Lema Lax-Milgram

Lema Lax-Milgram este un rezultat al analizei funcționale cu aplicații relevante în teoria ecuațiilor diferențiale parțiale și este fundamentală în analiza numerică pentru studiul metodei elementelor finite . Punctul de plecare este formularea slabă a problemei diferențiale parțiale.

În 1971, Ivo Babuška a oferit o generalizare a teoremei, teorema Babuška-Lax-Milgram .

Afirmație

Lasa-i sa fie $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ un spațiu Hilbert cu normă $\|\cdot \|$ ${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$ $\ | \ cdot \ |$ , $b(u,v)$ ${\ displaystyle b (u, v)}$ ${\ displaystyle b (u, v)}$ o formă biliniară pe $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ o funcționalitate liniară și continuă care operează pe elemente de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ (adică un element al dualului de $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ , $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {{*}}$ ); vrei să găsești $u\in V$ ${\ displaystyle u \ in V}$ ${\ displaystyle u \ in V}$ soluția problemei variaționale:

b(u,v)=\langle F,v\rangle \qquad \forall v\in V

{\ displaystyle b (u, v) = \ langle F, v \ rangle \ qquad \ forall v \ in V}

{\ displaystyle b (u, v) = \ langle F, v \ rangle \ qquad \ forall v \ in V}

unde este $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ ${\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ reprezintă dualitatea dintre $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ Și $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ {{*}}$ . Dacă forma biliniară este continuă, adică există o constantă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ pozitiv astfel încât:

|b(u,v)|\leq C\|u\|\|v\|\qquad \forall u,v\in V

{\ displaystyle | b (u, v) | \ leq C \ | u \ | \ | v \ | \ qquad \ forall u, v \ in V}

{\ displaystyle | b (u, v) | \ leq C \ | u \ | \ | v \ | \ qquad \ forall u, v \ in V}

și este, de asemenea, coercitiv sau eliptic, adică există $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pozitiv astfel încât:

b(v,v)\geq \alpha \|v\|^{2}\qquad \forall v\in V

{\ displaystyle b (v, v) \ geq \ alpha \ | v \ | ^ {2} \ qquad \ forall v \ in V}

{\ displaystyle b (v, v) \ geq \ alpha \ | v \ | ^ {2} \ qquad \ forall v \ in V}

atunci problema variațională admite o singură soluție. ^[1] Rețineți că ipoteza conform căreia forma biliniară este simetrică nu este necesară. Lema Lax-Milgram oferă, de asemenea, o estimare a stabilității soluției $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ :

\|u\|\leq {\frac {\|F\|_{V^{*}}}{\alpha }}

{\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {\ | F \ | _ {V ^ {*}}} {\ alpha}}}

{\ displaystyle \ | u \ | \ leq {\ frac {\ | F \ | _ {V ^ {*}}} {\ alpha}}}

Notă

^ H. Brezis , pagina 136 .

Bibliografie

S. Salsa, Ecuații diferențiale parțiale , Springer-Verlag Italia, Milano, 2004. ISBN 88-470-0259-1
Haïm Brezis , Analiza funcțională - Teorie și aplicații , Napoli, Liguori, 1990, ISBN 88-207-1501-5 .
( EN ) Ralph E. Showalter, Operatori monotoni în spațiul Banach și ecuații diferențiale parțiale neliniare , Matematical Surveys and Monographs 49, Providence, RI, American Mathematical Society, 1997, pp. xiv + 278, ISBN 0-8218-0500-2 . (capitolul III)

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Encyclopedia of Mathematics, Lax-Milgram lemma , în Encyclopaedia of Mathematics , Springer and European Mathematical Society, 2002.
( RO )Pagina MathWorld despre teorema Lax-Milgram , la mathworld.wolfram.com .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] H. Brezis , pagina 136 .

[1]