Teorema Babuška-Lax-Milgram

În matematică , teorema Babuška-Lax-Milgram este un rezultat al analizei funcționale care generalizează lema Lax-Milgram și oferă condițiile în care o formă biliniară poate fi „inversată” pentru a arăta existența și unicitatea unei soluții slabe pentru anumite condiții de graniță. .

Teorema are aplicații relevante în teoria ecuațiilor diferențiale parțiale și, de asemenea, în analiza numerică pentru studiul metodei elementelor finite .

Introducere

În abordarea tipică a analizei funcționale a studiului ecuațiilor diferențiale parțiale , structura spațiului vectorial al setului de soluții posibile este frecvent utilizată, de exemplu, adesea trebuie să ne ocupăm de spațiile Sobolev . Să luăm în considerare două spații normate $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ cu dualii lor continui $U^{*}$ ${\ displaystyle U ^ {*}}$ ${\ displaystyle U ^ {*}}$ Și $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ , unde des $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este spațiul soluțiilor posibile. Având în vedere un operator diferențial parțial $\Lambda :U\to V^{*}$ ${\ displaystyle \ Lambda: U \ to V ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ Lambda: U \ to V ^ {*}}$ și o funcție cunoscută $f\in V^{*}$ ${\ displaystyle f \ in V ^ {*}}$ ${\ displaystyle f \ in V ^ {*}}$ , scopul este de a găsi un vector $u\in U$ ${\ displaystyle u \ in U}$ $u \ in U$ astfel încât:

\Lambda u=f

{\ displaystyle \ Lambda u = f}

{\ displaystyle \ Lambda u = f}

În formularea slabă , această ecuație trebuie să se mențină numai pentru toate celelalte elemente ale $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ . O formă biliniară este utilizată pentru a "testa" aceste funcții $B:U\times V\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle B: U \ times V \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle B: U \ times V \ to \ mathbb {R}}$ care „codifică” operatorul diferențial astfel încât să se obțină o soluție la problema slabă prin găsirea $u\in U$ ${\ displaystyle u \ in U}$ $u \ in U$ astfel încât:

B(u,v)=\langle f,v\rangle \qquad \forall v\in V

{\ displaystyle B (u, v) = \ langle f, v \ rangle \ qquad \ forall v \ in V}

{\ displaystyle B (u, v) = \ langle f, v \ rangle \ qquad \ forall v \ in V}

Pentru a obține rezultatul anului 1954 de către Lax și Milgram este necesar să ne asigurăm, prin specificarea unor condiții limită suficiente, că această formulare slabă are o soluție unică și care depinde continuu de funcția dată $f\in V^{*}$ ${\ displaystyle f \ in V ^ {*}}$ ${\ displaystyle f \ in V ^ {*}}$ . În special, $U=V$ ${\ displaystyle U = V}$ ${\ displaystyle U = V}$ trebuie să fie un spațiu Hilbert și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este o funcție continuă și puternic coercitivă, adică:

|B(u,u)|\geq c\|u\|^{2}

{\ displaystyle | B (u, u) | \ geq c \ | u \ | ^ {2}}

{\ displaystyle | B (u, u) | \ geq c \ | u \ | ^ {2}}

pentru unele constante $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ și pentru fiecare $u\in U$ ${\ displaystyle u \ in U}$ $u \ in U$ .

De exemplu, în soluția ecuației Poisson pe un domeniu deschis și delimitat $\Omega \in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ Omega \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ Omega \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ :

{\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x)&x\in \Omega \\u(x)=0&x\in \partial \Omega \end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta u (x) = f (x) & x \ in \ Omega \\ u (x) = 0 & x \ in \ partial \ Omega \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} - \ Delta u (x) = f (x) & x \ in \ Omega \\ u (x) = 0 & x \ in \ partial \ Omega \ end {cases}}}

spaţiu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ poate fi luat ca spațiu Sobolev $H_{0}^{1}(\Omega )$ ${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}$ cu dual $H^{-1}(\Omega )$ ${\ displaystyle H ^ {- 1} (\ Omega)}$ ${\ displaystyle H ^ {- 1} (\ Omega)}$ . Forma biliniară $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ asociat cu $-\Delta$ ${\ displaystyle - \ Delta}$ ${\ displaystyle - \ Delta}$ este produsul intern din $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ de derivate:

B(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle B (u, v) = \ int _ {\ Omega} \ nabla u (x) \ cdot \ nabla v (x) \, \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle B (u, v) = \ int _ {\ Omega} \ nabla u (x) \ cdot \ nabla v (x) \, \ mathrm {d} x}

De aici rezultă slaba formulare a ecuației Poisson, dată $f\in L^{2}$ ${\ displaystyle f \ în L ^ {2}}$ $f \ în L ^ {2}$ , este de a găsi $u_{f}$ ${\ displaystyle u_ {f}}$ ${\ displaystyle u_ {f}}$ astfel încât:

\int _{\Omega }\nabla u_{f}(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }f(x)v(x)\,\mathrm {d} x\qquad \forall v\in H_{0}^{1}(\Omega )

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u_ {f} (x) \ cdot \ nabla v (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {\ Omega} f (x) v (x ) \, \ mathrm {d} x \ qquad \ forall v \ in H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u_ {f} (x) \ cdot \ nabla v (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {\ Omega} f (x) v (x ) \, \ mathrm {d} x \ qquad \ forall v \ in H_ {0} ^ {1} (\ Omega)}

Afirmație

În 1971 Babuška a dovedit următoarea generalizare a primei formulări a lemei Lax-Milgram , care începe prin furnizarea cerinței că $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ sunt două spații Hilbert reale și $B:U\times V\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle B: U \ times V \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle B: U \ times V \ to \ mathbb {R}}$ o formă biliniară continuă . De asemenea, să fie $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ slab coercitiv, adică pentru o constantă $c>0$ ${\ displaystyle c> 0}$ $c> 0$ și pentru toți $u\in U$ ${\ displaystyle u \ in U}$ $u \ in U$ apare:

\sup _{\|v\|=1}|B(u,v)|\geq c\|u\|

{\ displaystyle \ sup _ {\ | v \ | = 1} | B (u, v) | \ geq c \ | u \ |}

{\ displaystyle \ sup _ {\ | v \ | = 1} | B (u, v) | \ geq c \ | u \ |}

si pentru $0\neq v\in V$ ${\ displaystyle 0 \ neq v \ in V}$ ${\ displaystyle 0 \ neq v \ in V}$ avem:

\sup _{\|u\|=1}|B(u,v)|>0

{\ displaystyle \ sup _ {\ | u \ | = 1} | B (u, v) |> 0}

{\ displaystyle \ sup _ {\ | u \ | = 1} | B (u, v) |> 0}

Deci, pentru toate funcțiile $f\in V^{*}$ ${\ displaystyle f \ in V ^ {*}}$ ${\ displaystyle f \ in V ^ {*}}$ în dual $V^{*}$ ${\ displaystyle V ^ {*}}$ $V ^ *$ din $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ există o singură soluție $u=u_{f}\in U$ ${\ displaystyle u = u_ {f} \ în U}$ ${\ displaystyle u = u_ {f} \ în U}$ la slaba formulare a problemei:

B(u_{f},v)=\langle f,v\rangle \qquad \forall v\in V

{\ displaystyle B (u_ {f}, v) = \ langle f, v \ rangle \ qquad \ forall v \ in V}

{\ displaystyle B (u_ {f}, v) = \ langle f, v \ rangle \ qquad \ forall v \ in V}

În plus, soluția depinde continuu de $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

\|u_{f}\|\leq {\frac {1}{c}}\|f\|

{\ displaystyle \ | u_ {f} \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ |}

{\ displaystyle \ | u_ {f} \ | \ leq {\ frac {1} {c}} \ | f \ |}

Bibliografie

( EN ) Ivo Babuška , Erori-limite pentru metoda elementelor finite , în Numerische Mathematik , vol. 16, 1970/1971, pp. 322–333, DOI : 10.1007 / BF02165003 , ISSN 0029-599X ( WC ACNP ) , MR 0288971 .
( EN ) Peter D. Lax , Milgram, Arthur N., Ecuații parabolice , în Contribuții la teoria ecuațiilor diferențiale parțiale , Annals of Mathematics Studies, nr. 33, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1954, pp. 167-190, MR 0067317 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Encyclopedia of Mathematics, Babuska-Lax-Milgram teorema , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică