Integrală funcțională

Integrarea funcțională este un set de rezultate matematice și fizice în care domeniul unei integrale nu mai este o regiune a spațiului, ci un spațiu de funcții . În integralele funcționale apare o probabilitate legată de studiul ecuațiilor diferențiale parțiale și în abordarea Feynman a mecanicii cuantice probabilitatea este legată de particule și câmpuri. În practică, Feynman a formulat următoarele postulate :

Probabilitatea pentru fiecare eveniment este dată de modulul pătrat al unei amplitudini de probabilitate într-un câmp complex.
Amplitudinea probabilității apariției unui eveniment este evaluată prin adăugarea tuturor evoluțiilor posibile ale sistemului în timp.
Contribuția probabilistică a fiecărei posibile evoluții a sistemului este proporțională cu $e^{iS/\hbar }$ ${\ displaystyle e ^ {iS / \ hbar}}$ $e ^ {{iS / \ hbar}}$ , unde este $\hbar$ ${\ displaystyle \ hbar}$ $\ hbar$ este constanta redusă a lui Planck și S este acțiunea legată de acea dinamică particulară, care nu este alta decât integrala în timp a ecuației Lagrangiene .

Pentru a găsi toate amplitudinile de probabilitate posibile pentru un proces dat, este necesar să adăugați sau să integrați amplitudinea postulatului 3 pe spațiul tuturor evoluțiilor posibile ale sistemului în timpul dintre starea inițială și cea finală, inclusiv acele evoluții pe care le consideră absurde după standardele clasice. În calcularea amplitudinii pentru o singură particulă în trecerea de la un punct la altul la un moment dat, ar fi corect să includem evoluții în care particula descrie curbe elaborate, evoluții în care iese în spațiul cosmic și reintră din nou și așa mai departe. Integrala de pe cale le include pe toate. Nu numai asta, le atribuie pe toate, oricât de bizare ar fi, amplitudini de aceeași mărime ; doar faza sau argumentul numărului complex variază.

Procesul de integrare constă în adăugarea valorilor funcției de integrare în fiecare punct al domeniului de integrare. Realizarea acestei proceduri riguroase necesită o procedură de limitare, în care domeniul integrării este împărțit în regiuni din ce în ce mai mici. Pentru orice regiune de integrare mică, valoarea funcției integrand "nu poate varia foarte mult", astfel încât valorile funcției pot fi înlocuite cu o singură valoare. Într-o integrală funcțională, domeniul integrării este un spațiu de funcții.

Integrarea funcțională a fost dezvoltată de PJ Daniell într-o lucrare din 1919 ^[1] și de Wiener într-o serie de studii care au dus la publicarea în 1921 a mișcării browniene . Feynman a dezvoltat o altă integrală funcțională, integrale de cale , utile pentru calcularea proprietăților cuantice ale sistemelor.

Integrarea funcțională este fundamentală pentru tehnicile de cuantificare din fizica teoretică .

Integrala pe cărări

Integrala pe căi reprezintă o formulare a mecanicii cuantice care descrie teoria cuantică prin generalizarea principiului acțiunii mecanicii clasice . Înlocuiește noțiunea clasică a unei istorii unice și unice a unui sistem dat cu o sumă sau integrală funcțională, extinsă la o infinitate de istorii posibile, legate de modalități infinite de a ajunge la aceeași configurație cuantică, pentru calcularea amplitudinii probabilității. .

Integrala de cale a fost dezvoltată de Richard Feynman în 1948 . Unele concepte preliminare au apărut cu ani mai devreme, în cursul tezei sale de doctorat elaborate împreună cu profesorul John Archibald Wheeler .

Această formulare s-a dovedit crucială pentru dezvoltarea ulterioară a fizicii teoretice , oferind baza pentru elaborarea grupului de renormalizare care a unificat teoria câmpului cuantic cu mecanica statistică . Realizând faptul că ecuația Schrödinger este în esență o ecuație de difuzie cu o constantă de difuzie imaginară, integralul de cale este o metodă pentru enumerarea căilor aleatorii. Din acest motiv, integralele de cale au fost, de asemenea, utilizate în studiul mișcării și difuziei browniene , înainte de introducerea lor în mecanica cuantică.

\int _{-\infty }^{+\infty }\ldots \int _{-\infty }^{+\infty }\ \mathrm {e} ^{{\frac {i}{\hbar }}\int H(x_{1},\dots ,x_{n-1},t)\,\mathrm {d} t}\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{n-1}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ ldots \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ \ mathrm {e} ^ {{\ frac {i} {\ hbar }} \ int H (x_ {1}, \ dots, x_ {n-1}, t) \, \ mathrm {d} t} \, \ mathrm {d} x_ {1} \ cdots \ mathrm {d} x_ {n-1}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ ldots \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ \ mathrm {e} ^ {{\ frac {i} {\ hbar }} \ int H (x_ {1}, \ dots, x_ {n-1}, t) \, \ mathrm {d} t} \, \ mathrm {d} x_ {1} \ cdots \ mathrm {d} x_ {n-1}}

unde este $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ este întreaga poveste în care zigzagurile particulei de la poziția sa inițială la cea finală sunt liniare între toate valorile

x_{j}=x(j\Delta t).

{\ displaystyle x_ {j} = x (j \ Delta t).}

x_ {j} = x (j \ Delta t).

În limita $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ care tinde spre infinit, aceasta devine o integrală funcțională. Această limită, însă, nu există pentru cele mai importante sisteme mecanice cuantice, atomii, datorită singularității potențialului Coulomb $e/r$ ${\ displaystyle e / r}$ ${\ displaystyle e / r}$ în origine. Problema a fost rezolvată în 1979 de H. Duru și Hagen Kleinert ^[2] ^[3] prin alegere $\Delta t$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ $\ Delta t$ proporțional cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și trecerea la noi coordonate a căror lungime pătrată este egală cu $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ( Transformări Duru-Kleinert ).

Notă

^ PJ Daniell, Integrale într-un număr infinit de dimensiuni , în Analele matematicii , seria a doua, vol. 20, nr. 4, 1919-07, pp. 281–288, ISSN 0003486X ( WC ACNP ) . Adus la 13 martie 2010 .
^ Vezi aici
^ Vezi aici

Bibliografie

Feynman, RP și Hibbs, AR, Fizica cuantică și integrarea căilor , New York: McGraw-Hill, 1965 ISBN 0-07-020650-3 . Referința istorică, scrisă de Richard Feynman însuși și unul dintre studenții săi.
Hagen Kleinert , Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets , ediția a IV-a, World Scientific (Singapore, 2004); Paperback ISBN 981-238-107-4 (disponibil și online: fișiere PDF )
Zinn Justin, Jean; Integrale de cale în mecanica cuantică , Oxford University Press (2004), ISBN 0-19-856674-3 . O introducere foarte lizibilă a subiectului.
Schulman, Larry S .; Tehnici și aplicații de integrare a căilor , John Wiley & Sons (New York-1981) ISBN. Referința modernă pe această temă.
Grosche, Christian & Steiner, Frank; Handbook of Feynman Path Integrals , Springer Tracts in Modern Physics 145, Springer-Verlag (1998) ISBN 3-540-57135-3
Ryder, Lewis H .; The Quantum Field Theory (Cambridge University Press, 1985), ISBN 0-521-33859-X Manual foarte lizibil, cu siguranță cea mai bună introducere în QFT relativist pentru fizica particulelor.
Rivers, RJ; Metode de integrare a căilor în teoria câmpului cuantic , Cambridge University Press (1987) ISBN 0-521-25979-7
Albeverio, S. și Hoegh-Krohn. R .; The Mathematical Theory of Feynman Path Integral , Lecture Notes in Mathematics 523, Springer-Verlag (1976) ISBN.
Glimm, James și Jaffe, Arthur, Quantum Physics: A Functional Integral Point of View , New York: Springer-Verlag, 1981. ISBN 0-387-90562-6 .
Gerald W. Johnson și Michel L. Lapidus; The Feynman Integral și Feynman's Operational Calculus , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press (2002) ISBN 0-19-851572-3 .
Etingof, Pavel; Geometry and Quantum Field Theory Arhivat 13 aprilie 2010 la Internet Archive ., MIT OpenCourseWare (2002).

Elemente conexe

Portalul de fizică

Portalul de matematică

[1] PJ Daniell, Integrale într-un număr infinit de dimensiuni , în Analele matematicii , seria a doua, vol. 20, nr. 4, 1919-07, pp. 281–288, ISSN 0003486X ( WC ACNP ) . Adus la 13 martie 2010 .

[2] Vezi aici

[3] Vezi aici

[1]

[2]

[3]

V · D · M Teoria câmpului cuantic
Diagrama Feynman · Istoria teoriei câmpului cuantic
Premise	Teoria gabaritului · Teoria câmpului · Simetria Poincaré · Mecanica cuantică · spontană de simetrie de rupere · Casimir Efect
Simetria în fizică	Încrucișare · Conjugare de încărcare · Paritate · Simetrie de timp
Instrumente	Anomalie · Teorie eficientă a câmpului · valoare așteptării · Fantomă Faddeev-Popov · Diagramă Feynman · Formula de reducere LSZ · Funcție de partiție · propagator · cuantizare · renormalizare · Regularizare · Vid cuantic · Teorema lui Wick · Axiome ale lui Wightman
Ecuații	Ecuația Dirac · Ecuația Klein-Gordon · Ecuația Proca · Ecuația Wheeler-DeWitt
Model standard	Interacțiune electro-slabă · Mecanism Higgs · Cromodinamică cuantică · Electrodinamică cuantică · Teoria Yang-Mills
Teorii incomplete	Gravitația cuantică · Teoria corzilor · Supersimetrie · Tehnicolor · Teoria tuturor
Oamenii de știință	Bethe · Bogoljubov · Callan · Coleman · DeWitt · Dirac · Dyson · Fermi · Feynman · Fierz · Fröhlich · Gell-Mann · Goldstone · Gross · Haag · 't Hooft · Jackiw · Klein · Landau · Lee · Lehmann · Majorana · Nambu · Parisi · Poliakov · Salam · Schwinger · Skyrme · Stueckelberg · Symanzik · Tomonaga · Veltman · Weinberg · Weisskopf · Wightman · Wilson · Witten · Yang · Yukawa · Wilczek · Zimmermann