teorema lui Taylor - Proudman:

({\mathbf {\Omega } }\cdot \nabla ){\mathbf {u} }={\mathbf {0} }.

{\ displaystyle ({\ mathbf {\ Omega}} \ cdot \ nabla) {\ mathbf {u}} = {\ mathbf {0}}.}

{\ displaystyle ({\ mathbf {\ Omega}} \ cdot \ nabla) {\ mathbf {u}} = {\ mathbf {0}}.}

Pentru a obține expresia anterioară, au fost utilizate următoarele identități de calcul vector :

\nabla \times (A\times B)=A(\nabla \cdot B)-(A\cdot \nabla )B+(B\cdot \nabla )A-B(\nabla \cdot A)

{\ displaystyle \ nabla \ times (A \ times B) = A (\ nabla \ cdot B) - (A \ cdot \ nabla) B + (B \ cdot \ nabla) AB (\ nabla \ cdot A)}

{\ displaystyle \ nabla \ times (A \ times B) = A (\ nabla \ cdot B) - (A \ cdot \ nabla) B + (B \ cdot \ nabla) A-B (\ nabla \ cdot A)}

Și

\nabla \times (\nabla \Phi )=0

{\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ Phi) = 0}

{\ displaystyle \ nabla \ times (\ nabla \ Phi) = 0}

( Rotorul de gradient al oricărei funcții $\Phi$ ${\ displaystyle \ Phi}$ $\ Phi$ din clasa C ² - diferențiat de două ori cu derivate secundare continue - este întotdeauna nul).

De asemenea, rețineți că s-a folosit și informația că viteza unghiulară este constantă: $\nabla \cdot {\mathbf {\Omega } }=0$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {\ Omega}} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {\ Omega}} = 0}$ .

Notă

^ Marina Serio, Dinamica vorticității. ( DOC ) ^{[ link rupt ]} , pe personalpages.to.infn.it . Adus 29/04/2009 .
^ Rotație în hidrodinamică ( PDF ) ^{[ link rupt ]} , pe personalpages.to.infn.it . Adus 29/04/2009 .
^ UCLA SpinLab, Record Player Dynamic Fluid: A Taylor Column Experiment . Adus la 13 ianuarie 2016 .

Bibliografie

( EN ) George Keith Batchelor, Steady flow at small Rossby number , în An introduction to fluid Dynamics , ediția a II-a, Cambridge, Cambridge University Press, 2000 [1967] , p. 635, ISBN 0-521-66396-2 .

Portalul mecanicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de mecanică

[1] Marina Serio, Dinamica vorticității. ( DOC ) ^{[ link rupt ]} , pe personalpages.to.infn.it . Adus 29/04/2009 .

[2] Rotație în hidrodinamică ( PDF ) ^{[ link rupt ]} , pe personalpages.to.infn.it . Adus 29/04/2009 .

[3] UCLA SpinLab, Record Player Dynamic Fluid: A Taylor Column Experiment . Adus la 13 ianuarie 2016 .

[1]

[2]

[3]