Teorema Kolmogorov-Arnold-Moser
Teorema Kolmogorov-Arnold-Moser (cunoscută și sub numele de teorema KAM ) este un rezultat al teoriei sistemelor dinamice privind existența mișcărilor cvasi-periodice sub „mici perturbații” și își datorează numele celor trei matematicieni care s-au angajat în dezvoltarea sa de-a lungul anilor, în primul rând Andrei Kolmogorov în 1954, care a furnizat prima formulare a problemei căutării orbitelor cvasi-periodice persistente într-un sistem dinamic conservator perturbat. Problema a fost dezvoltată în continuare în 1962 de Jürgen Kurt Moser și în 1963 de Vladimir Arnol'd, care a oferit o formalizare pentru sistemele hamiltoniene .
Teorema este destul de elaborată, iar teoria KAM rezultată este încă în curs de dezvoltare. De obicei, este exprimat în termeni de orbite în spațiul de fază al unui sistem hamiltonien cvasi-integrabil. Mișcarea unui sistem în aceste condiții este limitată într-un tor invariant, definit de variabilele unghi-acțiune de teoria Hamilton-Jacobi ; o simulare a unui astfel de sistem arată că soluția are un comportament cvasi-periodic. Dacă sistemul este supus unei perturbări neliniare slabe (acesta este punctul central al teoremei), unele dintre torurile invariante sunt deformate, iar altele sunt distruse. Criteriul conform căruia se întâmplă acest lucru este o condiție de „cvasi-rezonanță” pe frecvențele mișcărilor ( comensurabilitate ), iar teorema cuantifică condițiile perturbărilor pentru ca acest lucru să se întâmple.
Ceea ce se întâmplă este că acești tauri deformați au puncte (în număr par) în comun cu taurii nedeformați. Acest lucru se datorează faptului că sistemul este conservator. Aceste puncte apar în perechi de puncte fixe eliptice și hiperbolice. În punctele fixe eliptice avem aceeași dinamică ca sistemul principal, adică vor exista în punctele eliptice ale torului rezonant, dând astfel naștere unei structuri fractale. Ceea ce se întâmplă în punctele hiperbolice este că acestea au o structură similară cu cea a unui punct de șa. În aceste puncte există un comportament haotic al sistemului. În aceste puncte avem că punctele de „intrare” în punctul fix, adică varietatea stabilă, sunt un set invariant. Același lucru este valabil și pentru punctele care se îndepărtează de punctul fix (colector instabil). Dacă există o intersecție homoclinică a acestor două soiuri, vor exista infinite. Melnikov [ neclar ] a arătat că pentru o perturbare periodică și hamiltoniană cele două soiuri se întâlnesc cel puțin o dată (și, prin urmare, infinit). Această dovadă este cunoscută sub numele de criteriul Melnikov [ fără sursă ] .
Bibliografie
- AN Kolmogorov, " Cu privire la conservarea condițional periodice moțiunile mică perturbație a Hamiltonianului [О сохранении условнопериодических движений при малом изменении функции Гамильтона ]," Dokl. Akad. Nauk SSR 98 (1954).
- ( EN ) Arnold, Weinstein, Vogtmann. Metode matematice ale mecanicii clasice , ediția a II-a, Anexa 8: Teoria perturbațiilor mișcării periodice condiționate și teorema lui Kolmogorov. Springer 1997.
- ( RO ) C. Eugene Wayne,An Introduction to KAM Theory ( PDF ), în Preprint , ianuarie 2008, p. 29. Accesat la 20 iunie 2012 .
- ( EN ) Jürgen Pöschel, O prelegere despre teorema KAM clasică ( PDF ), în Proceedings of Symposia in Pure Mathematics (AMS) , vol. 69, 2001, pp. 707-732. Adus la 10 iunie 2015 (arhivat din original la 3 martie 2016) .
- ( EN ) Rafael de la Llave (2001)Un tutorial despre teoria KAM .
- ( RO ) H Scott Dumas. Povestea KAM - O introducere prietenoasă la conținutul, istoria și semnificația clasicului Kolmogorov - Teoria Arnold-Moser , 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4556-58-3 . Capitolul 1 Introducere
Elemente conexe
linkuri externe
- ( RO ) Eric W. Weisstein, Teorema Kolmogorov-Arnold-Moser , în MathWorld , Wolfram Research.
- ( EN ) Teoria KAM: moștenirea lucrării lui Kolmogorov din 1954 ( PDF ), su math.rug.nl.
- (EN) Teoria Kolmogorov-Arnold-Moser din scholarpedia
