Decalaj de masă

În teoria câmpului cuantic , decalajul de masă este diferența de energie dintre cel mai scăzut nivel de energie (vidul) și primul nivel de energie cel mai ridicat. Energia vidului este zero prin definiție și, presupunând că toate nivelurile de energie pot fi considerate particule din undele plane, decalajul de masă este masa celei mai ușoare particule.

Deoarece energiile propriilor stări proprii de energie (non-perturbative) sunt împrăștiate și, prin urmare, nu sunt stări proprii tehnice, o definiție mai precisă este că decalajul de masă este cea mai mare limită inferioară a energiei din orice stare care este ortogonală cu vidul.

Analogul unui decalaj de masă în fizica multicorpului pe o rețea discretă apare dintr-un decalaj hamiltonian.

Definiții matematice

Pentru un anumit câmp cuantic cu valoare reală $\phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ , unde este $x=({\boldsymbol {x}},t)$ ${\ displaystyle x = ({\ boldsymbol {x}}, t)}$ ${\ displaystyle x = ({\ boldsymbol {x}}, t)}$ , se poate spune că teoria are un decalaj de masă dacă funcția în două puncte are proprietatea

\langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)

{\ displaystyle \ langle \ phi (0, t) \ phi (0,0) \ rangle \ sim \ sum _ {n} A_ {n} \ exp \ left (- \ Delta _ {n} t \ right)}

{\ displaystyle \ langle \ phi (0, t) \ phi (0,0) \ rangle \ sim \ sum _ {n} A_ {n} \ exp \ left (- \ Delta _ {n} t \ right)}

unde este $\Delta _{0}>0$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0}> 0}$ ${\ displaystyle \ Delta _ {0}> 0}$ este valoarea energetică minimă din spectrul hamiltonian și deci decalajul de masă. Această cantitate, care este ușor de generalizat la alte câmpuri, este de obicei măsurată în calcule de rețea. În acest fel s-a demonstrat că teoria Yang-Mills dezvoltă un decalaj de masă în rețea. ^[1] ^[2] Valoarea corespunzătoare ordonată temporal, propagatorul , va avea proprietatea

\lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {costante}

{\ displaystyle \ lim _ {p \ rightarrow 0} \ Delta (p) = \ mathrm {constant}}

{\ displaystyle \ lim _ {p \ rightarrow 0} \ Delta (p) = \ mathrm {constant}}

cu finitul constant. Un exemplu tipic este dat de o particulă masivă liberă și, în acest caz, constanta are valoarea 1 / m ² . În aceeași limită, propagatorul pentru o particulă fără masă are o singularitate.

Exemple din teoriile clasice

Un exemplu de decalaj de masă provenit din teorii fără masă, deja la nivel clasic, poate fi găsit în spargerea spontană a simetriei sau în mecanismul Higgs . În primul caz, este necesar să ne ocupăm de apariția excitațiilor fără masă, bosonii Goldstone , care sunt îndepărtați în al doilea caz datorită libertății ecartamentului. Cuantificarea păstrează această libertate de măsurare.

O teorie quartică a câmpului scalar fără masă dezvoltă un decalaj de masă deja la nivel clasic. Luați în considerare ecuația

\Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.

{\ displaystyle \ Box \ phi + \ lambda \ phi ^ {3} = 0.}

{\ displaystyle \ Box \ phi + \ lambda \ phi ^ {3} = 0.}

Această ecuație are o soluție exactă

\phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)

{\ displaystyle \ phi (x) = \ mu \ left ({\ frac {2} {\ lambda}} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} {\ rm {sn}} \ left (p \ cdot x + \ theta, -1 \ dreapta)}

{\ displaystyle \ phi (x) = \ mu \ left ({\ frac {2} {\ lambda}} \ right) ^ {\ frac {1} {4}} {\ rm {sn}} \ left (p \ cdot x + \ theta, -1 \ dreapta)}

unde este $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ Și $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ sunt constante de integrare și sn este o funcție eliptică Jacobi . Condiția pentru a avea această soluție este

p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.

{\ displaystyle p ^ {2} = \ mu ^ {2} {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {2}}}.}

{\ displaystyle p ^ {2} = \ mu ^ {2} {\ sqrt {\ frac {\ lambda} {2}}}.}

La nivel clasic, apare un decalaj de masă în timp ce, la nivelul cuantic, există un „turn al excitațiilor” și această proprietate a teoriei este păstrată după cuantificare în limită pentru momentele care tind spre zero. ^[3]

Teoria Yang - Mills

În timp ce calculele de rețea sugerează că teoria Yang-Mills are un decalaj de masă și un turn de excitații, lipsește încă o dovadă teoretică. Aceasta este una dintre problemele Millennium ale Institutului Clay și rămâne o problemă deschisă. Astfel de stări pentru teoria Yang-Mills ar fi trebuit să fie stări fizice, numite glueballs și ar trebui să fie observabile în laborator.

Reprezentarea lui Källén - Lehmann

Dacă se menține reprezentarea spectrală Källén-Lehmann , teoriile ecartamentului sunt excluse la acest nivel, funcția densității spectrale poate lua o formă foarte simplă cu un spectru discret începând cu un decalaj de masă

\rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})

{\ displaystyle \ rho (\ mu ^ {2}) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} Z_ {n} \ delta (\ mu ^ {2} -m_ {n} ^ {2}) + \ rho _ {c} (\ mu ^ {2})}

{\ displaystyle \ rho (\ mu ^ {2}) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} Z_ {n} \ delta (\ mu ^ {2} -m_ {n} ^ {2}) + \ rho _ {c} (\ mu ^ {2})}

unde este $\rho _{c}(\mu ^{2})$ ${\ displaystyle \ rho _ {c} (\ mu ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ rho _ {c} (\ mu ^ {2})}$ este contribuția părții la multe particule ale spectrului. În acest caz, propagatorul va lua următoarea formă:

\Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}

{\ displaystyle \ Delta (p) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {Z_ {n}} {p ^ {2} -m_ {n} ^ {2} + i \ epsilon} } + \ int _ {4m_ {N} ^ {2}} ^ {\ infty} d \ mu ^ {2} \ rho _ {c} (\ mu ^ {2}) {\ frac {1} {p ^ {2} - \ mu ^ {2} + i \ epsilon}}}

{\ displaystyle \ Delta (p) = \ sum _ {n = 1} ^ {N} {\ frac {Z_ {n}} {p ^ {2} -m_ {n} ^ {2} + i \ epsilon} } + \ int _ {4m_ {N} ^ {2}} ^ {\ infty} d \ mu ^ {2} \ rho _ {c} (\ mu ^ {2}) {\ frac {1} {p ^ {2} - \ mu ^ {2} + i \ epsilon}}}

unde este $4m_{N}^{2}$ ${\ displaystyle 4m_ {N} ^ {2}}$ ${\ displaystyle 4m_ {N} ^ {2}}$ este aproximativ punctul de plecare al sectorului multi-particule. Acum, folosind faptul că

\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ mu ^ {2} \ rho (\ mu ^ {2}) = 1}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ mu ^ {2} \ rho (\ mu ^ {2}) = 1}

concluzionăm că pentru constantele din densitatea spectrală

1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})

{\ displaystyle 1 = \ sum _ {n = 1} ^ {N} Z_ {n} + \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ mu ^ {2} \ rho _ {c} (\ mu ^ {2})}

{\ displaystyle 1 = \ sum _ {n = 1} ^ {N} Z_ {n} + \ int _ {0} ^ {\ infty} d \ mu ^ {2} \ rho _ {c} (\ mu ^ {2})}

.

Acest lucru s-ar putea să nu fie adevărat într-o teorie a ecartamentului . Mai degrabă, trebuie arătat că o reprezentare Källén-Lehmann pentru propagator este valabilă și în acest caz. Absența contribuțiilor la multe particule implică faptul că teoria este banală , deoarece nu prevede stări legate și, prin urmare, nu există interacțiune, chiar dacă teoria are un decalaj de masă. În acest caz, propagatorul se obține imediat prin setare $\rho _{c}(\mu ^{2})=0$ ${\ displaystyle \ rho _ {c} (\ mu ^ {2}) = 0}$ ${\ displaystyle \ rho _ {c} (\ mu ^ {2}) = 0}$ în formulele de mai sus.