Metoda volumului finit

Metoda numerică a volumelor finite este o metodă utilă în integrarea ecuațiilor diferențiale parțiale . Aceste ecuații trebuie integrate într-un volum pe ale cărui limite sunt impuse condițiile limită .

Interiorul acestui domeniu este apoi împărțit în multe volume elementare, apoi prin forma integrală a ecuațiilor problemei luate în considerare, relațiile dintre diferitele volume învecinate sunt scrise astfel încât să poată fi rezolvate numeric cu ajutorul computerului. Aproximarea constă în faptul că aceste volume au o dimensiune finită și nu infinitesimală.

Exemplu unidimensional (1D)

Să luăm în considerare problema definită de următoarea ecuație diferențială parțială :

\quad (1)\qquad \qquad {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}=0,\quad t\geq 0.

{\ displaystyle \ quad (1) \ qquad \ qquad {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = 0, \ quad t \ geq 0.}

{\ displaystyle \ quad (1) \ qquad \ qquad {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = 0, \ quad t \ geq 0.}

in care $\rho =\rho \left(x,t\right)\$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho \ left (x, t \ right) \}$ ${\ displaystyle \ rho = \ rho \ left (x, t \ right) \}$ reprezintă variabila de stare și $f=f\left(\rho \left(x,t\right)\right)\$ ${\ displaystyle f = f \ left (\ rho \ left (x, t \ right) \ right) \}$ ${\ displaystyle f = f \ left (\ rho \ left (x, t \ right) \ right) \}$ reprezintă fluxul de $\rho \$ ${\ displaystyle \ rho \}$ ${\ displaystyle \ rho \}$ . Mai exact, presupunem $f\$ ${\ displaystyle f \}$ ${\ displaystyle f \}$ pozitiv sau negativ în funcție de direcția de curgere. Dacă luăm în considerare ecuația (1) referitoare la fluxul de materie printr-o suprafață de zonă constantă, putem împărți întregul domeniu spațial $x\$ ${\ displaystyle x \}$ ${\ displaystyle x \}$ într-un număr de volume sau celule finite , identificându-se cu indexul $i\$ ${\ displaystyle i \}$ ${\ displaystyle i \}$ centrul fiecărei celule. Pentru o anumită celulă $i\$ ${\ displaystyle i \}$ ${\ displaystyle i \}$ putem defini volumul mediu al ${\rho }_{i}\left(t\right)=\rho \left(x,t\right)\$ ${\ displaystyle {\ rho} _ {i} \ left (t \ right) = \ rho \ left (x, t \ right) \}$ ${\ displaystyle {\ rho} _ {i} \ left (t \ right) = \ rho \ left (x, t \ right) \}$ la momentul ${t=t_{1}}\$ ${\ displaystyle {t = t_ {1}} \}$ ${\ displaystyle {t = t_ {1}} \}$ Și ${x\in \left[x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}\right]}\$ ${\ displaystyle {x \ in \ left [x_ {i - {\ frac {1} {2}}}, x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \ right]} \}$ ${\ displaystyle {x \ in \ left [x_ {i - {\ frac {1} {2}}}, x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \ right]} \}$ , ca:

\quad (2)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{1}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx,

{\ displaystyle \ quad (2) \ qquad \ qquad {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {1} \ right) = {\ frac {1} {x_ {i + {\ frac { 1} {2}}} - x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}} int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}}}} \ rho \ left (x, t_ {1} \ right) \, dx,}

{\ displaystyle \ quad (2) \ qquad \ qquad {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {1} \ right) = {\ frac {1} {x_ {i + {\ frac { 1} {2}}} - x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}} int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}}}} \ rho \ left (x, t_ {1} \ right) \, dx,}

și volumul mediu raportat la timp ${t=t_{2}}\$ ${\ displaystyle {t = t_ {2}} \}$ ${\ displaystyle {t = t_ {2}} \}$ , ca:

\quad (3)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{2}\right)\,dx,

{\ displaystyle \ quad (3) \ qquad \ qquad {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {x_ {i + {\ frac { 1} {2}}} - x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}} int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}}}} \ rho \ left (x, t_ {2} \ right) \, dx,}

{\ displaystyle \ quad (3) \ qquad \ qquad {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {x_ {i + {\ frac { 1} {2}}} - x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}} int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}}}} \ rho \ left (x, t_ {2} \ right) \, dx,}

in care $x_{i-{\frac {1}{2}}}\$ ${\ displaystyle x_ {i - {\ frac {1} {2}}} \}$ ${\ displaystyle x_ {i - {\ frac {1} {2}}} \}$ Și $x_{i+{\frac {1}{2}}}\$ ${\ displaystyle x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \}$ ${\ displaystyle x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \}$ identificați pozițiile fețelor fluxului de ieșire și de intrare, relativ la $i_{esima}\$ ${\ displaystyle i_ {th} \}$ ${\ displaystyle i_ {th} \}$ celulă.

Prin integrarea ecuației (1) în raport cu timpul, obținem:

\quad (4)\qquad \qquad \rho \left(x,t_{2}\right)=\rho \left(x,t_{1}\right)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(\rho \left(x,t\right)\right)\,dt.

{\ displaystyle \ quad (4) \ qquad \ qquad \ rho \ left (x, t_ {2} \ right) = \ rho \ left (x, t_ {1} \ right) + \ int _ {t_ {1} } ^ {t_ {2}} f_ {x} \ left (\ rho \ left (x, t \ right) \ right) \, dt.}

{\ displaystyle \ quad (4) \ qquad \ qquad \ rho \ left (x, t_ {2} \ right) = \ rho \ left (x, t_ {1} \ right) + \ int _ {t_ {1} } ^ {t_ {2}} f_ {x} \ left (\ rho \ left (x, t \ right) \ right) \, dt.}

Pentru a obține volumul mediu de $\rho \left(x,t\right)$ ${\ displaystyle \ rho \ left (x, t \ right)}$ ${\ displaystyle \ rho \ left (x, t \ right)}$ la momentul $t=t_{2}\$ ${\ displaystyle t = t_ {2} \}$ ${\ displaystyle t = t_ {2} \}$ , ne integrăm $\rho \left(x,t_{2}\right)$ ${\ displaystyle \ rho \ left (x, t_ {2} \ right)}$ ${\ displaystyle \ rho \ left (x, t_ {2} \ right)}$ pe întregul volum al celulei $v_{i}\$ ${\ displaystyle v_ {i} \}$ ${\ displaystyle v_ {i} \}$ și împarte rezultatul la $v_{i}\$ ${\ displaystyle v_ {i} \}$ ${\ displaystyle v_ {i} \}$ , asa de

\quad (5)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{v_{i}}}\int _{v_{i}}\left\{\rho \left(x,t_{1}\right)+\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{x}\left(\rho \left(x,t\right)\right)dt\right\}dv.

{\ displaystyle \ quad (5) \ qquad \ qquad {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {v_ {i}}} \ int _ {v_ {i}} \ left \ {\ rho \ left (x, t_ {1} \ right) + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {x} \ left (\ rho \ left (x, t \ right) \ right) dt \ right \} dv.}

{\ displaystyle \ quad (5) \ qquad \ qquad {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {v_ {i}}} \ int _ {v_ {i}} \ left \ {\ rho \ left (x, t_ {1} \ right) + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {x} \ left (\ rho \ left (x, t \ right) \ right) dt \ right \} dv.}

Presupunem o oarecare regularitate a $f\$ ${\ displaystyle f \}$ ${\ displaystyle f \}$ și că putem inversa ordinea integrării. Debitul fiind normal la suprafața unității de suprafață a celulei, ca într-o singură dimensiune $f_{x}\triangleq \nabla f$ ${\ displaystyle f_ {x} \ triangleq \ nabla f}$ ${\ displaystyle f_ {x} \ triangleq \ nabla f}$ , putem aplica teorema divergenței , înlocuind integralul volumului divergenței cu valoarea lui $f(x)\$ ${\ displaystyle f (x) \}$ ${\ displaystyle f (x) \}$ presupus în chipuri $x_{i-{\frac {1}{2}}}\$ ${\ displaystyle x_ {i - {\ frac {1} {2}}} \}$ ${\ displaystyle x_ {i - {\ frac {1} {2}}} \}$ Și $x_{i+{\frac {1}{2}}}\$ ${\ displaystyle x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \}$ ${\ displaystyle x_ {i + {\ frac {1} {2}}} \}$ din volumul terminat, adică:

\quad (6)\qquad \qquad {\bar {\rho }}_{i}\left(t_{2}\right)={\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}\rho \left(x,t_{1}\right)\,dx+\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i+{\frac {1}{2}}}dt-\int _{t_{1}}^{t_{2}}f_{i-{\frac {1}{2}}}dt\right].

{\ displaystyle \ quad (6) \ qquad \ qquad {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ left [\ int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}}}} \ rho \ left (x, t_ { 1} \ right) \, dx + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i + {\ frac {1} {2}}} dt- \ int _ {t_ {1} } ^ {t_ {2}} f_ {i - {\ frac {1} {2}}} dt \ right].}

{\ displaystyle \ quad (6) \ qquad \ qquad {\ bar {\ rho}} _ {i} \ left (t_ {2} \ right) = {\ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ left [\ int _ {x_ {i - {\ frac {1} {2}}}} ^ {x_ {i + {\ frac {1} {2}}}} \ rho \ left (x, t_ { 1} \ right) \, dx + \ int _ {t_ {1}} ^ {t_ {2}} f_ {i + {\ frac {1} {2}}} dt- \ int _ {t_ {1} } ^ {t_ {2}} f_ {i - {\ frac {1} {2}}} dt \ right].}

in care $\Delta x_{i}=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i + {\ frac {1} {2}}} - x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}$ ${\ displaystyle \ Delta x_ {i} = x_ {i + {\ frac {1} {2}}} - x_ {i - {\ frac {1} {2}}}}$ Și $f_{i\pm {\frac {1}{2}}}=f\left(\rho \left(x_{i\pm {\frac {1}{2}}},t\right)\right)$ ${\ displaystyle f_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}} = f \ left (\ rho \ left (x_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}}, t \ right) \ dreapta)}$ ${\ displaystyle f_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}} = f \ left (\ rho \ left (x_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}}, t \ right) \ dreapta)}$ .

De asemenea, putem obține o schemă numerică semi-discretă pentru următoarea problemă cu centrul celulei indexat cu $i\$ ${\ displaystyle i \}$ ${\ displaystyle i \}$ , și folosind ca indici pentru fluxurile de pe fețe $i\pm {\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle i \ pm {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle i \ pm {\ frac {1} {2}}}$ ; diferențierea (6) în raport cu timpul obținem:

\quad (7)\qquad \qquad {\frac {d{\bar {\rho }}_{i}}{dt}}+{\frac {1}{\Delta x_{i}}}\left[f_{i+{\frac {1}{2}}}-f_{i-{\frac {1}{2}}}\right]=0,

{\ displaystyle \ quad (7) \ qquad \ qquad {\ frac {d {\ bar {\ rho}} _ {i}} {dt}} + {\ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ left [f_ {i + {\ frac {1} {2}}} - f_ {i - {\ frac {1} {2}}} \ right] = 0,}

{\ displaystyle \ quad (7) \ qquad \ qquad {\ frac {d {\ bar {\ rho}} _ {i}} {dt}} + {\ frac {1} {\ Delta x_ {i}}} \ left [f_ {i + {\ frac {1} {2}}} - f_ {i - {\ frac {1} {2}}} \ right] = 0,}

unde valorile $f_{i\pm {\frac {1}{2}}}$ ${\ displaystyle f_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}}}$ ${\ displaystyle f_ {i \ pm {\ frac {1} {2}}}}$ fluxurile de pe fețe pot fi obținute prin interpolare sau extrapolarea mediilor pentru fiecare celulă. Trebuie remarcat faptul că ecuația (7) este exactă în ceea ce privește volumele medii, în sensul că nu a fost introdusă nicio aproximare în acest sens în timpul tratamentului efectuat.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică