Criteriul Tresca

Reprezentarea celor două criterii în planul tensiunilor principale: hexagonul Tresca (în albastru), care corespunde criteriului tangențial, este mai conservator decât elipsa von Mises (indicată cu roșu), care corespunde criteriului de distorsiune.

Criteriul tensiunii tangențiale maxime este un criteriu de rezistență valabil pentru materialele ductile (este deci un criteriu de randament ), dar nu și pentru materialele fragile . A fost propus de inginerul mecanic francez Henri Tresca și, prin urmare, este cunoscut și printre tehnicieni ca criteriu Tresca .

Materialul trebuie să fie, de asemenea, izotrop , trebuie să aibă o rezistență egală la tracțiune și compresiune , iar randamentul său trebuie să fie independent de presiunea hidrostatică. Criteriul tangențial, propus inițial de inginerul mecanic francez Henri Tresca , a fost revizuit și formalizat de Guest și Barré de Saint-Venant .

Criteriul tangențial estimează întotdeauna tensiuni mai mici sau egale cu criteriul distorsiunii maxime . De fapt, în spațiul tridimensional al tensiunilor, suprafața de randament corespunde unei prisme drepte cu o bază hexagonală cu o axă care coincide cu axa presiunilor hidrostatice (adică cu trisectorul octantei pozitive). Această prismă este circumscrisă de cilindrul de bază circular asociat criteriului distorsiunii.

Conform criteriului tangențial, rezistența la randament a materialului este atinsă atunci când solicitarea tangențială atinge o valoare limită.

\tau =\tau _{max}

{\ displaystyle \ tau = \ tau _ {max}}

{\ displaystyle \ tau = \ tau _ {max}}

Cu referire la principalele tensiuni $(\sigma _{I},\sigma _{II},\sigma _{III})$ ${\ displaystyle (\ sigma _ {I}, \ sigma _ {II}, \ sigma _ {III})}$ $(\ sigma_ {I}, \ sigma_ {II}, \ sigma_ {III})$ , desenați pe planul Mohr (y = τ, x = σ) trei cercuri având ca diametru valoarea absolută a diferenței tensiunilor principale, pentru a obține tensiunile tangențiale va fi deci suficient să împărțiți la două

\tau _{\max }=\max \left\{{\frac {|\sigma _{I}-\sigma _{II}|}{2}},{\frac {|\sigma _{I}-\sigma _{III}|}{2}},{\frac {|\sigma _{II}-\sigma _{III}|}{2}}\right\}

{\ displaystyle \ tau _ {\ max} = \ max \ left \ {{\ frac {| \ sigma _ {I} - \ sigma _ {II} |} {2}}, {\ frac {| \ sigma _ {I} - \ sigma _ {III} |} {2}}, {\ frac {| \ sigma _ {II} - \ sigma _ {III} |} {2}} \ right \}}

{\ displaystyle \ tau _ {\ max} = \ max \ left \ {{\ frac {| \ sigma _ {I} - \ sigma _ {II} |} {2}}, {\ frac {| \ sigma _ {I} - \ sigma _ {III} |} {2}}, {\ frac {| \ sigma _ {II} - \ sigma _ {III} |} {2}} \ right \}}

Tensiunea de forfecare (τ) mai mare decât cele trei din paranteze cretate trebuie deci setată mai mică sau egală cu jumătate din efortul normal admisibil (σ) pentru ca criteriul de forfecare maxim să fie valid.

în timp ce în cazul limitativ al tensiunilor uniaxiale ( $|\sigma _{I}|=\sigma _{y}\;,\;\;\sigma _{II}=\sigma _{III}=0\;,\;\;\sigma _{y}$ ${\ displaystyle | \ sigma _ {I} | = \ sigma _ {y} \ ;, \; \; \ sigma _ {II} = \ sigma _ {III} = 0 \ ;, \; \; \ sigma _ {y}}$ ${\ displaystyle | \ sigma _ {I} | = \ sigma _ {y} \ ;, \; \; \ sigma _ {II} = \ sigma _ {III} = 0 \ ;, \; \; \ sigma _ {y}}$ este stresul de randament )

\tau _{\max }={\frac {\sigma _{y}}{2}}\;,

{\ displaystyle \ tau _ {\ max} = {\ frac {\ sigma _ {y}} {2}} \;,}

{\ displaystyle \ tau _ {\ max} = {\ frac {\ sigma _ {y}} {2}} \;,}

condiția de randament a criteriului tangențial este dată de

\tau _{\max }=\max \left\{{\frac {|\sigma _{I}-\sigma _{II}|}{2}},{\frac {|\sigma _{I}-\sigma _{III}|}{2}},{\frac {|\sigma _{II}-\sigma _{III}|}{2}}\right\}={\frac {\sigma _{y}}{2}}

{\ displaystyle \ tau _ {\ max} = \ max \ left \ {{\ frac {| \ sigma _ {I} - \ sigma _ {II} |} {2}}, {\ frac {| \ sigma _ {I} - \ sigma _ {III} |} {2}}, {\ frac {| \ sigma _ {II} - \ sigma _ {III} |} {2}} \ right \} = {\ frac { \ sigma _ {y}} {2}}}

{\ displaystyle \ tau _ {\ max} = \ max \ left \ {{\ frac {| \ sigma _ {I} - \ sigma _ {II} |} {2}}, {\ frac {| \ sigma _ {I} - \ sigma _ {III} |} {2}}, {\ frac {| \ sigma _ {II} - \ sigma _ {III} |} {2}} \ right \} = {\ frac { \ sigma _ {y}} {2}}}

regrababil în termenii următoarei funcții de randament

f({\boldsymbol {\sigma }})=\left((\sigma _{I}-\sigma _{II})^{2}-\sigma _{y}^{2}\right)\,\left((\sigma _{I}-\sigma _{III})^{2}-\sigma _{y}^{2}\right)\,\left((\sigma _{II}-\sigma _{III})^{2}-\sigma _{y}^{2}\right)=0

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = \ left ((\ sigma _ {I} - \ sigma _ {II}) ^ {2} - \ sigma _ {y} ^ {2} \ right ) \, \ left ((\ sigma _ {I} - \ sigma _ {III}) ^ {2} - \ sigma _ {y} ^ {2} \ right) \, \ left ((\ sigma _ {II } - \ sigma _ {III}) ^ {2} - \ sigma _ {y} ^ {2} \ right) = 0}

{\ displaystyle f ({\ boldsymbol {\ sigma}}) = \ left ((\ sigma _ {I} - \ sigma _ {II}) ^ {2} - \ sigma _ {y} ^ {2} \ right ) \, \ left ((\ sigma _ {I} - \ sigma _ {III}) ^ {2} - \ sigma _ {y} ^ {2} \ right) \, \ left ((\ sigma _ {II } - \ sigma _ {III}) ^ {2} - \ sigma _ {y} ^ {2} \ right) = 0}

Intersecția suprafeței de randament asociată cu criteriul Tresca cu planul $\sigma _{III}=0$ ${\ displaystyle \ sigma _ {III} = 0}$ $\ sigma_ {III} = 0$ este un poligon hexagonal

\sigma _{I}-\sigma _{II}=\pm \sigma _{y}\;\;,\;\;\sigma _{I}=\pm \sigma _{y}\;\;,\;\;\sigma _{II}=\pm \sigma _{y}\;\;,\;\;

{\ displaystyle \ sigma _ {I} - \ sigma _ {II} = \ pm \ sigma _ {y} \; \; \; \; \ sigma _ {I} = \ pm \ sigma _ {y} \ ; \ ;, \; \; \ sigma _ {II} = \ pm \ sigma _ {y} \; \ ;, \; \;}

{\ displaystyle \ sigma _ {I} - \ sigma _ {II} = \ pm \ sigma _ {y} \; \; \; \; \ sigma _ {I} = \ pm \ sigma _ {y} \ ; \ ;, \; \; \ sigma _ {II} = \ pm \ sigma _ {y} \; \ ;, \; \;}

Acest poligon este circumscris prin reprezentarea analogă a domeniului elastic asociat cu criteriul von Mises (o elipsă). Rezultă că criteriul Tresca este mai restrictiv. Cu toate acestea, abaterile nu sunt excesive și ambele criterii oferă rezultate care au un acord foarte bun cu rezultatele experimentale. Simplitatea mai mare de reprezentare a domeniului elastic oferit de criteriul von Mises favorizează o utilizare mai mare a acestuia în practică, în special în contextele de analiză de calcul.

Reprezentarea criteriului Tresca în spațiul 3D al tensiunilor principale

Bibliografie

Laura Vergani, Mecanica materialelor , McGraw-Hill, Milano, 2006, ISBN 88-386-6345-9
Leone Corradi Dell'Acqua, Mecanica structurilor , vol. I, McGraw-Hill, Milano, 1992, ISBN 88-386-0665-X