Funcția L

În teoria analitică a numerelor , cu funcțiile L denotăm unele tipuri particulare de funcții speciale definite pe numere complexe care generalizează funcția zeta Riemann , codificând informații aritmetice și geometrice . Pe lângă funcția zeta Riemann în sine, alte clase importante de funcții L sunt funcțiile Dirichlet L și funcțiile L Hecke .

Seria L

Nu există o definiție axiomatică univocă care să indice ce sunt funcțiile L și, de obicei, procedăm „de jos” indicând faptul că unele familii de funcții sunt funcții L. În general, o funcție L este definită începând cu seria L, o serie specială Dirichlet

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}

definit pe semiplanul complex Re ( s )> σ 'pentru un număr real σ'. Această serie este apoi extinsă analitic la o funcție meromorfă pe planul complex , definind funcția L efectivă. De exemplu, ele prelungesc funcția L obținută luând un _n = χ ( n ), unde χ este un caracter Dirichlet , obținem funcția Dirichlet L asociată cu caracterul χ.

Clasa Selberg

O posibilă definiție a funcțiilor L a fost propusă de Atle Selberg , care a introdus clasa Selberg . Funcțiile aparținând acestei clase S sunt seria Dirichlet

F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}

{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}

F (s) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}

care satisfac următoarele 4 axiome:

Extensie analitică : există un număr natural m astfel încât $(s-1)^{m}F(s)$ ${\ displaystyle (s-1) ^ {m} F (s)}$ $(s-1) ^ {m} F (s)$ este o funcție întreagă .

Conjectura lui Ramanujan : coeficienții cresc mai puțin decât fiecare putere, adică

a_{n}<n^{\epsilon }

{\ displaystyle a_ {n} <n ^ {\ epsilon}}

a_ {n} <n ^ {{\ epsilon}}

pentru fiecare ε> 0.

Ecuația funcțională : există o funcție a formei

\gamma (s)=\epsilon \,Q^{s}\prod _{i=1}^{d}\Gamma (\lambda _{i}s+\mu _{i}),

{\ displaystyle \ gamma (s) = \ epsilon \, Q ^ {s} \ prod _ {i = 1} ^ {d} \ Gamma (\ lambda _ {i} s + \ mu _ {i}),}

\ gamma (s) = \ epsilon \, Q ^ {s} \ prod _ {{i = 1}} ^ {d} \ Gamma (\ lambda _ {i} s + \ mu _ {i}),

unde Γ este funcția gamma , ϵ este un număr complex de modulo 1, d este un număr întreg pozitiv, nivelul Q și λ _j sunt numere reale pozitive, iar μ _j sunt numere complexe cu parte reală negativă, astfel încât funcția

\Phi (s)=\gamma (s)F(s)

{\ displaystyle \ Phi (s) = \ gamma (s) F (s)}

\ Phi (s) = \ gamma (s) F (s)

îți îndeplinești relația,

\Phi (s)={\overline {\Phi (1-{\overline {s}})}}.

{\ displaystyle \ Phi (s) = {\ overline {\ Phi (1 - {\ overline {s}})}}.}

\ Phi (s) = \ overline {\ Phi (1- \ overline {s})}.

Produsul lui Euler : a ₁ = 1 și, pentru Re (s) > 1

\log F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}n^{-s}

{\ displaystyle \ log F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n} n ^ {- s}}

\ log F (s) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} b_ {n} n ^ {{- s}}

,

unde b _n = 0 cu excepția cazului în care n este o putere a unui prim. În plus, | b _n | < c n ^θ pentru unele θ <1/2 și c > 0.

Bibliografie

Jürgen Neukirch (1999): Teoria numerelor algebrice , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 322, Berlin: Springer-Verlag, MR1697859, ISBN 978-3-540-65399-8
Atle Selberg , Conjecturi și rezultate vechi și noi despre o clasă a seriei Dirichlet , în Proceedings of the Amalfi Conference on Analytic Number Theory (Maiori, 1989) , Univ. Salerno, 1992, pp. 367–385, MR 1220477 . Reeditat în Collected Papers, vol. 2 , Springer-Verlag, Berlin (1991)

Elemente conexe

Ipoteza Riemann generalizată

linkuri externe

( EN ) Proiect privind funcțiile L.
( EN ) Zâmbete ale unei noi lumi (matematice) - o descoperire a unei funcții transcendentale de gradul III, descoperită, Physorg.com , 13 martie 2008
( EN ) Creeping Up on Riemann , Science News, 2 aprilie 2008
( RO ) Vânătoarea funcției L evazive , pe physorg.com .
(RO) Eric W. Weisstein, Programul Langland , în MathWorld Wolfram Research.