Perioada (teoria numerelor)

În matematică , o perioadă este un tip de număr care poate fi exprimat prin integralul unei funcții algebrice pe un domeniu algebric, adică un set numeric definit printr-o ecuație sau o inegalitate. Această noțiune a fost introdusă oficial de Maxim Kontsevich și Don Zagier în 2001 ^[1] , preluând un discurs susținut de Kontsevich în 1999 pentru Journée Annuelle a Société mathématique de France .

Definiție

Potrivit lui Kontsevich „o perioadă este un număr complex ale cărui părți reale și imaginare sunt valorile integrale absolut convergente ale funcțiilor raționale cu coeficienți raționali pe domenii în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ , definit prin inegalități polinomiale cu coeficienți raționali " ^[2] .

Este destul de echivalent cu înlocuirea numerelor algebrice cu numerele raționale din definiția de mai sus.

Practic o perioadă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ vine sub forma:

p=\int \limits _{\Delta }{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{g(x_{1},\ldots ,x_{n})}}\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n},

{\ displaystyle p = \ int \ limits _ {\ Delta} {\ frac {f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) }} \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n},}

{\ displaystyle p = \ int \ limits _ {\ Delta} {\ frac {f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})} {g (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) }} \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n},}

unde este $\Delta \subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Delta \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ Și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ Și $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ sunt polinoame cu coeficienți în $\mathbb {Q} .$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}.}$

Numele se referă la faptul că cazuri notabile ale acestor numere sunt $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ și multiplii săi, care sunt, de fapt, perioadele funcțiilor periodice fundamentale, cum ar fi de exemplu $\sin(x)$ ${\ displaystyle \ sin (x)}$ $\ sin (x)$ , $\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ Și $e^{ix}$ ${\ displaystyle e ^ {ix}}$ $și ^ {{ix}}$ , sau perioade de funcții eliptice .

Setul tuturor perioadelor este indicat cu simbolul $\mathbb {P}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ mathbb {P}}$ .

Exemple

Toate numerele algebrice , cum ar fi

{\sqrt {2}}=\int _{2x^{2}\leq 1}\mathrm {d} x,\qquad

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ int _ {2x ^ {2} \ leq 1} \ mathrm {d} x, \ qquad}

{\ displaystyle {\ sqrt {2}} = \ int _ {2x ^ {2} \ leq 1} \ mathrm {d} x, \ qquad}

sau

\qquad {\sqrt {2}}=\int _{-1/{\sqrt {2}}}^{1/{\sqrt {2}}}\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ qquad {\ sqrt {2}} = \ int _ {- 1 / {\ sqrt {2}}} ^ {1 / {\ sqrt {2}}} \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ qquad {\ sqrt {2}} = \ int _ {- 1 / {\ sqrt {2}}} ^ {1 / {\ sqrt {2}}} \ mathrm {d} x}

.

În practică, setând integralul egal cu constanta 1, este întotdeauna posibil să construim valoarea finală pe baza domeniului.

Numerele transcendente precum $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ sunt o perioadă, deoarece pot fi scrise ca

\pi =\int _{x^{2}+y^{2}\leq 1}\mathrm {d} x\mathrm {d} y,

{\ displaystyle \ pi = \ int _ {x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y,}

{\ displaystyle \ pi = \ int _ {x ^ {2} + y ^ {2} \ leq 1} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y,}

2\pi =\int _{x^{2}+y^{2}=1}\mathrm {d} x\mathrm {d} y,

{\ displaystyle 2 \ pi = \ int _ {x ^ {2} + y ^ {2} = 1} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y,}

{\ displaystyle 2 \ pi = \ int _ {x ^ {2} + y ^ {2} = 1} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y,}

2\pi i=\oint {\frac {dz}{z}},

{\ displaystyle 2 \ pi i = \ oint {\ frac {dz} {z}},}

{\ displaystyle 2 \ pi i = \ oint {\ frac {dz} {z}},}

în planul complex din jurul punctului

z=0.

{\ displaystyle z = 0.}

{\ displaystyle z = 0.}

Logaritmii numerelor algebrice, cum ar fi:

\ln 2=\int _{1<x<2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}},\qquad

{\ displaystyle \ ln 2 = \ int _ {1 <x <2} {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}, \ qquad}

{\ displaystyle \ ln 2 = \ int _ {1 <x <2} {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}, \ qquad}

sau

\qquad \ln 2=\int _{1}^{2}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}.

{\ displaystyle \ qquad \ ln 2 = \ int _ {1} ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}.}

{\ displaystyle \ qquad \ ln 2 = \ int _ {1} ^ {2} {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}}.}

Integrale eliptice, cum ar fi perioadele funcțiilor eliptice Weierstrass ale parametrilor algebrici g ₂ , g ₃ :

\omega _{i}=\int _{e_{i}}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {4t^{3}-g_{2}t-g_{3}}}},\quad i=1,2.

{\ displaystyle \ omega _ {i} = \ int _ {e_ {i}} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {4t ^ {3} -g_ {2} t -g_ {3}}}}, \ quad i = 1,2.}

{\ displaystyle \ omega _ {i} = \ int _ {e_ {i}} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ sqrt {4t ^ {3} -g_ {2} t -g_ {3}}}}, \ quad i = 1,2.}

Valorile întregi ale funcției zeta Riemann , cum ar fi

\zeta (3)=\iiint \limits _{0<x<y<z<1}{\frac {\mathrm {d} xdydz}{(1-x)yz}}.

{\ displaystyle \ zeta (3) = \ iiint \ limits _ {0 <x <y <z <1} {\ frac {\ mathrm {d} xdydz} {(1-x) yz}}.}

{\ displaystyle \ zeta (3) = \ iiint \ limits _ {0 <x <y <z <1} {\ frac {\ mathrm {d} xdydz} {(1-x) yz}}.}

Funcția gamma $\Gamma (p/q)^{q}$ ${\ displaystyle \ Gamma (p / q) ^ {q}}$ ${\ displaystyle \ Gamma (p / q) ^ {q}}$ pentru numerele naturale p și q , cum ar fi

\Gamma (1/3)^{3}=2^{4/3}3^{1/2}\pi \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{3}}}}.

{\ displaystyle \ Gamma (1/3) ^ {3} = 2 ^ {4/3} 3 ^ {1/2} \ pi \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ sqrt {1-x ^ {3}}}}.}

{\ displaystyle \ Gamma (1/3) ^ {3} = 2 ^ {4/3} 3 ^ {1/2} \ pi \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ sqrt {1-x ^ {3}}}}.}

Integralele matricei S în mecanica cuantică sunt perioade ^[3] .

Caracteristici

Suma și produsul a două perioade este, de asemenea, o perioadă, deci perioadele formează un inel ^[4] .

Includere

Diferitele tipuri de numere sunt construite prin extensii succesive, pornind de la numere naturale $\mathbb {N}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$ $\ N$ până la complexe $\mathbb {C}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ , obținând secvența clasică

\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .

{\ displaystyle \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C}.}

{\ displaystyle \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} \ subset \ mathbb {Q} \ subset \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C}.}

Este posibil să se rafineze secvența prin introducerea numerelor algebrice ${\overline {\mathbb {Q} }}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$ , care sunt toate numere reale și complexe, deci nu transcendente

{\begin{array}{lcl}\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} &\subset &\mathbb {Q} \subset {\overline {\mathbb {Q} }}\\&&\cap \quad \ \ \cap \\&&\mathbb {R} \subset \mathbb {C} \end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} & \ subset & \ mathbb {Q} \ subset {\ overline {\ mathbb {Q}}} \\ && \ cap \ quad \ \ \ cap \\ && \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {lcl} \ mathbb {N} \ subset \ mathbb {Z} & \ subset & \ mathbb {Q} \ subset {\ overline {\ mathbb {Q}}} \\ && \ cap \ quad \ \ \ cap \\ && \ mathbb {R} \ subset \ mathbb {C} \ end {array}}}

Toate tipurile de numere până la algebric (primul rând) sunt numărabile , în timp ce cele din al doilea, care include transcendenții, nu sunt.

Perioadele, pe de altă parte, sunt numărabile, chiar dacă includ unele transcendente, cum ar fi $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ^[5] și, prin urmare, sunt incluse în complexe.

Dacă este ușor să poți reprezenta complexe, chiar și transcendente, ca perioade, este dificil să găsești numere care cu siguranță nu sunt puncte. Napier e constanta , este un număr transcendent , care nu poate fi o perioadă.

În 2008, Masahiko Yoshinaga ^{[6] a} descoperit cum se produce un real calculabil care nu este o perioadă.

Notă

^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Perioade (PDF), 2001.
^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Perioade (PDF), 2001, p. 3.
^ Goncharov et. al, Polilogaritmi clasici pentru amplitudini și bucle Wilson , în Physical Review Letters , vol. 105, articolul nr. 151605, 7 octombrie 2010.
^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Perioade (PDF), 2001, p. 6.
„Perioadele formează o algebră, deci obținem noi perioade luând sume și produse din cele cunoscute” .
^ (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Perioade (PDF), 2001, p. 2.
^ Masahiko Yoshinaga, Perioade și numere reale elementare , 2008.

Bibliografie

Maxim Kontsevich și Don Zagier, Perioade, 2001 ( PDF ), pe ihes.fr.
Michel Waldschmidt, Périodes d'après M. Kontsevich et D. Zagier, 2004 ( PDF ), pe webusers.imj-prg.fr .
Perioade și integrale Feynman, 2007 , pe arxiv.org .
Perioada , pe planetmath.org .
Stefan Müller-Stach, Ce este o perioadă? ( PDF ), la www2.mathematik.hu-berlin.de .
Matthew von Hippel, Codul particulelor, Științele n. 607, martie 2019

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Perioade (PDF), 2001.

[2] (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Perioade (PDF), 2001, p. 3.

[3] Goncharov et. al, Polilogaritmi clasici pentru amplitudini și bucle Wilson , în Physical Review Letters , vol. 105, articolul nr. 151605, 7 octombrie 2010.

[4] (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Perioade (PDF), 2001, p. 6.
„Perioadele formează o algebră, deci obținem noi perioade luând sume și produse din cele cunoscute” .

[5] (EN) Maxim Kontsevich, Don Zagier, Perioade (PDF), 2001, p. 2.

[6] Masahiko Yoshinaga, Perioade și numere reale elementare , 2008.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6] a