Metoda lui Galërkin

În matematică și în special în analiza numerică , metodele lui Galërkin , al căror nume se datorează lui Boris Galërkin , ^[1] permit trecerea de la soluția unei probleme definite într-un spațiu continuu la soluția acestei probleme într-un spațiu discret. pentru a determina o soluție numerică aproximativă.

Introducere

Având în vedere o problemă definită pe un spațiu Hilbert $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , dată o formă biliniară $a\left(\cdot ,\cdot \right):V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ left (\ cdot, \ cdot \ right): V \ times V \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle a \ left (\ cdot, \ cdot \ right): V \ times V \ rightarrow \ mathbb {R}}$ (derivând de exemplu din formularea slabă a unei ecuații diferențiale parțiale ) și a unei forme liniare $l\left(\cdot \right)$ ${\ displaystyle l \ left (\ cdot \ right)}$ ${\ displaystyle l \ left (\ cdot \ right)}$ (derivat de exemplu din partea dreaptă a unei ecuații diferențiale parțiale), vrem să rezolvăm ecuația:

a\left(u,v\right)=l\left(v\right)\qquad \forall v\in V

{\ displaystyle a \ left (u, v \ right) = l \ left (v \ right) \ qquad \ forall v \ in V}

{\ displaystyle a \ left (u, v \ right) = l \ left (v \ right) \ qquad \ forall v \ in V}

Această problemă este definită într-un spațiu cu dimensiuni infinite $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a cărei soluție analitică este în general nedeterminabilă. Cu toate acestea, este posibil să se determine o aproximare numerică a acestor probleme folosind metoda Galërkin, care este, prin urmare, de o importanță enormă pentru o mare varietate de aplicații.

Descriere

Metoda lui Galërkin prevede discretizarea problemei căutării funcțiilor $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ pe o succesiune de subspatii $\left\{V_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty }\subset V$ ${\ displaystyle \ left \ {V_ {n} \ right \} _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ subset V}$ ${\ displaystyle \ left \ {V_ {n} \ right \} _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ subset V}$ astfel încât:

\bigcup _{n=1}^{+\infty }V_{n}=V

{\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {+ \ infty} V_ {n} = V}

{\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {+ \ infty} V_ {n} = V}

În fiecare dintre aceste sub-spații dimensionale finite, problema inițială poate fi rezolvată exact. Această nouă problemă, derivată din discretizarea domeniului, se numește problema aproximativă a lui Galërkin sau problema discretă. Noua problemă necesită, așadar, determinarea (numai) soluției $u_{n}\in V_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n} \ în V_ {n}}$ ${\ displaystyle u_ {n} \ în V_ {n}}$ astfel încât (ecuația lui Galerkin):

a\left(u_{n},v\right)=l\left(v\right)\qquad \forall v\in V_{n}

{\ displaystyle a \ left (u_ {n}, v \ right) = l \ left (v \ right) \ qquad \ forall v \ in V_ {n}}

{\ displaystyle a \ left (u_ {n}, v \ right) = l \ left (v \ right) \ qquad \ forall v \ in V_ {n}}

Datorită discretizării problemei, a domeniului $V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ are o dimensiune finită și, prin urmare, este posibil să se determine o bază pentru aceasta $\left\{v_{n}\right\}_{n=1}^{N_{n}}$ ${\ displaystyle \ left \ {v_ {n} \ right \} _ {n = 1} ^ {N_ {n}}}$ ${\ displaystyle \ left \ {v_ {n} \ right \} _ {n = 1} ^ {N_ {n}}}$ de asemenea, de dimensiuni finite. Având în vedere calitatea de membru al $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $A}$ la $V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ , poti sa scrii $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $A}$ ca o combinație liniară a elementelor aparținând bazei de $V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ :

u_{n}=\sum _{j=1}^{N_{n}}U_{j}v_{j}

{\ displaystyle u_ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n}} U_ {j} v_ {j}}

{\ displaystyle u_ {n} = \ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n}} U_ {j} v_ {j}}

O astfel de scriere a $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $A}$ poate fi substituit în ecuația problemei discrete, care poate fi scrisă, ținând cont de liniaritatea operatorului $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , ca:

a\left(\sum _{j=1}^{N_{n}}U_{j}v_{j},v\right)=\sum _{j=1}^{N_{n}}a\left(v_{j},v\right)\cdot U_{j}=l\left(v\right)\qquad \forall v\in V_{n}

{\ displaystyle a \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n}} U_ {j} v_ {j}, v \ right) = \ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n} } a \ left (v_ {j}, v \ right) \ cdot U_ {j} = l \ left (v \ right) \ qquad \ forall v \ in V_ {n}}

{\ displaystyle a \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n}} U_ {j} v_ {j}, v \ right) = \ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n} } a \ left (v_ {j}, v \ right) \ cdot U_ {j} = l \ left (v \ right) \ qquad \ forall v \ in V_ {n}}

Aceleași observații pot fi făcute și pentru funcție $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , aparținând și lui $V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ , și care poate fi deci scris ca o combinație liniară a elementelor bazei. Efectuând noua substituție veți găsi ecuația rezultată:

\sum _{j=1}^{N_{n}}a\left(v_{j},\sum _{i=1}^{N_{n}}\alpha _{i}\cdot v_{i}\right)U_{j}=l\left(\sum _{i=1}^{N_{n}}\alpha _{i}\cdot v_{i}\right)

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n}} a \ left (v_ {j}, \ sum _ {i = 1} ^ {N_ {n}} \ alpha _ {i} \ cdot v_ {i} \ right) U_ {j} = l \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {n}} \ alpha _ {i} \ cdot v_ {i} \ right)}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n}} a \ left (v_ {j}, \ sum _ {i = 1} ^ {N_ {n}} \ alpha _ {i} \ cdot v_ {i} \ right) U_ {j} = l \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {N_ {n}} \ alpha _ {i} \ cdot v_ {i} \ right)}

care poate fi rescris ca:

\sum _{j=1}^{N_{n}}a\left(v_{j},\alpha _{i}\cdot v_{i}\right)U_{j}=l\left(\alpha _{i}\cdot v_{i}\right)\qquad i=1,2,\dots ,N_{n}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n}} a \ left (v_ {j}, \ alpha _ {i} \ cdot v_ {i} \ right) U_ {j} = l \ left (\ alpha _ {i} \ cdot v_ {i} \ right) \ qquad i = 1,2, \ dots, N_ {n}}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {N_ {n}} a \ left (v_ {j}, \ alpha _ {i} \ cdot v_ {i} \ right) U_ {j} = l \ left (\ alpha _ {i} \ cdot v_ {i} \ right) \ qquad i = 1,2, \ dots, N_ {n}}

Această ecuație clarifică posibilitatea rescrierii sub formă de matrice prin definirea a trei matrice. Matricea de rigiditate este apoi definită:

\mathbf {K_{n}} =\left\{s_{ij}\right\}_{i,j=1}^{N_{n}},s_{ij}=a\left(v_{j},v_{i}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {K_ {n}} = \ left \ {s_ {ij} \ right \} _ {i, j = 1} ^ {N_ {n}}, s_ {ij} = a \ left (v_ {j}, v_ {i} \ dreapta)}

{\ displaystyle \ mathbf {K_ {n}} = \ left \ {s_ {ij} \ right \} _ {i, j = 1} ^ {N_ {n}}, s_ {ij} = a \ left (v_ {j}, v_ {i} \ dreapta)}

matricea de sarcină:

\mathbf {F_{n}} =\left\{f_{i}\right\}_{i=1}^{N_{n}},f_{i}=l\left(v_{i}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {F_ {n}} = \ left \ {f_ {i} \ right \} _ {i = 1} ^ {N_ {n}}, f_ {i} = l \ left (v_ {i } \ dreapta)}

{\ displaystyle \ mathbf {F_ {n}} = \ left \ {f_ {i} \ right \} _ {i = 1} ^ {N_ {n}}, f_ {i} = l \ left (v_ {i } \ dreapta)}

și matricea coeficientului:

\mathbf {X_{n}} =\left\{U_{i}\right\}_{i=1}^{N_{n}}

{\ displaystyle \ mathbf {X_ {n}} = \ left \ {U_ {i} \ right \} _ {i = 1} ^ {N_ {n}}}

{\ displaystyle \ mathbf {X_ {n}} = \ left \ {U_ {i} \ right \} _ {i = 1} ^ {N_ {n}}}

Cu aceste definiții este posibil să rescrieți ecuația ca sistem de ecuații algebrice liniare sub formă de matrice:

\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X_{n}} =\mathbf {F} _{n}

{\ displaystyle \ mathbf {K_ {n}} \ cdot \ mathbf {X_ {n}} = \ mathbf {F} _ {n}}

{\ displaystyle \ mathbf {K_ {n}} \ cdot \ mathbf {X_ {n}} = \ mathbf {F} _ {n}}

Ortogonalitatea Galerkin

Diferența $u-u_{n}$ ${\ displaystyle u-u_ {n}}$ ${\ displaystyle u-u_ {n}}$ între soluția problemei inițiale și soluția ecuației Galerkin satisface proprietatea numită ortogonalitate Galerkin :

a(u-u_{n},v_{n})=a(u,v_{n})-a(u_{n},v_{n})=l(v_{n})-l(v_{n})=0

{\ displaystyle a (u-u_ {n}, v_ {n}) = a (u, v_ {n}) - a (u_ {n}, v_ {n}) = l (v_ {n}) - l (v_ {n}) = 0}

{\ displaystyle a (u-u_ {n}, v_ {n}) = a (u, v_ {n}) - a (u_ {n}, v_ {n}) = l (v_ {n}) - l (v_ {n}) = 0}

Adică folosind un vector de testare $v_{n}\in V_{n}\subset V$ ${\ displaystyle v_ {n} \ în V_ {n} \ subset V}$ ${\ displaystyle v_ {n} \ în V_ {n} \ subset V}$ primești acea eroare $u-u_{n}$ ${\ displaystyle u-u_ {n}}$ ${\ displaystyle u-u_ {n}}$ este ortogonală cu subspațiul considerat.

Convergenţă

Este $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu Hilbert și let $V_{1}\subset V_{2}\subset \dots \subset V$ ${\ displaystyle V_ {1} \ subset V_ {2} \ subset \ dots \ subset V}$ ${\ displaystyle V_ {1} \ subset V_ {2} \ subset \ dots \ subset V}$ o succesiune a subspatiilor sale de dimensiune finita astfel incat:

\bigcup _{n=1}^{+\infty }V_{n}=V

{\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {+ \ infty} V_ {n} = V}

{\ displaystyle \ bigcup _ {n = 1} ^ {+ \ infty} V_ {n} = V}

Este $a\left(\cdot ,\cdot \right):V\times V\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ displaystyle a \ left (\ cdot, \ cdot \ right): V \ times V \ rightarrow \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle a \ left (\ cdot, \ cdot \ right): V \ times V \ rightarrow \ mathbb {R}}$ o formă bilineară V-eliptică. Apoi se poate arăta că:

{\underset {n\rightarrow +\infty }{\lim }}\left\Vert u-u_{n}\right\Vert _{V}=0

{\ displaystyle {\ underset {n \ rightarrow + \ infty} {\ lim}} \ left \ Vert u-u_ {n} \ right \ Vert _ {V} = 0}

{\ displaystyle {\ underset {n \ rightarrow + \ infty} {\ lim}} \ left \ Vert u-u_ {n} \ right \ Vert _ {V} = 0}

de aici converge metoda lui Galërkin.

Probleme bine puse

Același subiect în detaliu: Formulare slabă .

Luați în considerare cazul în care forma biliniară estesimetrică :

a(u,v)=a(v,u)

{\ displaystyle a (u, v) = a (v, u)}

{\ displaystyle a (u, v) = a (v, u)}

Cu această presupunere nu există o restricție reală a metodelor lui Galerkin, dar aplicarea teoriei standard devine mai simplă. Pentru a arăta că aceasta este o problemă bine pusă în conformitate cu definiția lui Hadamard și, prin urmare, admite o soluție unică, să luăm în considerare proprietățile formei biliniare:

Prescripţie:

a(u,v)\leq C\|u\|\,\|v\|\qquad \forall u,v\in V\quad C>0

{\ displaystyle a (u, v) \ leq C \ | u \ | \, \ | v \ | \ qquad \ forall u, v \ in V \ quad C> 0}

{\ displaystyle a (u, v) \ leq C \ | u \ | \, \ | v \ | \ qquad \ forall u, v \ in V \ quad C> 0}

Elipticitate:

a(u,u)\geq c\|u\|^{2}\qquad \forall u\in V\quad C>0

{\ displaystyle a (u, u) \ geq c \ | u \ | ^ {2} \ qquad \ forall u \ in V \ quad C> 0}

{\ displaystyle a (u, u) \ geq c \ | u \ | ^ {2} \ qquad \ forall u \ in V \ quad C> 0}

Prin teorema Lax-Milgram, aceste condiții implică faptul că problema originală slab formulată este o problemă bine pusă.

Lema lui Céa

Același subiect în detaliu: lema lui Céa .

O lemă, introdusă și demonstrată în teza de doctorat a lui Jean Céa , arată că eroarea $u-u_{n}$ ${\ displaystyle u-u_ {n}}$ ${\ displaystyle u-u_ {n}}$ între soluția originală și cea a metodei Galerkin este:

\|u-u_{n}\|\leq {\frac {C}{c}}\inf _{v_{n}\in V_{n}}\|u-v_{n}\|

{\ displaystyle \ | u-u_ {n} \ | \ leq {\ frac {C} {c}} \ inf _ {v_ {n} \ in V_ {n}} \ | u-v_ {n} \ | }

{\ displaystyle \ | u-u_ {n} \ | \ leq {\ frac {C} {c}} \ inf _ {v_ {n} \ in V_ {n}} \ | u-v_ {n} \ | }

Adică mai puțin de o constantă $C/c$ ${\ displaystyle C / c}$ ${\ displaystyle C / c}$ Soluția lui Galerkin $u_{n}$ ${\ displaystyle u_ {n}}$ $A}$ este „aproape” de soluția originală $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ la fel de mult ca orice alt vector din $V_{n}$ ${\ displaystyle V_ {n}}$ $V_ {n}$ .

De fapt, din elipticitatea și îngustimea formei biliniare și datorită faptului că diferența $u-u_{n}$ ${\ displaystyle u-u_ {n}}$ ${\ displaystyle u-u_ {n}}$ satisface ortogonalitatea lui Galerkin:

a(u-u_{n},v_{n})=0

{\ displaystyle a (u-u_ {n}, v_ {n}) = 0}

{\ displaystyle a (u-u_ {n}, v_ {n}) = 0}

avem pentru un vector arbitrar $v_{n}\in V_{n}$ ${\ displaystyle v_ {n} \ în V_ {n}}$ ${\ displaystyle v_ {n} \ în V_ {n}}$ :

c\|u-u_{n}\|^{2}\leq a(u-u_{n},u-u_{n})=a(u-u_{n},u-v_{n})\leq C\|u-u_{n}\|\,\|u-v_{n}\|

{\ displaystyle c \ | u-u_ {n} \ | ^ {2} \ leq a (u-u_ {n}, u-u_ {n}) = a (u-u_ {n}, u-v_ { n}) \ leq C \ | u-u_ {n} \ | \, \ | u-v_ {n} \ |}

{\ displaystyle c \ | u-u_ {n} \ | ^ {2} \ leq a (u-u_ {n}, u-u_ {n}) = a (u-u_ {n}, u-v_ { n}) \ leq C \ | u-u_ {n} \ | \, \ | u-v_ {n} \ |}

Dividend de $c\|u-u_{n}\|$ ${\ displaystyle c \ | u-u_ {n} \ |}$ ${\ displaystyle c \ | u-u_ {n} \ |}$ și luând cea mai joasă extremă din tot posibilul $v_{n}$ ${\ displaystyle v_ {n}}$ $v_ {n}$ primim lema.

Notă

^ Foarte des în literatură sunt prezentate într-o formă greșită Galerkin, numele de fapt citește Galiorkin. Anglo-saxonii pot translitera și Galyorkin.

Bibliografie

( EN ) A. Ern, JL Guermond, Teoria și practica elementelor finite , Springer, 2004, ISBN 0-387-20574-8
( EN ) S. Brenner, RL Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods , ediția a II-a, Springer, 2005, ISBN 0-387-95451-1
( EN ) PG Ciarlet, The Finite Element Method for Elliptic Problems , North-Holland, 1978, ISBN 0-444-85028-7
( EN ) Y. Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems , 2nd edition, SIAM, 2003, ISBN 0-89871-534-2

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) VA Trenogin, metoda Galerkin , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
(EN) Eric W. Weisstein, Metoda Galerkin , în MathWorld Wolfram Research.
Soluția ecuațiilor diferențiale cu metodele lui Galërkin ( PDF ), pe unibg.it .

Controlul autorității	LCCN (EN) sh85052782 · GND (DE) 4155831-5

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Foarte des în literatură sunt prezentate într-o formă greșită Galerkin, numele de fapt citește Galiorkin. Anglo-saxonii pot translitera și Galyorkin.

[1]