Puncte antipodale (matematică)

Punctele antipodale pe o sferă generalizează conceptul geografic al punctelor antipodale de pe Pământ și la sfere de dimensiuni arbitrare .

Definiție

O sferă de dimensiune $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este descris de ecuație

x_{1}^{2}+\ldots +x_{n+1}^{2}=1

{\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x_ {n + 1} ^ {2} = 1}

x_ {1} ^ {2} + \ ldots + x _ {{n + 1}} ^ {2} = 1

în spațiul euclidian $(n+1)$ ${\ displaystyle (n + 1)}$ $(n + 1)$ -dimensional $\mathbb {R} ^{n+1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n + 1}}$ $\ mathbb {R} ^ {{n + 1}}$ .

Punctul antipodal într-un punct $(x_{1},\ldots ,x_{n+1})$ ${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n + 1})}$ $(x_ {1}, \ ldots, x _ {{n + 1}})$ este punctul $(-x_{1},\ldots ,-x_{n+1})$ ${\ displaystyle (-x_ {1}, \ ldots, -x_ {n + 1})}$ $(-x_ {1}, \ ldots, -x _ {{n + 1}})$ : toate semnele schimbă coordonatele.

Spațiu cotient

Spațiul coeficient în raport cu relația de echivalență a antipodalității este spațiul proiectiv real , obiectul fundamental al geometriei proiective .

Harta antipodală

Funcția care asociază fiecare punct al unei sfere cu antipodul său se numește hartă antipodală.

Harta antipodală păstrează orientarea sferei dacă și numai dacă $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ e ciudat . De fapt, funcția este restricția funcției liniare

f:\mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}

{\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + 1} \ to \ mathbb {R} ^ {n + 1}}

f: \ mathbb {R} ^ {{n + 1}} \ to \ mathbb {R} ^ {{n + 1}}

f:x\mapsto -x

{\ displaystyle f: x \ mapsto -x}

f: x \ mapsto -x

asociat cu matricea $-I$ ${\ displaystyle -I}$ $-LA$ opus matricei identitare $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . Determinantul acestei matrici este $(-1)^{n+1}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n + 1}}$ $(-1) ^ {{n + 1}}$ , iar semnul său este de fapt pozitiv doar pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ fotografii.

Din acest motiv, spațiul proiectiv este orientabil numai pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ fotografii.

Teorema lui Borsuk-Ulam

Același subiect în detaliu: teorema lui Borsuk-Ulam .

Teorema Borsuk-Ulam este un rezultat al topologiei privind punctele antipodale în dimensiune arbitrară: afirmă că fiecare funcție continuă dintr-o sferă într-un spațiu euclidian de aceeași dimensiune trimite două puncte antipodale în același punct (în special, nu poate fi injectivă ).

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică