Farfurie

În știința construcției, o placă este un element structural cu două dimensiuni (lungime și lățime) care prevalează asupra celei de-a treia (grosime) și a cărei suprafață este, în medie, plană ( placă plată ). O placă este de obicei considerată a fi orice element plat subțire a cărui grosime t este mai mică de o douăzecime din dimensiunea minimă l în planul mijlociu:

{\frac {t}{l}}<{\frac {1}{20}}

{\ displaystyle {\ frac {t} {l}} <{\ frac {1} {20}}}

{\ displaystyle {\ frac {t} {l}} <{\ frac {1} {20}}}

Comportamentul plăcilor poate fi împărțit, într-o primă analiză, în:

Comportament la îndoire : deformările sunt evaluate în direcția ortogonală față de planul mediu (de-a lungul grosimii)
Comportamentul membranei : sunt evaluate deformările din planul mediu.

Cele două tipuri de analize pot fi utilizate separat dacă sarcina aplicată deformează placa în principal în flexie sau membrană. De asemenea, este posibil să combinați ecuațiile celor două tipuri de analize pentru a obține un model de placă mai complet.

Ecuațiile plăcii de îndoire

În funcție de tipul de modelare a comportamentului, plăcile pot fi împărțite în trei categorii:

Plăci subțiri cu mici deviații ale planului mediu (placa Kirchhoff )
Plăci subțiri cu devieri mari ale planului de mijloc
Plăci foarte groase (care încă respectă definiția)

Teoria lui Kirchhoff

Ipotezele care stau la baza acestei modelări a elementului plăcii, în analogie cu cele care stau la baza teoriei elementare a grinzilor, sunt rezumate mai jos:

devierea $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ a planului mijlociu al plăcii ( $z=0$ ${\ displaystyle z = 0}$ $z = 0$ ) este mic în comparație cu grosimea $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ : în consecință prima sa derivată în direcții $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , ${\frac {\partial w}{\partial x}},{\frac {\partial w}{\partial y}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial w} {\ partial y}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial x}}, {\ frac {\ partial w} {\ partial y}}}$ este mic și pătratul său neglijabil în comparație cu unul;
în urma devierii, planul de mijloc rămâne nedeformat;
secțiunile inițial normale față de planul mijlociu rămân plate și ortogonale față de acesta după deviere. În consecință, alunecarea în direcția z este nulă ( $\gamma _{xz}=\gamma _{yz}=0$ ${\ displaystyle \ gamma _ {xz} = \ gamma _ {yz} = 0}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {xz} = \ gamma _ {yz} = 0}$ ) și devierea plăcii se datorează în mod substanțial deformărilor de îndoire. Deformare, de asemenea $\varepsilon _{z}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {z}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {z}}$ este mic și, prin urmare, neglijabil în comparație cu celelalte;
efortul normal (în direcția z ), $\sigma _{z}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {z}}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {z}}$ , este mic comparativ cu celelalte componente ale efortului și poate fi neglijat.

Dacă devierea nu poate fi considerată mică (adică nu este de același ordin de mărime ca grosimea plăcii), atunci devierea se produce cu deformarea planului de mijloc și ipotezele 1 și 2 nu mai sunt verificate. În cazul plăcilor groase, atunci tensiunile de forfecare devin importante și ipotezele 3 și 4 nu mai sunt valabile. Prin urmare, ar trebui utilizată o teorie mai generală.

Relații cinematice

Operatorul funcțional care acționează asupra deplasării conectându-l la vectorul de inginerie al deformațiilor , este o matrice care în cazul a trei coordonate carteziene ia forma [3x6]:

{\begin{Bmatrix}\varepsilon _{x}\\\varepsilon _{y}\\\varepsilon _{z}\\\gamma _{yz}\\\gamma _{xz}\\\gamma _{xy}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&0&0\\0&{\frac {\partial }{\partial y}}&0\\0&0&{\frac {\partial }{\partial z}}\\0&{\frac {\partial }{\partial z}}&{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}&0&{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}u\\v\\w\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ varepsilon _ {x} \\\ varepsilon _ {y} \\\ varepsilon _ {z} \\\ gamma _ {yz} \\\ gamma _ {xz} \\\ gamma _ {xy} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial y }} & 0 \ \ 0 & 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \\ 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial z}} & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} & 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial} {\ partial x}} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} u \\ v \\ w \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ varepsilon _ {x} \\\ varepsilon _ {y} \\\ varepsilon _ {z} \\\ gamma _ {yz} \\\ gamma _ {xz} \\\ gamma _ {xy} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial y }} & 0 \ \ 0 & 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial z}} \\ 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial z}} & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial z}} & 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & {\ frac {\ partial} {\ partial x}} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} u \\ v \\ w \ end {Bmatrix}}}

Pentru ipoteza 3, $\varepsilon _{z}\,\!=0$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {z} \, \! = 0}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {z} \, \! = 0}$ , adică prin legătura cinematică exprimată mai sus:

{\frac {\partial w}{\partial z}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial w} {\ partial z}} = 0}

dependența de $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ din variabilele spațiale se reduce la:

w=w\left(x,y\right)

{\ displaystyle w = w \ left (x, y \ right)}

{\ displaystyle w = w \ left (x, y \ right)}

Extindând în seria Mac Laurin cu privire la variabila z componentele vectorului de deplasare, oprind dezvoltarea la prima ordine (liniară), obținem următoarele relații:

u\left(x,y,z\right)=u_{0}+z\left[{\frac {\partial u}{\partial z}}\right]_{z=0}

{\ displaystyle u \ left (x, y, z \ right) = u_ {0} + z \ left [{\ frac {\ partial u} {\ partial z}} \ right] _ {z = 0}}

{\ displaystyle u \ left (x, y, z \ right) = u_ {0} + z \ left [{\ frac {\ partial u} {\ partial z}} \ right] _ {z = 0}}

Și

$v\left(x,y,z\right)=v_{0}+z\left[{\frac {\partial v}{\partial z}}\right]_{z=0}$ ${\ displaystyle v \ left (x, y, z \ right) = v_ {0} + z \ left [{\ frac {\ partial v} {\ partial z}} \ right] _ {z = 0}}$ ${\ displaystyle v \ left (x, y, z \ right) = v_ {0} + z \ left [{\ frac {\ partial v} {\ partial z}} \ right] _ {z = 0}}$

Coeficienții expansiunii seriei sunt evaluați la planul mediu, adică z = 0 . Mai mult, din nou pentru ipoteza 3 și folosind legătura cinematică (de acum înainte vom omite, din motive de scurtă durată, inscripția z = 0 )

\gamma _{yz}\,\!={\frac {\partial v}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial y}}=0

{\ displaystyle \ gamma _ {yz} \, \! = {\ frac {\ partial v} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} = 0}

{\ displaystyle \ gamma _ {yz} \, \! = {\ frac {\ partial v} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} = 0}

Și

\gamma _{xz}\,\!={\frac {\partial u}{\partial z}}+{\frac {\partial w}{\partial x}}=0

{\ displaystyle \ gamma _ {xz} \, \! = {\ frac {\ partial u} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} = 0}

{\ displaystyle \ gamma _ {xz} \, \! = {\ frac {\ partial u} {\ partial z}} + {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} = 0}

deplasările pot fi scrise ca o funcție a primelor derivate ale lui w :

u\left(x,y,z\right)=u_{0}-{\frac {\partial w}{\partial x}}z

{\ displaystyle u \ left (x, y, z \ right) = u_ {0} - {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} z}

{\ displaystyle u \ left (x, y, z \ right) = u_ {0} - {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} z}

Și

v\left(x,y,z\right)=v_{0}-{\frac {\partial w}{\partial y}}z

{\ displaystyle v \ left (x, y, z \ right) = v_ {0} - {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} z}

{\ displaystyle v \ left (x, y, z \ right) = v_ {0} - {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} z}

Pentru ipoteza 2, conform căreia, în urma deformării, planul mediu rămâne nedeformat, ajungem la scrierea ecuațiilor deplasărilor plăcii în funcție de devierea w :

{\begin{cases}u\left(x,y,z\right)=-{\frac {\partial w}{\partial x}}z\\v\left(x,y,z\right)=-{\frac {\partial w}{\partial y}}z\end{cases}}\Rightarrow w\left(x,y\right)

{\ displaystyle {\ begin {cases} u \ left (x, y, z \ right) = - {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} z \\ v \ left (x, y, z \ dreapta) = - {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} z \ end {cases}} \ Rightarrow w \ left (x, y \ right)}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u \ left (x, y, z \ right) = - {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} z \\ v \ left (x, y, z \ dreapta) = - {\ frac {\ partial w} {\ partial y}} z \ end {cases}} \ Rightarrow w \ left (x, y \ right)}

Aproximarea liniarității în variabila de-a lungul grosimii, z , este evidențiată prin observarea tendinței liniare a deplasărilor $u\left(x,y,z\right)$ ${\ displaystyle u \ left (x, y, z \ right)}$ ${\ displaystyle u \ left (x, y, z \ right)}$ Și $v\left(x,y,z\right)$ ${\ displaystyle v \ left (x, y, z \ right)}$ ${\ displaystyle v \ left (x, y, z \ right)}$ .

După ce am obținut acum expresiile deplasărilor în câmp, putem folosi legătura cinematică, rescrisă în cazul simplificărilor adoptate pentru placa Kirchhoff și să derivăm expresiile deformațiilor în termeni de deplasare w (x, y) . Deoarece există ipoteza unor mici deformări:

{\begin{Bmatrix}\varepsilon _{x}\\\varepsilon _{y}\\\gamma _{xy}\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&0&0\\0&{\frac {\partial }{\partial y}}&0\\{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}u\\v\\w\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}&0&0\\0&{\frac {\partial }{\partial y}}&0\\{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial x}}&0\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}-{\frac {\partial w}{\partial x}}z\\-{\frac {\partial w}{\partial y}}z\\w\left(x,y\right)\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}z\\-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}z\\-2{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}z\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ varepsilon _ {x} \\\ varepsilon _ {y} \\\ gamma _ {xy} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial } {\ partial x}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & 0 \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & {\ frac { \ partial} {\ partial x}} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} u \\ v \\ w \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & 0 \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial} {\ partial x}} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} - {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} z \\ - {\ frac {\ partial w} { \ partial y}} z \\ w \ left (x, y \ right) \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} - {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ { 2}}} z \\ - {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} z \\ - 2 {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} z \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ varepsilon _ {x} \\\ varepsilon _ {y} \\\ gamma _ {xy} \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial } {\ partial x}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & 0 \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & {\ frac { \ partial} {\ partial x}} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} u \\ v \\ w \ end {Bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {\ partial} {\ partial y}} & 0 \\ {\ frac {\ partial} {\ partial y}} și {\ frac {\ partial} {\ partial x}} & 0 \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} - {\ frac {\ partial w} {\ partial x}} z \\ - {\ frac {\ partial w} { \ partial y}} z \\ w \ left (x, y \ right) \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} - {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ { 2}}} z \\ - {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} z \\ - 2 {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} z \ end {Bmatrix}}}

Relațiile constitutive

Folosind ecuațiile constitutive pentru un solid izotrop cu comportament liniar, rescris în cazul unei stări de tensiune bidimensională ( $\sigma _{zz}=0$ ${\ displaystyle \ sigma _ {zz} = 0}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {zz} = 0}$ ):

{\begin{Bmatrix}\sigma _{x}\\\sigma _{y}\\\tau _{xy}\end{Bmatrix}}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\varepsilon _{x}\\\varepsilon _{y}\\\gamma _{xy}\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ sigma _ {x} \\\ sigma _ {y} \\\ tau _ {xy} \ end {Bmatrix}} = {\ frac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 & \ nu & 0 \\\ nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1- \ nu} {2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ varepsilon _ {x} \\\ varepsilon _ {y} \\\ gamma _ {xy} \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ sigma _ {x} \\\ sigma _ {y} \\\ tau _ {xy} \ end {Bmatrix}} = {\ frac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 & \ nu & 0 \\\ nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1- \ nu} {2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} \ varepsilon _ {x} \\\ varepsilon _ {y} \\\ gamma _ {xy} \ end {Bmatrix}}}

și folosind expresiile obținute pentru relațiile cinematice, obținem:

{\begin{Bmatrix}\sigma _{x}\\\sigma _{y}\\\tau _{xy}\end{Bmatrix}}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&{\frac {1-\nu }{2}}\end{bmatrix}}{\begin{Bmatrix}-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}z\\-{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}z\\-2{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}z\end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\\-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\\-{\frac {Ez}{1+\nu }}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)\end{Bmatrix}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ sigma _ {x} \\\ sigma _ {y} \\\ tau _ {xy} \ end {Bmatrix}} = {\ frac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 & \ nu & 0 \\\ nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1- \ nu} {2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} - {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} z \\ - {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} z \\ -2 {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} z \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} - {\ frac { Ez} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2 } w} {\ partial y ^ {2}}} \ right) \\ - {\ frac {Ez} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w } {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \\ - {\ frac {Ez} {1 + \ nu}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} \ right) \ end {Bmatrix}}}

{\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} \ sigma _ {x} \\\ sigma _ {y} \\\ tau _ {xy} \ end {Bmatrix}} = {\ frac {E} {1- \ nu ^ {2}}} {\ begin {bmatrix} 1 & \ nu & 0 \\\ nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1- \ nu} {2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {Bmatrix} - {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} z \\ - {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} z \\ -2 {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} z \ end {Bmatrix}} = {\ begin {Bmatrix} - {\ frac { Ez} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2 } w} {\ partial y ^ {2}}} \ right) \\ - {\ frac {Ez} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w } {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \\ - {\ frac {Ez} {1 + \ nu}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} \ right) \ end {Bmatrix}}}

Respectați liniaritatea eforturilor de-a lungul grosimii. Conform ipotezei, planul de mijloc nu este deformat, deci nu este stresat.

Rezultatul eforturilor

Pentru a ajunge la scrierea ecuațiilor de echilibru ale unui element de placă, este necesar să se calculeze rezultatul componentelor de solicitare. Deoarece comportamentul de îndoire al plăcii este evaluat, forțele care acționează asupra elementului sunt, cu referire la figurile:

Forțe de forfecare (pe unitate de lungime) $Q_{x}$ ${\ displaystyle Q_ {x}}$ ${\ displaystyle Q_ {x}}$ Și $Q_{y}$ ${\ displaystyle Q_ {y}}$ ${\ displaystyle Q_ {y}}$ ;

Momentele de încovoiere (pe unitate de lungime) $M_{x}$ ${\ displaystyle M_ {x}}$ ${\ displaystyle M_ {x}}$ , $M_{y}$ ${\ displaystyle M_ {y}}$ ${\ displaystyle M_ {y}}$ Și $M_{xy}$ ${\ displaystyle M_ {xy}}$ ${\ displaystyle M_ {xy}}$ .

Variația cantităților din domeniul definiției este oprită la sfârșitul primului ordin (liniaritate).

Aceste cantități pot fi calculate prin integrarea funcțiilor de solicitare în grosimea t , pentru a obține:

Q_{x}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\tau _{xz}\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\,dz=-{\frac {Et}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)

{\ displaystyle Q_ {x} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ tau _ {xz} \, dz = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right) \, dz = - {\ frac {Et} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle Q_ {x} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ tau _ {xz} \, dz = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right) \, dz = - {\ frac {Et} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right)}

Q_{y}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\tau _{yz}\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\,dz=-{\frac {Et}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)

{\ displaystyle Q_ {y} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ tau _ {yz} \, dz = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \, dz = - {\ frac {Et} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle Q_ {y} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ tau _ {yz} \, dz = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \, dz = - {\ frac {Et} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right)}

M_{x}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\sigma _{x}z\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez^{2}}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\,dz=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)

{\ displaystyle M_ {x} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ sigma _ {x} z \, dz = \ int _ { - {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez ^ {2}} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right) \, dz = -D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ { 2}}} \ dreapta)}

{\ displaystyle M_ {x} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ sigma _ {x} z \, dz = \ int _ { - {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez ^ {2}} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right) \, dz = -D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ { 2}}} \ dreapta)}

M_{y}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\sigma _{y}z\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez^{2}}{1-\nu ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\,dz=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)

{\ displaystyle M_ {y} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ sigma _ {y} z \, dz = \ int _ { - {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez ^ {2}} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \, dz = -D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ { 2}}} \ dreapta)}

{\ displaystyle M_ {y} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ sigma _ {y} z \, dz = \ int _ { - {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez ^ {2}} {1- \ nu ^ {2}}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \, dz = -D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ { 2}}} \ dreapta)}

M_{xy}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\tau _{xy}z\,dz=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}-{\frac {Ez^{2}}{1+\nu }}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)=-D(1-\nu )\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)

{\ displaystyle M_ {xy} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ tau _ {xy} z \, dz = \ int _ { - {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez ^ {2}} {1+ \ nu}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} \ right) = - D (1- \ nu) \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y} } \ dreapta)}

{\ displaystyle M_ {xy} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ tau _ {xy} z \, dz = \ int _ { - {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} - {\ frac {Ez ^ {2}} {1+ \ nu}} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} \ right) = - D (1- \ nu) \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y} } \ dreapta)}

unde rigiditatea la îndoire a plăcii D măsurată în $N\,m$ ${\ displaystyle N \, m}$ ${\ displaystyle N \, m}$ ca: $D={\frac {Et^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}$ ${\ displaystyle D = {\ frac {Et ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}}}$ ${\ displaystyle D = {\ frac {Et ^ {3}} {12 (1- \ nu ^ {2})}}}$

Forțele axiale sunt toate zero:

N_{x}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\sigma _{x}\,dz=0

{\ displaystyle N_ {x} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ sigma _ {x} \, dz = 0}

{\ displaystyle N_ {x} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ sigma _ {x} \, dz = 0}

;

N_{y}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\sigma _{y}\,dz=0

{\ displaystyle N_ {y} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ sigma _ {y} \, dz = 0}

{\ displaystyle N_ {y} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ sigma _ {y} \, dz = 0}

;

N_{xy}=\int _{-{\frac {t}{2}}}^{\frac {t}{2}}\tau _{xy}\,dz=0

{\ displaystyle N_ {xy} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ tau _ {xy} \, dz = 0}

{\ displaystyle N_ {xy} = \ int _ {- {\ frac {t} {2}}} ^ {\ frac {t} {2}} \ tau _ {xy} \, dz = 0}

Ecuație diferențială în câmpul plăcii de îndoire

Observând figurile de mai sus, se pot scrie ecuațiile de echilibru pentru translație în direcția z și pentru rotație în jurul axelor x și y. Ecuația de echilibru a momentelor în jurul axei z este satisfăcută în mod identic. De asemenea, se observă că elementul plăcii nu este, prin constituția sa, rezistent la momentele care acționează în direcția z . Prin urmare, pentru echilibrul translației în direcția z obținem:

pdxdy-Q_{x}dy-Q_{y}dx+\left(Q_{x}dy+{\frac {\partial Q_{y}}{\partial y}}dxdy\right)+\left(Q_{y}dx+{\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}dydx\right)=0\Rightarrow {\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial Q_{y}}{\partial y}}=-p(x,y)

{\ displaystyle pdxdy-Q_ {x} dy-Q_ {y} dx + \ left (Q_ {x} dy + {\ frac {\ partial Q_ {y}} {\ partial y}} dxdy \ right) + \ left (Q_ {y} dx + {\ frac {\ partial Q_ {x}} {\ partial x}} dydx \ right) = 0 \ Rightarrow {\ frac {\ partial Q_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial Q_ {y}} {\ partial y}} = - p (x, y)}

{\ displaystyle pdxdy-Q_ {x} dy-Q_ {y} dx + \ left (Q_ {x} dy + {\ frac {\ partial Q_ {y}} {\ partial y}} dxdy \ right) + \ left (Q_ {y} dx + {\ frac {\ partial Q_ {x}} {\ partial x}} dydx \ right) = 0 \ Rightarrow {\ frac {\ partial Q_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial Q_ {y}} {\ partial y}} = - p (x, y)}

unde p (x, y) indică funcția de încărcare, posibil prezentă, acționând în direcția z (amintiți-vă că direcția descendentă a z se presupune a fi pozitivă, cu referire la figuri) și pentru echilibrul la rotație:

{\frac {\partial M_{xy}}{\partial x}}dxdy+{\frac {\partial M_{y}}{\partial y}}dxdy=Q_{y}dxdy\Rightarrow {\frac {\partial M_{xy}}{\partial x}}+{\frac {\partial M_{y}}{\partial y}}=Q_{y}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial M_ {xy}} {\ partial x}} dxdy + {\ frac {\ partial M_ {y}} {\ partial y}} dxdy = Q_ {y} dxdy \ Rightarrow {\ frac {\ partial M_ {xy}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial M_ {y}} {\ partial y}} = Q_ {y}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial M_ {xy}} {\ partial x}} dxdy + {\ frac {\ partial M_ {y}} {\ partial y}} dxdy = Q_ {y} dxdy \ Rightarrow {\ frac {\ partial M_ {xy}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial M_ {y}} {\ partial y}} = Q_ {y}}

în direcția x,

{\frac {\partial M_{x}}{\partial x}}dxdy+{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}dxdy=Q_{x}dxdy\Rightarrow {\frac {\partial M_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial M_{xy}}{\partial y}}=Q_{x}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial M_ {x}} {\ partial x}} dxdy + {\ frac {\ partial M_ {xy}} {\ partial y}} dxdy = Q_ {x} dxdy \ Rightarrow {\ frac {\ partial M_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial M_ {xy}} {\ partial y}} = Q_ {x}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial M_ {x}} {\ partial x}} dxdy + {\ frac {\ partial M_ {xy}} {\ partial y}} dxdy = Q_ {x} dxdy \ Rightarrow {\ frac {\ partial M_ {x}} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial M_ {xy}} {\ partial y}} = Q_ {x}}

în direcția y.

Prin derivarea ultimelor două expresii și substituirea lor în ecuația obținută pentru echilibrul de traducere în direcția z , obținem:

{\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}M_{xy}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{y}}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial Q_{y}}{\partial y}}\\{\frac {\partial ^{2}M_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}M_{xy}}{\partial y^{2}}}={\frac {\partial Q_{x}}{\partial x}}\end{cases}}\Rightarrow {\frac {\partial ^{2}M_{x}}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}M_{xy}}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}M_{y}}{\partial y^{2}}}=-p(x,y)

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {xy}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {y}} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac {\ partial Q_ {y}} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {x}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {xy}} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac {\ partial Q_ {x}} {\ partial x}} \ end {cases}} \ Rightarrow {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {x}} {\ partial x ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {xy}} { \ partial x \ partial y}} + {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {y}} {\ partial y ^ {2}}} = - p (x, y)}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {xy}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {y}} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac {\ partial Q_ {y}} {\ partial y}} \\ {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {x}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {xy}} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac {\ partial Q_ {x}} {\ partial x}} \ end {cases}} \ Rightarrow {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {x}} {\ partial x ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {xy}} { \ partial x \ partial y}} + {\ frac {\ partial ^ {2} M_ {y}} {\ partial y ^ {2}}} = - p (x, y)}

Folosind ecuațiile găsite pentru momente, în funcție de variabilele cinematice

M_{x}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right);M_{y}=-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right);M_{xy}=-D(1-\nu )\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)

{\ displaystyle M_ {x} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right); M_ {y} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu { \ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right); M_ {xy} = - D (1- \ nu) \ left ({\ frac {\ partial ^ {2 } w} {\ partial x \ partial y}} \ right)}

{\ displaystyle M_ {x} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right); M_ {y} = - D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu { \ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right); M_ {xy} = - D (1- \ nu) \ left ({\ frac {\ partial ^ {2 } w} {\ partial x \ partial y}} \ right)}

în cele din urmă obținem:

{\frac {\partial ^{2}\left[-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)\right]}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\left[-D(1-\nu )\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)\right]}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\left[-D\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)\right]}{\partial y^{2}}}=-p(x,y)

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ left [-D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac { \ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right) \ right]} {\ partial x ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} \ left [ -D (1- \ nu) \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} \ right) \ right]} {\ partial x \ partial y}} + { \ frac {\ partial ^ {2} \ left [-D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ { 2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \ right]} {\ partial y ^ {2}}} = - p (x, y)}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ left [-D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac { \ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} \ right) \ right]} {\ partial x ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} \ left [ -D (1- \ nu) \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} \ right) \ right]} {\ partial x \ partial y}} + { \ frac {\ partial ^ {2} \ left [-D \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ { 2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ right) \ right]} {\ partial y ^ {2}}} = - p (x, y)}

{\frac {\partial ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}\right)}{\partial x^{2}}}+2{\frac {\partial ^{2}\left[(1-\nu )\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x\partial y}}\right)\right]}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}\left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}{\partial y^{2}}}={\frac {p(x,y)}{D}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2 } w} {\ partial y ^ {2}}} \ right)} {\ partial x ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} \ left [(1- \ nu) \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} \ right) \ right]} {\ partial x \ partial y}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ dreapta)} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac {p (x, y)} {D}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2 } w} {\ partial y ^ {2}}} \ right)} {\ partial x ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {2} \ left [(1- \ nu) \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x \ partial y}} \ right) \ right]} {\ partial x \ partial y}} + {\ frac {\ partial ^ {2} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial y ^ {2}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {2} w} {\ partial x ^ {2}}} \ dreapta)} {\ partial y ^ {2}}} = {\ frac {p (x, y)} {D}}}

{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+\nu {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}-2\nu {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}+\nu {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}={\frac {p(x,y)}{D}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} - 2 \ nu {\ frac {\ partial ^ { 4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial y ^ {4}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} = {\ frac {p (x, y)} {D}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} - 2 \ nu {\ frac {\ partial ^ { 4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial y ^ {4}}} + \ nu {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} = {\ frac {p (x, y)} {D}}}

Se obține astfel

{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {p(x,y)}{D}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial y ^ {4}}} = {\ frac {p (x, y)} {D}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {4}}} + 2 {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial x ^ {2} \ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {4} w} {\ partial y ^ {4}}} = {\ frac {p (x, y)} {D}}}

care este ecuația din câmpul plăcii accentuate la îndoire pură, atunci când ipotezele Kirchhoff ilustrate mai sus sunt valabile, altfel cunoscută sub numele de ecuația Sophie Germain - Lagrange care poate fi rezumată cu notația

\nabla ^{4}w(x,y)={\frac {p(x,y)}{D}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} w (x, y) = {\ frac {p (x, y)} {D}}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} w (x, y) = {\ frac {p (x, y)} {D}}}

S-a folosit notația $\nabla ^{4}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {4}}$ (a se citi „a patra nabla ”, sau „laplacianul pătrat”) care indică operatorul laplacian de ordinul 2, întrucât laplacianul corespunde cu nabla pătrat. În cazul bidimensional corespunde:

\nabla ^{4}=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)^{2}

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ right) ^ {2}}

{\ displaystyle \ nabla ^ {4} = \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} \ right) ^ {2}}

Condițiile limită sunt asociate cu această ecuație, care poate fi cinematică (pe deplasări și / sau rotații) sau condiții naturale (sau pe forțe, indiferent dacă sunt sarcini și / sau momente).

În cele din urmă, rețineți că ecuația Sophie Germain - Lagrange este destul de similară cu ecuația liniei elastice a grinzilor îndoite, care poate fi exprimată cu relația:

${\frac {dw^{4}(x)}{dz^{4}}}={\frac {p(x)}{EJ}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dw ^ {4} (x)} {dz ^ {4}}} = {\ frac {p (x)} {EJ}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {dw ^ {4} (x)} {dz ^ {4}}} = {\ frac {p (x)} {EJ}}}$

unde încă o dată este evidentă dependența sarcinii aplicate față de a patra derivată a deplasării.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikționarul conține dicționarul lema « placă »

Portal de inginerie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de inginerie

V · D · M Modele structurale
Continuu unidimensional	Teoria grinzii · Grindă în stil Winkler pe teren elastic
Continuos bidimensional	Rezervor cilindric · Placă · Placă · Membrană · Carcasă